利用递推关系数列求和的技巧与方法.docx

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如 aa = f (n)型n+1 n(1) 若f(n)为常数，即：a 1 - a二d，此时数列为等差数列，则a = a + (n - l)d .n +1 n n 1(2) 若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 a 1n+1 nn > 2 时，a - a = f (n -1)，n n -1a - a = f (n - 2),n -1 n - 2a - a = f (2)32a2 - ai = f ⑴所以各式相加得 a - a = f (n - D + f (n - 2)+ —+ f(2)+ f (1)n1即：a = a +* f (k).n1k=1为了书写方便，也可用横式来写：••• n > 2 时，a - a 一 f (n -1)，n n -1时，a = (a — a ) + (a — a ) + •…+ (a — a ) + an n n -1 n -1 n - 2 2 1 1=f (n -1) + f (n - 2) + …+ f (2) + f (1) + a「例1.(天津文)已知数列｛a」满足a 一 1, a 一 3n-1 + a (n > 2),1 n n -1证明an证明：由已知得：a — a ’二3n—1,故n n -1a = (a — a ) + (a — a ) + - — + (a — a ) + an n n-1 n-1 n-2 2 1 13n - 1=3n—1 + 3n -2 + ••• + 3 +1 = = 23n -1a 一n例 2. 已知数列 =a + 2n(n e N*)写出数列(a ｝的通项公式.n n +1 n n答案：n2 - n + 1例3.已知数列｛a ｝满足13= "n一1+ R) (n - 2)，求此数列的通项公式.答案：an = 2 一 -nn评注：已知 a1 = a ,an+1=f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项a .n① 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;② 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；③ 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④ 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

a2.形如亠1 = f (n)型an其中 q 是不为 0 的常数)，此时数列为等比数列， a= a • q n -1 .a(1)当f(n)为常数卩：= q an(2)当f(n)为n的函数时，用累乘法.a由—n+1an= f ( n) 得n > 2 时,a一 =f (n — 1), an-1a...a =——n-nan-1a——n一1an-2a—2 ■ aa11=f(n)f(nT)… -f ⑴• ai.•/ a > 0( n g N *).•.(n+1) ann+1时，a nan-1一 na=0a ―n+1ann+1.ana= nan-1a—n-1 • •an-2a―2 • aa1n 一11• 1 =2n例1.设匕｝是首项为1的正项数列，且C + lb2’ 一 na2 + a a = 0( n =1，2， 3,…)，则它的通项公式是a =n n +1 n n +1 n n-na ]=0nn+1解：已知等式可化为：(a ,+ a)kn+1)an +1 n评注：本题是关于 a 和 a 1的二次齐次式，n n +1可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到a与a】的更为明显的关系式，从而求 n n +1出 a .n例2.已知an+1 = nan + n 一 1 a1 >-1,求数列｛a』的通项公式.解：因为 a = na + n -1,所以 a +1 = na + n,n+1 n n+1 n故 a +1 = n(a +1),又因为 a > -1，即 a +1 > 0，n+1 n 1 1a +1所以由上式可知a +1 > 0，所以亠 =n,故由累乘法得 n a +1na +1 a +1 a +1 a +1a + 1 = —n ・— — ・ 2 ・(a + 1)n a +1 a +1 a +1 a +1 1n-1 n - 2 2 1(n 一 1) - (n 一 2) 2 -1 - (a +1) = (n 一 1) !・(a +1)11所以 a = (n 一1)!，(a +1) -1n1评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式a ’ = na + n 一1,转化为n+1 na ’+1=n(a +1),若令b =a + r则问题进一步转化为b ’ =nb形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.n 1 n n n n 1 n3.形如 a , +a = f (n)型n 1 n(1) 若a , +a = d(d为常数)，则数列｛a ｝为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论；n 1 n n(2) 若f(n)为n的函数(非常数)时，可通过构造转化为a , 一 a = f (n)型，通过累加来求出通项；或用逐差法俩式相减)得n 1 na ’ 一 a ’ = f (n) 一 f (n 一 1),，分奇偶项来分求通项.n 1 n 一1例1.数列｛ an ｝满足a1 = 0 , an+1 +an = 2n，求数列｛a』的通项公式.分析1：构造转化为a ’ 一 a = f (n)型n 1 n解法 1：令 b = (一1) n ann则b -b = (-1)n+1 a -(-1)na = (-1)n+1(a + a ) = (-1)n+1 -2n n 1 n n 1 n n 1 n'b - b = (-1) n - 2(n -1) n n 一1b - b = (-1) n-1 - 2(n - 2)n-1 n - 2n ' 2 时，＜ b 一 b = (-1)2 - 2 X12 1b =-a = 011各式相加：bn当n为偶数时,(n -1) (-1).=2¥-1)n (n -1) + (-1)n-1 (n - 2) + …+ (-1)3 - 2 + (-1)2 . 1此时 a = b = nnnn - 1当n为奇数时，bn = 2( — —) = -n + 1此时 b = -a ，所以 a = n - 1 .n n nn -1, n为奇数，故 A = 5 故 "N, N为偶数.解法 2： A + A = 2nN + 1 Nn > 2 时，A + A = 2(n — 1),N N — 1两式相减得：A , — A ,二2.N+1 N—1.A1，A3, A5,…，构成以A1，为首项，以2为公差的等差数列；A 2, A 4, A 6,…,构成以A 2 ,为首项，以2为公差的等差数列2 4 6 2/. A = A + (k — 1)D = 2k — 22k —1 1A = A + (k — 1)D = 2k2 k 2. Jn - 1, N为奇数，N [N, N为偶数评注：结果要还原成 n 的表达式.4. 形如 A , - A = / (n)型N+1 N(1) 若A 「A = P (p为常数)，则数列｛ A ｝为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;N + 1 N N(2) 若f(n)为n的函数(非常数)时，可通过逐差法得A - A , = / (n —1)，两式相除后，分奇偶项来分求通项.N N —1例1.已知数列｛A ｝满足A = 3,A - A , = G)N,(n G N*)，求此数列的通项公式.N 1 N N +1 2注：同上例类似，略.5. 形如A = CA + D, (c丰0，其中A = A )型N+1 N 1(1)若c=1时，数列｛ A ｝为等差数列；N(2)若d=0时，数列｛ A ｝为等比数列; N(3)若c丰1且d丰°时，数列｛ A ｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. n方法如下：设A ’ +九=C(A +九),n +1 n得A = CA + （c 一 1）九，与题设A ’= CA + D,比较系数得n +1 n n +1 nD（C 一】）九=D ,所以九= ,（c丰°）c — 1DD所以有：A +—1 = c（a , +—1）c — 1 N—1 c — 1I d I d因此数列化+口 f构成以a1 + 口为首项’以c为公比的等比数列,dd所以 a + = (a1 + ) -cn-1n c 一 1 1 c 一 1dd即：a =(a + ) -cn-1 一+ — = c(a c 一 1 n+ 土），构造成公比为C的等比数列｛an + 士 ｝从而求得通项公式n 1 c 一 1 c 一 1规律：将递推关系a ’ = ca + d化为a ,n+1 n n+1( d )a = + cn—1(a + )n+1 1 — c 1 c — 1有时我们从递推关系an+1 = can + d中把n换成n-1有a二 can n -1+ d，两式相减有a ’ 一 a = c（a 一 a丿从而化为公比n+1 n n n—1为c的等比数列｛a , 一 a ｝，进而求得通项公式.a , 一 a = cn （a2 一 a1），再利用类型（1）即可求得通项公式•我们看到此方法比较n 1 n 2 1n+1 n复杂.例1.已知数列｛a ｝中，a = 2,a = an 1 n 1 2 nd分析：两边直接加上 ，构造新的等比数列。

c 一111+ 2,得a , — 1 = 2（a2 n 1 2 n1解：由 a , =7：an+1 2 n1+ 2'求通项an -1所以数列｛a 一1｝构成以a, 一1 =1为首项，以为公比的等比数列n 1 211所以 a 一1 =（三）n-1，即 a = （^）n一1+1.n 2 n 2方法二：由 a , = ca + d,n+1 nn > 2 时，a = ca + d,n n —1时，两式相减得 a 一 a = c(an+1 n- a )n n -1a — a—n+1 n = ca — an n—1数列｛a 一 a ｝是以an n—1 2一 a1 = （c 一 1）a1 + d为首项，以c为公比的等比数列.a 一 a = (a 一 a ) - cn—2n n 一1 2 1a 一 a = (a 一 a ) - cn—3n 一1 n 。