静态电磁场静电场PPT课件.ppt

第第 二二 章章 静静 电电 场场2.6 镜像法镜像法 镜像法的实质是以一个或多个位于场域边界外虚设的镜像镜像法的实质是以一个或多个位于场域边界外虚设的镜像(等效等效)电荷替代实际边界上未知的较为复杂的电荷分布，将原来具有边电荷替代实际边界上未知的较为复杂的电荷分布，将原来具有边界的非均匀空间变换成无限大均匀媒质的空间，从而使计算过程界的非均匀空间变换成无限大均匀媒质的空间，从而使计算过程得以简化根据唯一性定理可知，这些等效电荷的引入必须维持得以简化根据唯一性定理可知，这些等效电荷的引入必须维持原问题边界条件不变，以保证原场域中的静电场分布不变通常原问题边界条件不变，以保证原场域中的静电场分布不变通常这些等效电荷位于镜像位置，故称镜像电荷，由此构成的分析方这些等效电荷位于镜像位置，故称镜像电荷，由此构成的分析方法即称为镜像法法即称为镜像法第第 二二 章章 静静 电电 场场2.6.1 对无限大接地导电平面的镜像对无限大接地导电平面的镜像点电荷情况点电荷情况：：设有一点电荷设有一点电荷q位于距无限大接地导电平面上方位于距无限大接地导电平面上方h处，其周围介质的介电常数为处，其周围介质的介电常数为 ，如图所示。

显然，电位函，如图所示显然，电位函数在场域内满足如下边值问题数在场域内满足如下边值问题  2  = 0 (除去点电荷所在点除去点电荷所在点) 边界条件为边界条件为   |z=0 = 0 (a) 无限大接地导电平面上的点电荷 (b) 点电荷的镜象图 点电荷对无限大接地导电平面的镜象第第 二二 章章 静静 电电 场场可以设想，在场域边界外引入一个与点电荷可以设想，在场域边界外引入一个与点电荷q呈镜像对称的点电呈镜像对称的点电荷荷q = -q，并将原来的导体场域由介电常数为，并将原来的导体场域由介电常数为   的介质所替换的介质所替换这样，原场域边界面这样，原场域边界面(z = 0)上的边界条件上的边界条件  = 0保持不变，而对保持不变，而对应的边值问题被简化为同一均匀介质应的边值问题被简化为同一均匀介质 空间内两个点电荷的电场空间内两个点电荷的电场计算问题根据唯一性定理可知，其解答有效区域仅限于图示计算问题根据唯一性定理可知，其解答有效区域仅限于图示上半部分介质场域应用镜像法，得待求电位为上半部分介质场域。

应用镜像法，得待求电位为 无限大接地导电平面上的感应电荷的面密度分布为无限大接地导电平面上的感应电荷的面密度分布为式中负号表示感应电荷与点电荷式中负号表示感应电荷与点电荷q q的极性相反对感应电荷作的极性相反对感应电荷作面积分，得面积分，得上式表明镜象电荷上式表明镜象电荷q 确实等效了无限大接地导电平面上的全部感确实等效了无限大接地导电平面上的全部感应电荷 第第 二二 章章 静静 电电 场场此外，上述方法很容易推广到图示的由半无限大导电平面形成的此外，上述方法很容易推广到图示的由半无限大导电平面形成的劈形边界且其夹角为劈形边界且其夹角为 的整数分之一的情况如图所示夹角为的整数分之一的情况如图所示夹角为 /3的导电劈可以引入的导电劈可以引入5个镜象电荷，以保证劈形边界电位为零的边个镜象电荷，以保证劈形边界电位为零的边界条件 Dq- q- q- q=/3图 导电劈的镜象法第第 二二 章章 静静 电电 场场线电荷情况线电荷情况：：图示线电荷图示线电荷 及其镜像电荷如图示及其镜像电荷如图示 由高斯定理得由高斯定理得P点的电场强度为点的电场强度为图图 线电荷的镜象线电荷的镜象(a)线电荷对无限大接地平面(b) 线电荷的镜象-+o yP(x,y)介质0导体xb1DD(-b,0) yP(x,y)0x+10(b,0)2e2e1o第第 二二 章章 静静 电电 场场现任取现任取Q点为电位参考点，则点为电位参考点，则P点电位为点电位为设在无限大接地导电平面上，即设在无限大接地导电平面上，即 1 =  2时时，，  = 0，，即电位参考点即电位参考点Q应选在接地导电平面上，所以应选在接地导电平面上，所以C = 0。

由上式，场中任意点电位由上式，场中任意点电位为为由上式，可以进一步获得其等位线分布按等位线定义有由上式，可以进一步获得其等位线分布按等位线定义有  2/ 1=K，平方得，平方得第第 二二 章章 静静 电电 场场 对于每个等位对于每个等位圆轨迹而言，圆半径圆轨迹而言，圆半径a a、圆心到原点的距离、圆心到原点的距离h h和线电荷至原点的和线电荷至原点的距离距离b b三者间关系为三者间关系为显然，上式为直角坐标系中圆的方程所以在显然，上式为直角坐标系中圆的方程所以在xoy平面上，等位平面上，等位线分布是如图虚线所示的一簇圆对应于某一给定的线分布是如图虚线所示的一簇圆对应于某一给定的K值，圆心值，圆心坐标是坐标是整理，得整理，得图图 一对线电荷一对线电荷(  )的电场的电场，圆半径是，圆半径是h2 = a2 + b2 亦即，亦即， a2 = h2 - b2 =(h + b)(h - b)第第 二二 章章 静静 电电 场场 这表明，两线电荷这表明，两线电荷( () )位置对每个等位圆的圆心来说，满位置对每个等位圆的圆心来说，满足圆的几何上反演的关系。

此外，当足圆的几何上反演的关系此外，当P P点位于点位于y y轴右侧时，因轴右侧时，因 2 2/ / 1 1=K>1=K>1，， P P皆为正值；当皆为正值；当P P点位于点位于y y轴左侧时，则轴左侧时，则  P P 皆为皆为负值第第 二二 章章 静静 电电 场场．．电轴法电轴法 两半径相同的圆柱导体电场两半径相同的圆柱导体电场：：基于线电荷对无限大接地导电平面基于线电荷对无限大接地导电平面的镜像分析，我们可以进而讨论两同半径、带有等量异号电荷的的镜像分析，我们可以进而讨论两同半径、带有等量异号电荷的平行长直圆柱导体间的电场问题此时，尽管圆柱导体表面电荷平行长直圆柱导体间的电场问题此时，尽管圆柱导体表面电荷面密度不是常量，但沿轴向单位长电荷分布面密度不是常量，但沿轴向单位长电荷分布(线密度线密度 )是相同的，是相同的，圆柱导体表面为等位面若设想圆柱导体表面与线电荷对应的等圆柱导体表面为等位面若设想圆柱导体表面与线电荷对应的等位面重合，即可以用等效线电荷计算圆柱导体外的电场分布，该位面重合，即可以用等效线电荷计算圆柱导体外的电场分布，该线电荷就是圆柱导体表面电荷的等效电荷，如线电荷就是圆柱导体表面电荷的等效电荷，如图所示。

为表述方图所示为表述方便，成这个线电荷为圆柱导体的等效电轴，这种方法称为电轴法便，成这个线电荷为圆柱导体的等效电轴，这种方法称为电轴法 (a) 同半径两线输电线系统(b) 电轴法图示 yxaaho-+Dhbb图图 电轴法电轴法xaahho y-+Dd第第 二二 章章 静静 电电 场场设圆柱导体半径为设圆柱导体半径为a，间距为，间距为2h，电轴间距为，电轴间距为2b三者之间的三者之间的关系为关系为AaU0oh x0D图图 传输线的电场传输线的电场例例1：半径为：半径为a的传输线平行于地面，传输线轴心对地高度为的传输线平行于地面，传输线轴心对地高度为h，，对地电位为对地电位为U0，如图所示试求：，如图所示试求：(1)大地上方传输线的电场；大地上方传输线的电场；(2)场域最大电场场强的位置及其数值场域最大电场场强的位置及其数值[解解]：：(1)首先，由电轴法确定电轴的位置，得首先，由电轴法确定电轴的位置，得大地上方任意场点大地上方任意场点P P处的电位为处的电位为由传输线表面点由传输线表面点A的电位的电位U0，得，得 => 第第 二二 章章 静静 电电 场场大地上方任意场点大地上方任意场点P处的电位为处的电位为(2)显然，最大场强将出现在导线相距地面最近处，即点显然，最大场强将出现在导线相距地面最近处，即点A处，有处，有 第第 二二 章章 静静 电电 场场两半径不同的圆柱导体电场两半径不同的圆柱导体电场：：如图所示，设两平行长直圆柱导如图所示，设两平行长直圆柱导体半径分别为体半径分别为a a1 1和和a a2 2，对于图（，对于图（a a）其轴心距）其轴心距d d = = h h1 1 + +h h2 2，对于，对于图（图（b b）其轴心距为）其轴心距为d d = = h h2 2 - -h h1 1( (设设a a2 2 > > a a1 1) )。

xd ya2a1h1o-(a) 平行传输线的电轴法图示h2bb，，+x ya2a1h1o-(b) 偏心同轴电缆的电轴法图示h2bb+图 半径不同圆柱导体的电轴法0P(x, y) y12Ao x0D图 同半径圆柱体电轴法haahbb-+第第 二二 章章 静静 电电 场场可以应用电轴法计算这两种情况的电场问题其关键问题仍然可以应用电轴法计算这两种情况的电场问题其关键问题仍然是确定等效电轴的位置显然是确定等效电轴的位置显然h12 = b2 + a12 ，， h22 = b2 + a22 , d= h2  h1 已知已知a1、、a2和和d，联立求解上式三个方程得，联立求解上式三个方程得 xd ya2a1h1o-(a) 平行传输线的电轴法图示h2bb，，+x ya2a1h1o-(b) 偏心同轴电缆的电轴法图示h2bb+图图 半径不同圆柱导体的电轴法半径不同圆柱导体的电轴法第第 二二 章章 静静 电电 场场．对无限大介质平面的镜像．对无限大介质平面的镜像点电荷情况点电荷情况：：对于图示无限大介质平面上的点电荷边值问题也可对于图示无限大介质平面上的点电荷边值问题也可采用镜像法。

上下半无限空间中的电场是由点电荷采用镜像法上下半无限空间中的电场是由点电荷q及其分界面上及其分界面上的束缚电荷共同产生的对于介质为的束缚电荷共同产生的对于介质为 1的上半空间的电场计算，的上半空间的电场计算，可归结为图可归结为图b中的两点电荷中的两点电荷q 和和q 的合成电场的合成电场 ；对于介质为；对于介质为 2的下的下半空间的电场计算，可归结为图半空间的电场计算，可归结为图c中的中的q  电场分析镜象电荷电场分析镜象电荷q 和和q 的量值，可以通过分界面上的边界条件确定如下的量值，可以通过分界面上的边界条件确定如下 (a) 无限大介质平面上的点电荷(b) 上半空间电场计算的镜象(c)下半空间电场计算的镜象 q2en1D1hD2qE1E1tPrE1qD1hE222E2tPr qE2nD2h图图 无限大介质平面镜像无限大介质平面镜像第第 二二 章章 静静 电电 场场对于分界面上任意点对于分界面上任意点P，由其上的边界条件，由其上的边界条件E1t= E2t和和D1n= D2n，得，得解得解得对于线电荷对于线电荷 与无限大介质平面系统的电场，可类比推得。

与无限大介质平面系统的电场，可类比推得 q2en1D1hD2qE1E1tPrE1qD1hE222E2tPr qE2nD2h第第 二二 章章 静静 电电 场场2.6.5 对导体球的镜像对导体球的镜像 导体球接地情况导体球接地情况：：如图所示，设导体球半径为如图所示，设导体球半径为a a，点电荷，点电荷q q至球心至球心距为距为d d设等效导体球表面感应电荷的镜象电荷为设等效导体球表面感应电荷的镜象电荷为- -q q 且且位于球位于球内的球心与点电荷的连线上，其到球心的距离为内的球心与点电荷的连线上，其到球心的距离为b b在导体球表在导体球表面上任取一点面上任取一点P P，得，得 图 对接地导体球的镜像(a) 点电荷与接地导体球qaodDqaodD(b) 镜象法图示r-qrbP => 整理，得整理，得 [q2(a2+b2)-q 2(a2+d2)]+2a(q 2d- q2b)cos  = 0 上式对于任意的上式对于任意的 值恒成立，故有值恒成立，故有第第 二二 章章 静静 电电 场场解得解得可以看出，点电荷可以看出，点电荷q和其镜象电荷和其镜象电荷-q 的位置，满足球反演的几的位置，满足球反演的几何关系。

根据何关系根据q及及-q 即可方便地计算点电荷在接地导体球外的即可方便地计算点电荷在接地导体球外的电场分布可以证明，接地导体球面上感应电荷的总量等于电场分布可以证明，接地导体球面上感应电荷的总量等于-q  图 对接地导体球的镜像(a) 点电荷与接地导体球qaodDqaodD(b) 镜象法图示r-qrbP第第 二二 章章 静静 电电 场场导体球不接地情况导体球不接地情况：：不接地金属球镜像不接地金属球镜像点点q之外区域之外区域球面等位（球面等位（ 位于球心）位于球心）通量为零（通量为零（ 和和 大小相等）大小相等）第第 二二 章章 静静 电电 场场例例2：图示为半径为：图示为半径为a的接地导体球壳外置有一沿直径方向的线段电荷，线段的的接地导体球壳外置有一沿直径方向的线段电荷，线段的一端距球心为一端距球心为d求导体球壳上总的感应电荷求导体球壳上总的感应电荷 [解解]：应用点电荷对接地导体球的镜像，有：应用点电荷对接地导体球的镜像，有 图图 线段电荷的镜像线段电荷的镜像元电荷为元电荷为  dt，元电荷的位置为，元电荷的位置为d+t；镜像元；镜像元电荷为电荷为 ’dx=-a  dt/(d+t)，镜像元电荷的位，镜像元电荷的位置为置为a2/(d+t)。

所以，导体球壳上总的感应所以，导体球壳上总的感应电荷为电荷为 同理，对呈电性的不接地导体球和位于导体球腔内的点电荷同理，对呈电性的不接地导体球和位于导体球腔内的点电荷的电场计算问题，也可以应用镜像法进行计算的电场计算问题，也可以应用镜像法进行计算第第 二二 章章 静静 电电 场场 镜像法（电轴法）的理论基础是： 镜像法（电轴法）的实质是：镜像法（电轴法）的关键是： 镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区 域叠加时，要注意场的适用区域 用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场唯一性定理；确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；应用镜像法（电轴法）解题时，注意：第第 二二 章章 静静 电电 场场＋＋试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置点电荷对导体球面的镜像点电荷对导体球面的镜像试用镜像法求解下列问题，确定镜像电荷的个数、大小与位置试用镜像法求解下列问题，确定镜像电荷的个数、大小与位置第第 二二 章章 静静 电电 场场2.8 电容与部分电容电容与部分电容 电容或部分电容是导体系统的重要的集总电气参数，是在电网电容或部分电容是导体系统的重要的集总电气参数，是在电网络中电容元件的重要参数，也是导体系统静电场的集总体现。

络中电容元件的重要参数，也是导体系统静电场的集总体现一般而言，需要借助于电场分析来计算一般而言，需要借助于电场分析来计算1．两导体的电容．两导体的电容 一般两导体电容的计算过程为：给定两导体携带的电荷一般两导体电容的计算过程为：给定两导体携带的电荷 q计算其计算其电场分布和其间电位差电场分布和其间电位差U或给定两导体间电位差或给定两导体间电位差U，通过计算其电，通过计算其电场分布和其携带的电荷场分布和其携带的电荷 q，最后按定义计算电容，最后按定义计算电容C = q/U 例例1：两半径为：两半径为a、轴心距为、轴心距为d的平行长直圆柱导体构成一对均匀传输线，试的平行长直圆柱导体构成一对均匀传输线，试求其单位长电容求其单位长电容 [解解]：应用电轴法，令：应用电轴法，令h=d/2首先确定电轴位置首先确定电轴位置基于电轴法的分析结果，两导体表面最近距离对应的点基于电轴法的分析结果，两导体表面最近距离对应的点A1(h-a, 0)和点和点A2(-h+a, 0)的电位差为的电位差为 第第 二二 章章 静静 电电 场场从而，均匀传输线的单位长度电容从而，均匀传输线的单位长度电容通常有通常有h >>a，此时，此时b≈h，故，故此外，对于此外，对于h >>a的情况，也可以采用高斯定理计算。

设均匀传输线单位长线电的情况，也可以采用高斯定理计算设均匀传输线单位长线电荷密度为荷密度为 ，则两导体轴心连线上距带正电荷导体，则两导体轴心连线上距带正电荷导体x处的电场强度为处的电场强度为两导体间的电位差为两导体间的电位差为显然，有上式计算的电容与电轴法获得的结果相同显然，有上式计算的电容与电轴法获得的结果相同从本例电容表达式可以看出，电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量无关，从本例电容表达式可以看出，电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量无关，只与导体的形状、相互位置和电介质有关，是导体系统自身固有电气参数只与导体的形状、相互位置和电介质有关，是导体系统自身固有电气参数 第第 二二 章章 静静 电电 场场2．部分电容．部分电容 对于多导体需要引入部分电容概念对于多导体需要引入部分电容概念静电独立系统静电独立系统：：系统的电场分布只与系统内各带电导体的形状、系统的电场分布只与系统内各带电导体的形状、相互位置和电介质的分布有关，而与系统外的带电导体无关，并相互位置和电介质的分布有关，而与系统外的带电导体无关，并且所有电位移通量全部从系统内的带电导体发出又全部终止于系且所有电位移通量全部从系统内的带电导体发出又全部终止于系统内的带电导体。

统内的带电导体 现考察由现考察由(n+1)个导体组成的静电独立系统令各导体按个导体组成的静电独立系统令各导体按0 - n顺序顺序编号，其相应的带电量分别为编号，其相应的带电量分别为q0，，q1，，…，，qk，，…，，qn由定义，由定义，知知 q0 + q1 + … + qk + … + qn = 0选选0号导体为电位参考点，即号导体为电位参考点，即  0= 0，，应用叠加原理，可得各个导应用叠加原理，可得各个导体电位与各个导体上电荷的关系为体电位与各个导体上电荷的关系为 第第 二二 章章 静静 电电 场场写成矩阵形式，为写成矩阵形式，为 { }=[ ]{q}式中，系数式中，系数 ij 称为电位系数，其涵义不难从以下定义式得到理解称为电位系数，其涵义不难从以下定义式得到理解式中，式中， ii 称为自有电位系数，称为自有电位系数， ij(i j)称为互有电位函数显称为互有电位函数显然，电位系数只与导体的形状、相互位置以及电介质的介电常然，电位系数只与导体的形状、相互位置以及电介质的介电常数有关当给出各个导体的电位时，有前式，得数有关当给出各个导体的电位时，有前式，得{q}=[ ]-1 { }=[ ]{ }第第 二二 章章 静静 电电 场场或或式中，系数式中，系数  ij 称为感应系数，与电位系数之间的关系为称为感应系数，与电位系数之间的关系为式中，式中， 是是[ ]行行列式列式，，Aji是相应的代数余子式。

是相应的代数余子式 ii 称为自称为自有感应系数，有感应系数， ij j(i j)称为互有感应系数，即称为互有感应系数，即显然，感应系数也只和导体的形状、相互位置以及介质显然，感应系数也只和导体的形状、相互位置以及介质的介电常数有关的介电常数有关第第 二二 章章 静静 电电 场场为用电网络方法分析导体系统的电气行为，一般将电荷与电为用电网络方法分析导体系统的电气行为，一般将电荷与电位的关系表达为如下形式的电荷与电压的关系位的关系表达为如下形式的电荷与电压的关系称上式中的系数称上式中的系数Cij为导体系统的部分电容对比两种表达形式，为导体系统的部分电容对比两种表达形式，可知可知 Ci0 = i1+ i2+…+ ii+…+ inCij = - ij (i≠j)式中，式中，Ci0称为导体称为导体i的自有部分电容，即各导体与参考导体的自有部分电容，即各导体与参考导体(电位电位参考点导体参考点导体)之间的部分电容；之间的部分电容；Cij称为导体称为导体i和导体和导体j互有部分电容，互有部分电容，即相应的两个导体间的部分电容，显然，即相应的两个导体间的部分电容，显然，Cij= Cji 。

如图给出了三如图给出了三导体系统的部分电容导体系统的部分电容 第第 二二 章章 静静 电电 场场静电独立系统中静电独立系统中n＋＋1个导体有个导体有 个部分电容个部分电容部分电容是否为零，取决于两导体之间部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连；有否电力线相连；部分电容可将场的概念与电路结合起来部分电容可将场的概念与电路结合起来第第 二二 章章 静静 电电 场场我们既可以利用电场计算的方法计算电位系数我们既可以利用电场计算的方法计算电位系数 ij或感应系数或感应系数 ij并并按上述定义计算部分电容按上述定义计算部分电容Cij，也可以通过实验方法通过测量感应，也可以通过实验方法通过测量感应系数系数 ij或直接测量部分电容的线性组合来计算部分电容或直接测量部分电容的线性组合来计算部分电容 第第 二二 章章 静静 电电 场场例例 试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及等效电容已知等效电容已知d>>a, 且且a<

可由电路求输入端等在这两个电极间加上电压，极板上所带电荷与电压的比值可由电路求输入端等值电容方法来计算值电容方法来计算两线输电线及其电容网络两线输电线及其电容网络第第 二二 章章 静静 电电 场场3．静电屏蔽．静电屏蔽静电屏蔽在程中有重要的用途，仅举一例来阐述其原理设带电静电屏蔽在程中有重要的用途，仅举一例来阐述其原理设带电的电气设备以导体的电气设备以导体1表示，带电荷为表示，带电荷为q1，且被置于接地导体薄壳，且被置于接地导体薄壳2中，它们与邻近的导体中，它们与邻近的导体3一起组成三导体系统，如图所示显然，一起组成三导体系统，如图所示显然，  2 =  0 =0，有，有 2=0= 0q1,112q3,3图图 静电屏蔽示意图静电屏蔽示意图3上式在任何情况下均应成立上式在任何情况下均应成立 设设q1= 0，即导体，即导体1不带电，此时导体不带电，此时导体2内部为等电位区，内部为等电位区，得得  1 = 0这样，第一式即为这样，第一式即为 0 = - C13  3第第 二二 章章 静静 电电 场场因因  3可以不等于零，由此可推得可以不等于零，由此可推得C13 = 0。

这表明因接地导体这表明因接地导体2包包围导体围导体1后，导体后，导体1与导体与导体3被互相隔离，而不存在两导体之间静被互相隔离，而不存在两导体之间静电耦合作用如果导体电耦合作用如果导体1、、3均带电，则应有均带电，则应有q1= (C10 + C12)   1 q3= (C32 + C30)   3此式表明，因接地导体此式表明，因接地导体2的静电屏蔽，其内外形成两个相互独立的静电屏蔽，其内外形成两个相互独立的静电系统的静电系统 第第 二二 章章 静静 电电 场场2.9 电场能量电场能量 1．带电体系统中的电场能量．带电体系统中的电场能量 设在建立带电系统电场的某一瞬时，场中某一点的电位是设在建立带电系统电场的某一瞬时，场中某一点的电位是  (r)，，引入增量电荷引入增量电荷 q需作功需作功  W =  (r) q将转化为电场能量存贮在电场之中由于静电场的能量仅将转化为电场能量存贮在电场之中由于静电场的能量仅取决于电荷的最终分布状态，与电荷怎样达到该状态的过取决于电荷的最终分布状态，与电荷怎样达到该状态的过程无关因此，可设想这样一种充电方式，使任何瞬间所程无关。

因此，可设想这样一种充电方式，使任何瞬间所有带电体的电荷密度都按同一比例增长充电开始时各处有带电体的电荷密度都按同一比例增长充电开始时各处电荷密度都为零电荷密度都为零(相当于相当于m = 0)，充电结束时各处电荷密度，充电结束时各处电荷密度都等于其最终值都等于其最终值(相当于相当于m=1)由此可知，在充电过程中的由此可知，在充电过程中的任何时刻，电荷密度的增量任何时刻，电荷密度的增量  =  [m (r)]=  (r) m  =  [m  (r)]=   (r) m 第第 二二 章章 静静 电电 场场对对m积分，得总电场能量为积分，得总电场能量为由于所有电荷按同一比例由于所有电荷按同一比例m增长，故电位增长，故电位  (m，，r)= m (r)上式得上式得如果系统中无空间电荷，只有带电导体的情况，其电场能量为如果系统中无空间电荷，只有带电导体的情况，其电场能量为式中的积分面积式中的积分面积S应为全部导体表面由于每一导体表面都是应为全部导体表面由于每一导体表面都是等位面，而对于第等位面，而对于第k个导体，可有个导体，可有 (k = 1，n) 从而，得从而，得第第 二二 章章 静静 电电 场场2．电场能量密度．电场能量密度 S1S2S图 电场能量enen q2enen q1V 不失讨论的一般性，现以两个带电导体在无界空间建立的静电不失讨论的一般性，现以两个带电导体在无界空间建立的静电场为例。

设两导体携带的电量分别为场为例设两导体携带的电量分别为q1和和q2，其表面积对应为，其表面积对应为s1和和s2，如图所示该系统的总电场能量为，如图所示该系统的总电场能量为由于导体表面的电荷面密度为由于导体表面的电荷面密度为   = D  en  = - D   en 式中式中en  为导体表面的外法线方向的单位矢为导体表面的外法线方向的单位矢量；量；en为导体表面的内法线方向上的单位为导体表面的内法线方向上的单位矢量代入前式，得矢量代入前式，得 第第 二二 章章 静静 电电 场场在无限远处如图示作一个无限大的球面在无限远处如图示作一个无限大的球面S ，则由于电荷分布在有，则由于电荷分布在有限区域，无限远处的场强按限区域，无限远处的场强按R-2及电位按及电位按R-1趋于零因此，该系趋于零因此，该系统总的电场能量为统总的电场能量为应用高斯定理，上式改写为应用高斯定理，上式改写为考虑到场域中没有自由电荷分布，故考虑到场域中没有自由电荷分布，故D = 0，又由，又由E = -  ，，代入上式，最终得代入上式，最终得由此可见，电场能量密度为由此可见，电场能量密度为 we = (D  E)/2 对于各向同性的线性介质，对于各向同性的线性介质，D =  E，代入上式，得，代入上式，得we =   E2/2 第第 二二 章章 静静 电电 场场例例1：试计算半径为：试计算半径为a，带电量为，带电量为q的孤立导体球所具有的电场能量。

的孤立导体球所具有的电场能量 [解解]：采用如下三种方法进行计算采用如下三种方法进行计算1）孤立导体球的电位为）孤立导体球的电位为  = q/4  a，于是得，于是得（（2）应用电场能量密度公式，积分得）应用电场能量密度公式，积分得（（3）由电容计算公式，电场能量）由电容计算公式，电场能量而该系统电容为而该系统电容为C=4    a，代入上式得，代入上式得可见上述三种方法可见上述三种方法所得结果相同所得结果相同第第 二二 章章 静静 电电 场场例：试求真空中半径为例：试求真空中半径为a，体电荷密度为，体电荷密度为 的电荷产生的静的电荷产生的静电能量解：应用高斯定律，求得：解：应用高斯定律，求得：解法一：解法一：第第 二二 章章 静静 电电 场场球内任一点电位：球内任一点电位：（（1））解法二：解法二：第第 二二 章章 静静 电电 场场2.10 电场力电场力 1．库仑力．库仑力电场力的计算原则上可应用电场强度的定义，即点电荷电场力的计算原则上可应用电场强度的定义，即点电荷q受到受到的电场力为的电场力为式中式中E是除电荷是除电荷q外其余电荷在该电荷所在处所产生的电场强度。

外其余电荷在该电荷所在处所产生的电场强度综上所述，已知带电体的电荷分布，原则上可以上式计算带电综上所述，已知带电体的电荷分布，原则上可以上式计算带电体电荷之间电场力但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根体电荷之间电场力但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据上式计算电场力是非常困难的据上式计算电场力是非常困难的 2．虚位移法．虚位移法假设带电体发生一定的位移，利用位移过程中电场能量的变化假设带电体发生一定的位移，利用位移过程中电场能量的变化与外力及电场力作功之间的关系来计算电场力与外力及电场力作功之间的关系来计算电场力第第 二二 章章 静静 电电 场场广义坐标广义坐标：：确定系统中各带电体形状、尺寸和位置的一组独立确定系统中各带电体形状、尺寸和位置的一组独立 几何变量几何变量 广义力广义力：：企图改变某一广义坐标的力企图改变某一广义坐标的力功功 = 广义力广义力×广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 距距 离离 面面 积积 体体 积积 角角 度度 广义力广义力 机械力机械力 表面张力表面张力 压强压强 转矩转矩单单 位位 N N/m N/m2 Nm 广义力乘上由它引起的广义坐标的增量应等于功。

因此，分广义力乘上由它引起的广义坐标的增量应等于功因此，分别与广义坐标如距离、面积、体积和角度等对应的广义力是机别与广义坐标如距离、面积、体积和角度等对应的广义力是机械力、表面张力、压强和转矩等械力、表面张力、压强和转矩等第第 二二 章章 静静 电电 场场 设一个由设一个由(n+1)个导体组成的系统，对导体依次编号并以个导体组成的系统，对导体依次编号并以0号号导体为参考导体假定除导体为参考导体假定除 p号导体外其余导体都不动，且号导体外其余导体都不动，且p号导号导体也只在一个广义坐标体也只在一个广义坐标g上发生所设想的位移上发生所设想的位移(虚位移虚位移)dg，这，这时，该系统发生的功能转换过程如下：时，该系统发生的功能转换过程如下：式中式中 表示与导体系统连接的外电源提供的能量，等号右边两项分别表示表示与导体系统连接的外电源提供的能量，等号右边两项分别表示电场能量的增量和电场力所作的功有以下两类电场力计算方法电场能量的增量和电场力所作的功有以下两类电场力计算方法dW=dWe+FdgdW第第 二二 章章 静静 电电 场场常电位系统常电位系统：：设各带电导体的电位保持不变，则设各带电导体的电位保持不变，则上式表明，与导体系统连接的外电源提供的能量，有一半作上式表明，与导体系统连接的外电源提供的能量，有一半作为电场储能的增量，另一半用于克服电场力作的功。

因而为电场储能的增量，另一半用于克服电场力作的功因而 由此得广义力由此得广义力第第 二二 章章 静静 电电 场场常电荷系统常电荷系统：：设各带电导体的电荷保持不变，也就是说所有带设各带电导体的电荷保持不变，也就是说所有带电导体都不与外电源连接因而电导体都不与外电源连接因而dW= 0，得，得 0 = dWe + Fdg从而得从而得上式表明，电场力作功所需的能量来自于系统内电场能量的上式表明，电场力作功所需的能量来自于系统内电场能量的减少值尽管上述两种电场力计算公式的形式不同，但所得结果是相同尽管上述两种电场力计算公式的形式不同，但所得结果是相同的即广义力的假定正方向为广义坐标增加的方向广义力的假定正方向为广义坐标增加的方向第第 二二 章章 静静 电电 场场例例1：设平行板电容器的极板面积为：设平行板电容器的极板面积为S，板间距离为，板间距离为h，忽略极板的边缘效，忽略极板的边缘效应试应用虚位移法计算平行板电容器两极板之间的作用力试应用虚位移法计算平行板电容器两极板之间的作用力 ABhdhUx F(假定正方向)(a) 常电位系统S+qABhdhxF(假定正方向)(b) 常电荷系统-q图 平行电容器极板受力计算的虚位移法图示[解解]：分别对常电位系统和常电荷系统情况进行计算。

对负极板作虚位移分别对常电位系统和常电荷系统情况进行计算对负极板作虚位移1）常电位系统：对于给定的极板间电压）常电位系统：对于给定的极板间电压U，两导体系统的电场能量为，两导体系统的电场能量为第第 二二 章章 静静 电电 场场负极板受到的电场力为负极板受到的电场力为 式中负号表示电场力的实际方向与假定正方向式中负号表示电场力的实际方向与假定正方向(即广义坐标即广义坐标h增加的方向增加的方向)相反，所以相反，所以（（2）常电荷系统：对于给定的极板电荷）常电荷系统：对于给定的极板电荷q，两导体极板电场能量为，两导体极板电场能量为负极板受到的电场力为负极板受到的电场力为 即即 不难看出，上述两种计算方法得到的计算结果相同同理，正极板受力为不难看出，上述两种计算方法得到的计算结果相同同理，正极板受力为第第 二二 章章 静静 电电 场场法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵张力，垂直于轴向受到侧压力，其大小为张力，垂直于轴向受到侧压力，其大小为单位单位N/m2电位移管受力情况电位移管受力情况思考：试用法拉第观点求解上例。

思考：试用法拉第观点求解上例3．法拉第观点．法拉第观点第第 二二 章章 静静 电电 场场例：例：计算平板电容器中介质分界面上的压强计算平板电容器中介质分界面上的压强 平行板电容器平行板电容器(a)(b)图图（（a））图图（（b））分界面受力总是从分界面受力总是从 大的介质指向大的介质指向 小的介质小的介质。