分岔与混沌课件.ppt

2024/9/12024/9/1机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1分岔与混沌分岔与混沌2024/9/12024/9/12 2机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室第一章第一章 分岔分岔１　从一个例子说起１　从一个例子说起２　分岔的定义及类型２　分岔的定义及类型３　典型的分岔３　典型的分岔４　求解方法４　求解方法５　工程和自然界中的例子５　工程和自然界中的例子６　分岔研究的历史与现状６　分岔研究的历史与现状７　分岔研究的意义７　分岔研究的意义2024/9/12024/9/1机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室3 3什么是分岔现象?2024/9/12024/9/14 4机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 从一个例子说起从一个例子说起[ [例例1] Euler1] Euler杆在轴向压力作用下的弯曲问题这是杆在轴向压力作用下的弯曲问题这是EulerEuler在在17441744年研究的一个问题，它是一个最简单的年研究的一个问题，它是一个最简单的分岔现象分岔现象 一根理想的弹性直杆，在压力一根理想的弹性直杆，在压力p p的作用下，直的状态总是一的作用下，直的状态总是一种平衡位置。

当压力种平衡位置当压力p p增加时，增加时，起初杆还是直的一旦超过了起初杆还是直的一旦超过了某个临界压力，直杆的直的状某个临界压力，直杆的直的状态就不再是稳定的了，杆便产态就不再是稳定的了，杆便产生了弯曲变形，当生了弯曲变形，当p p超过临界超过临界压力时，挠度压力时，挠度s s随压力增加得随压力增加得是很快的这是一类典型的分是很快的这是一类典型的分岔问题图图1  1  EulerEuler杆杆2024/9/12024/9/15 5机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室EulerEulerEulerEuler直杆弯曲满足下列非线性微分方程及边值直杆弯曲满足下列非线性微分方程及边值当当时，杆保持着原来的直线平衡稳定稳定态，即当当时，有三种平衡状态时，有三种平衡状态, ,原来的直线变成不稳定原来的直线变成不稳定态态( (保持直线保持直线) )，稍有扰动平衡状态便会偏向，稍有扰动平衡状态便会偏向 +s +s 或或 - -s s 偏向 +s +s 或或-s -s 方向分岔出稳定的弯曲状态，即方向分岔出稳定的弯曲状态，即2024/9/12024/9/16 6机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室图图2 2 EulerEuler直杆直杆随压力变化的分岔图随压力变化的分岔图2024/9/12024/9/17 7机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室２　分岔的定义及类型2024/9/12024/9/18 8机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室２２.1.1分岔的定义分岔的定义(Bifurcation)(Bifurcation) 分分分分岔岔岔岔现现现现象象象象是是是是指指指指动动动动态态态态系系系系统统统统的的的的定定定定性性性性行行行行为为为为随随随随着着着着系系系系统统统统参参参参数数数数的的的的改改改改变变变变而而而而发发发发生生生生质质质质的的的的变变变变化化化化。

泛泛泛泛指指指指在在在在一一一一个个个个动动动动力力力力学学学学系系系系统统统统中中中中，，，，当当当当控控控控制制制制参参参参量量量量改改改改变变变变时时时时，，，，其其其其相相相相图图图图发发发发生生生生拓拓拓拓扑扑扑扑结结结结构构构构的的的的突突突突然然然然变变变变化化化化，，，，包包包包括括括括解解解解的的的的数数数数目目目目的的的的变变变变化化化化、、、、解解解解的的的的稳定性的变化等稳定性的变化等稳定性的变化等稳定性的变化等 力力力力学学学学上上上上指指指指一一一一种种种种力力力力学学学学状状状状态态态态在在在在临临临临界界界界点点点点发发发发生生生生的的的的转转转转变变变变、、、、分分分分开开开开或或或或一一一一分分分分为为为为二二二二如如如如：：：：一一一一根根根根受受受受力力力力的的的的弹弹弹弹性性性性压压压压杆杆杆杆当当当当压压压压力力力力超超超超过过过过 压压压压杆杆杆杆的的的的临临临临界界界界负负负负荷荷荷荷时时时时，，，，会会会会出出出出现现现现弯弯弯弯曲曲曲曲数数数数学学学学上上上上分分分分岔岔岔岔研研研研究究究究非非非非线线线线性性性性微微微微分分分分方方方方程程程程当当当当某某某某一一一一参参参参数数数数变变变变化化化化时其解发生突变的临界点附近的行为。

时其解发生突变的临界点附近的行为时其解发生突变的临界点附近的行为时其解发生突变的临界点附近的行为2024/9/12024/9/19 9机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室2.2 2.2 分岔的类型分岔的类型我们知道Jacobi矩阵的特征值确定系统状态的稳定性对于一般动力系统，控制参数的变化会引起特征值的变化，当控制参数达到分岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它可以表现为 在复平面的运动由此也可以定义三种分岔类型:1.1.叉型分岔、鞍叉型分岔、鞍- -结分岔和霍普分岔结分岔和霍普分岔 2024/9/12024/9/11010机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室 叉型分岔叉型分岔 霍普分岔霍普分岔 鞍结分岔鞍结分岔 特征值特征值 为实数，为实数， 沿沿复平面的实轴复平面的实轴由负变正穿过由负变正穿过虚轴特征值特征值 为为复数，复数， 沿左沿左半平面，由半平面，由 变变 穿过虚轴。

穿过虚轴 特征值特征值 为为实数，沿实实数，沿实轴左右趋于轴左右趋于虚轴，即虚轴，即2024/9/12024/9/11111机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔，而霍普分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它们在分岔点均满足：2024/9/12024/9/11212机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室3.3. 局部分岔局部分岔局部分岔局部分岔和和和和全局分岔全局分岔全局分岔全局分岔2.2.2.2.静态分岔静态分岔静态分岔静态分岔和和和和动态分岔动态分岔动态分岔动态分岔局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构如何发生变化全局分岔则分析向量场的大范围的如何发生变化全局分岔则分析向量场的大范围的拓扑结构静态分岔和拓扑结构静态分岔和HopfHopf分岔都属于局部分岔，分岔都属于局部分岔，而其它的分岔则属于全局分岔局部分岔是全局分而其它的分岔则属于全局分岔局部分岔是全局分岔分析的一个重要内容一般来说，完整的全局分岔分析的一个重要内容一般来说，完整的全局分岔分析是十分困难的，甚至是不可能的，所以对局岔分析是十分困难的，甚至是不可能的，所以对局部分岔的研究就显得尤为重要。

部分岔的研究就显得尤为重要 静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和稳定性如何发生变化，如叉形分岔和鞍结分岔等；稳定性如何发生变化，如叉形分岔和鞍结分岔等；动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡点变为周期解（点变为周期解（HopfHopf分岔），周期解的分岔（倍周分岔），周期解的分岔（倍周期分岔）等期分岔）等2024/9/12024/9/11313机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室3 典型实例2024/9/12024/9/11414机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室典型实例典型实例3.1 3.1 3.1 3.1 叉型分岔叉型分岔叉型分岔叉型分岔上式中，上式中，x x 是实数，是实数， 是可正可负的参数，令是可正可负的参数，令 =0=0，，，，可知方程可知方程(1)(1)的定的定态平衡解是态平衡解是（（1 1））其平衡态的稳定性可由其平衡态的稳定性可由JacobiJacobiJacobiJacobi矩阵的特征值特性，也即由下式来决定。

矩阵的特征值特性，也即由下式来决定典型实例是典型实例是2024/9/12024/9/11515机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室图图3 3 叉型分岔叉型分岔————超临界情况超临界情况   图图4 4 叉型分岔叉型分岔————亚临界情况亚临界情况   我们再考虑另一种对称情况，即我们再考虑另一种对称情况，即   平衡点平衡点 而对应特征值则为而对应特征值则为   对于图对于图3 3，当，当 时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当 时，这一支就变得不稳定了；一旦当时，这一支就变得不稳定了；一旦当 有新的平衡分支解有新的平衡分支解 又变成稳定的了，这种情况被称为又变成稳定的了，这种情况被称为超临界分岔超临界分岔超临界分岔超临界分岔反过来，若新的平衡分反过来，若新的平衡分支解支解 ，在，在 时是不稳定的，则称之为时是不稳定的，则称之为亚临界分亚临界分亚临界分亚临界分岔岔岔岔。

2024/9/12024/9/11616机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室3.2 3.2 3.2 3.2 霍普分岔霍普分岔霍普分岔霍普分岔 是一个平衡点，其是一个平衡点，其JacobiJacobi矩阵是矩阵是   得出特征值得出特征值   由此可见，当参数由此可见，当参数由负变正时，由负变正时，点（点（0 0，，0 0）则由稳定的平衡点变成不稳定的平衡点则由稳定的平衡点变成不稳定的平衡点 分别沿实轴上方和下方穿过虚轴，分别沿实轴上方和下方穿过虚轴，（（2 2））2024/9/12024/9/11717机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室令令经过变换可得经过变换可得   当当时，有时，有（（3 3））（（4 4））式（式（4 4）表明，轨线以常速度）表明，轨线以常速度旋转而(3)(3)式则说明还存在另一平衡态，即：式则说明还存在另一平衡态，即：   这种情况与叉型分岔十分相似：这种情况与叉型分岔十分相似：时，时，是稳定焦点；是稳定焦点；   而当而当时，时，就变成不稳定点，就变成不稳定点，   从而分岔出半径为从而分岔出半径为极限环。

这种由失稳后出现的极限环分岔称之为霍普分叉如下图所示这种由失稳后出现的极限环分岔称之为霍普分叉如下图所示   的的2024/9/12024/9/11818机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室图图5 5 霍普分叉－超临界情况霍普分叉－超临界情况   2024/9/12024/9/11919机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室3.3 3.3 3.3 3.3 鞍－结分岔鞍－结分岔鞍－结分岔鞍－结分岔   典型方程典型方程   由由 得平衡点得平衡点(a)(a)当当μμ＜＜0 0时时, ,解解解解 x x0 0 为虚数，因此不存在平衡点为虚数，因此不存在平衡点方程的解在方程的解在x x0 0= =0 0处发生了分裂处发生了分裂•解解时，解是不稳定的，它是时，解是不稳定的，它是鞍点鞍点鞍点鞍点５）（５）•解解时，此解是稳定的，是稳定的时，此解是稳定的，是稳定的结点结点结点结点说明上述，说明上述(b)(b)当当μμ＞＞0 0时出现两个平衡点时出现两个平衡点   2024/9/12024/9/12020机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室图图6 6 鞍结分岔鞍结分岔   2024/9/12024/9/12121机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室4 求解方法研研究究分分岔岔的的一一些些方方法法•奇异性理论方法奇异性理论方法奇异性理论方法奇异性理论方法•庞加莱庞加莱庞加莱庞加莱- -伯克霍夫伯克霍夫伯克霍夫伯克霍夫(PB)(PB)规范形方法规范形方法规范形方法规范形方法•中心流形法中心流形法中心流形法中心流形法•李雅普诺夫李雅普诺夫李雅普诺夫李雅普诺夫- -施密特约化（施密特约化（施密特约化（施密特约化（LSLS约化）约化）约化）约化）•幂级数法幂级数法幂级数法幂级数法•摄动法摄动法摄动法摄动法•ShilnikovShilnikov法法法法•数值法数值法数值法数值法奇异性理论方法奇异性理论方法2024/9/12024/9/12222机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化为较简单的范式为较简单的范式（（Normal FormNormal Form））进行识别和分类，再通过进行识别和分类，再通过““普适开折普适开折””得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态，得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态，随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。

可以处理：静态分随后讨论分叉图的保持性和转迁集等可以处理：静态分叉、叉、HopfHopf分叉和退化分叉和退化HopfHopf分叉对于高维问题，理论上可借助对于高维问题，理论上可借助LSLS约化方法降维，然后再应约化方法降维，然后再应用奇异性方法用奇异性方法该方法参考：该方法参考： 1. Arnold V I. Bifurcation and Singularitics in Mathematics and Mechanics. 1. Arnold V I. Bifurcation and Singularitics in Mathematics and Mechanics. Proc. of the 17th IUTAM, 1988 Proc. of the 17th IUTAM, 1988 2. Arnold V I. 2. Arnold V I. 数学和力学中的分叉和奇异性数学和力学中的分叉和奇异性. . 力学进展力学进展，，1989, 1989, 19(2):59-66 19(2):59-66 3. Golubitsky M and Schaeffer D G. Singularitics and Groups in Bifurcation 3. Golubitsky M and Schaeffer D G. Singularitics and Groups in Bifurcation Theory. Vol.1, Springer-Verlag, 1985Theory. Vol.1, Springer-Verlag, 1985庞加莱庞加莱-伯克霍夫伯克霍夫(PB)规范形方法规范形方法2024/9/12024/9/12323机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室考虑微分方程考虑微分方程x=fx=f（（x x）），，x x∈∈Rn Rn （（1 1））设设f f（（x x））足够光滑，且足够光滑，且f f（（0 0））=0=0。

现在研究对于某个给定正整数现在研究对于某个给定正整数r≥2r≥2，通过坐标的多项式变换，，通过坐标的多项式变换，使得在使得在f f的泰勒展开式中直到的泰勒展开式中直到r r次的项都有比较简单的形式次的项都有比较简单的形式庞加莱庞加莱伯克霍夫范式定理伯克霍夫范式定理 设设f f（（x x）是）是CrCr向量场（向量场（r≥2r≥2），），f f（（0 0））=0=0，，L=DfL=Df（（0 0），则在原点附近存在一个坐标的），则在原点附近存在一个坐标的r r次变次变换，使得在新坐标系中，方程（换，使得在新坐标系中，方程（1 1）化为下面的标准形：）化为下面的标准形：y=Ly+g2y=Ly+g2（（y y））+…+gr1+…+gr1（（y y））+gr+gr（（y y））+o+o（（‖y‖r‖y‖r）） （（2 2））系统系统y=Ly+g2y=Ly+g2（（y y））+…+gr1+…+gr1（（y y））+gr+gr（（y y）称为方程（）称为方程（1 1）的一）的一个个r r阶（截断）阶（截断）PBPB范式2024/9/12024/9/12424机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室需要注意需要注意：：1.1.对于给定的对于给定的r r来说，来说，r r阶阶PBPB范式的取法一般不是唯一的。

范式的取法一般不是唯一的2.2.在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结构往往有密切的关系，但并不一定相同一般来说，对于构往往有密切的关系，但并不一定相同一般来说，对于给定的给定的r r，，r r阶阶PBPB范式到底能在多大程度上反映原系统的定范式到底能在多大程度上反映原系统的定性性态仍然是一个未完全解决的问题性性态仍然是一个未完全解决的问题3.3.尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的PBPB范式通范式通常就能提供重要的定性性态信息，这对原系统拓扑结构的常就能提供重要的定性性态信息，这对原系统拓扑结构的研究有很大帮助研究有很大帮助庞加莱庞加莱-伯克霍夫伯克霍夫(PB)规范形方法规范形方法2024/9/12024/9/12525机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室经典作品参考：经典作品参考：(a) (a) Arnold Arnold V V I. I. Geometrical Geometrical Methods Methods in in the the Theory Theory of of ODE. ODE. Springer-Verlag, 1983 Springer-Verlag, 1983 (b) (b) Wang Wang D. D. An An introduction introduction to to the the Normal Normal Form Form theory theory of of ODE. ODE. Advances In Mathematics, 1990, 30:38-71Advances In Mathematics, 1990, 30:38-71(c) (c) Guckernheimer Guckernheimer J J and and Holmes Holmes P. P. Nonlinear Nonlinear Oscillators, Oscillators, Dynamical Dynamical Systems Systems and and Bifurcations Bifurcations of of Vector Vector Fields. Fields. Springer-Springer-verlag, 1983 verlag, 1983 如何求如何求PBPB规范形方法：矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、规范形方法：矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、共振法等。

对于高维系统需要应用计算机代数、定理机器证明共振法等对于高维系统需要应用计算机代数、定理机器证明等工具如何确定规范形与原方程系数关系：直接比较法、计算机代数如何确定规范形与原方程系数关系：直接比较法、计算机代数方法等（目前无其它更好方法）方法等（目前无其它更好方法）庞加莱庞加莱-伯克霍夫伯克霍夫(PB)规范形方法规范形方法中心流形定理中心流形定理2024/9/12024/9/12626机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室把一个对把一个对n n维动力系统在奇异点附近的各种性态的研究简化维动力系统在奇异点附近的各种性态的研究简化为一个为一个m m维（维（m<=n)m<=n)中心流形上的流的方程去研究中心流形上的流的方程去研究 在高维动态系统非双曲平衡点的领域，存在一类维数较低的局部流形，当系统的相轨迹在该流形上时，可能存在分岔等动力学行为，而在该流形之外，动力学行为非常简单这类流形被称为中心流形中心流形为研究分岔问题提供了一种降维方法该方法将复杂的行为分离出来，可以在维数较低的中心流形上进行研究2024/9/127机械系统与振动国家重点实验室中心流形定理（中心流形定理（Center Manifold TheoremCenter Manifold Theorem）） 考虑自治系统（时不变系统）考虑自治系统（时不变系统）dx/dt=f(x)dx/dt=f(x)。

对其在对其在平衡点线性化，则雅克比矩阵为平衡点线性化，则雅克比矩阵为 A=df/dt(x0) A=df/dt(x0)中心流形定中心流形定理指出，如果理指出，如果f(x)f(x)是是r r阶连续可导，则在任意平衡点，存在阶连续可导，则在任意平衡点，存在唯一的唯一的 r r 阶连续可导的稳定流形，存在唯一的阶连续可导的稳定流形，存在唯一的 r r 阶连续可阶连续可导的不稳定流形，并存在（不一定唯一）导的不稳定流形，并存在（不一定唯一）r-1 r-1 阶连续可导的阶连续可导的中心流形中心流形中心流形定理中心流形定理李雅普诺夫李雅普诺夫-施密特约化（施密特约化（LS约化）约化）2024/9/12024/9/12828机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室在静态分岔的分析中，常在奇异点附近把方程的局部问题，在静态分岔的分析中，常在奇异点附近把方程的局部问题，用李雅普诺夫用李雅普诺夫- -施密特约化（施密特约化（LSLS约化）化为较低维数的方程约化）化为较低维数的方程的局部解问题去研究的局部解问题去研究LSLS法的基本思想是把空间表示成两个子空间的直和，并将法的基本思想是把空间表示成两个子空间的直和，并将方程分别投射到这两个子空间上。

这样得到两个方程，其方程分别投射到这两个子空间上这样得到两个方程，其中一个总有唯一解中一个总有唯一解( (由隐函数定理知），把求出的解代到另由隐函数定理知），把求出的解代到另一方程中去，原来的方程求解问题变为求这个低维方程的一方程中去，原来的方程求解问题变为求这个低维方程的问题参考文献：参考文献：陈予恕，陈予恕， 非线性振动系统的分叉与混沌理论，非线性振动系统的分叉与混沌理论，19931993，高等教育出版社高等教育出版社幂级数法和摄动法幂级数法和摄动法2024/9/12024/9/12929机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室幂级数法幂级数法 通过解的渐进展开，利用投影关系和通过解的渐进展开，利用投影关系和FredholmFredholm择一性进行分择一性进行分叉分析可应用于：静态分叉、叉分析可应用于：静态分叉、HopfHopf分叉、次谐分叉和概周分叉、次谐分叉和概周期分叉领域参考：期分叉领域参考： (a) Ioos G and Joseph D D. Elementary stability and (a) Ioos G and Joseph D D. Elementary stability and Bifurcation Theory (2nd ed.). Springer-Verlag, 1999 Bifurcation Theory (2nd ed.). Springer-Verlag, 1999 摄动法摄动法 包括：平均法、多尺度法、包括：平均法、多尺度法、KBMKBM法、内谐波平衡法等，应用法、内谐波平衡法等，应用于：周期或概周期领域。

于：周期或概周期领域   数值法数值法2024/9/12024/9/13030机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室除摄动方法外，除摄动方法外，上述方法上述方法都属于定性研究数值方法进行都属于定性研究数值方法进行定量研究，特别是在确定分叉点位置、追踪定量研究，特别是在确定分叉点位置、追踪分岔分岔解等方面，解等方面，数值方法是必要的数值方法是必要的参考文献参考文献：： (a) Kubicek M and Marker M. Computational Methods (a) Kubicek M and Marker M. Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipative Structures. in Bifurcation Theory and Dissipative Structures. Springer-Verlag, 1983 Springer-Verlag, 1983 庞加莱映射庞加莱映射-十分重要的映射十分重要的映射2024/9/12024/9/13131机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹用一为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹用一个截面（叫庞加莱截面）将其横截，根据轨迹在截面上穿过的个截面（叫庞加莱截面）将其横截，根据轨迹在截面上穿过的情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱映映射射。

在截面图上，轨迹下一次穿过截面的点在截面图上，轨迹下一次穿过截面的点X(n+1)X(n+1)可以看成可以看成前一次穿过的点前一次穿过的点X(n)X(n)的一种映射的一种映射X(n+1)=f(X(n))X(n+1)=f(X(n))（（n=0,1,2,…n=0,1,2,…））这个映射就叫庞加莱映射它把一个连续的运动化为简洁的离这个映射就叫庞加莱映射它把一个连续的运动化为简洁的离散映射来研究散映射来研究绘制庞加莱映射是在普通的相平面上进行，它不是像画相轨道绘制庞加莱映射是在普通的相平面上进行，它不是像画相轨道那样随时间变化连续地画出相点，而是每隔一个外激励周期那样随时间变化连续地画出相点，而是每隔一个外激励周期（（T=2π/ωT=2π/ω）取一个点，例如取样的时刻可以是）取一个点，例如取样的时刻可以是t=0,T,2T…t=0,T,2T…相相应的相点记为应的相点记为P0(x0,y0)P0(x0,y0)，， P1(x1,y1) P1(x1,y1)，， P2(x2,y2)… P2(x2,y2)…这些离这些离散相点就构成了庞加莱映射散相点就构成了庞加莱映射2024/9/12024/9/13232机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室如不考虑初始阶段的暂态过渡过程，只考虑如不考虑初始阶段的暂态过渡过程，只考虑PoincarePoincare截面的截面的稳态图像，当稳态图像，当PoincarePoincare截面上只有一个不动点和少数离散点截面上只有一个不动点和少数离散点时，可判定运动是周期的时，可判定运动是周期的。

在庞加莱映射中的不动点反映了在庞加莱映射中的不动点反映了相空间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射相空间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射是两个不动点，四倍周期则有四个不动点等是两个不动点，四倍周期则有四个不动点等; ;当当PoincarePoincare截截面上是一封闭曲线时，可判定运动是准周期的面上是一封闭曲线时，可判定运动是准周期的; ;当当PoincarePoincare截面上是成片的密集点，且有层次结构时，可判定运动处于截面上是成片的密集点，且有层次结构时，可判定运动处于混沌状态混沌状态2024/9/12024/9/13333机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室５５ 工程中及自然界中分岔的例子2024/9/12024/9/13434机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n现在看来，分叉可以看作一个依赖于参数的系统，当参数达到某个值时，即临界值时，系统的状态发生了与原来状态很不同的情况从这种观点来看，自然界的许多现象，凡是发生突然变化，而且变化前后有显著不同的情况，都可以从分叉的角度加以研究不管这个系统是属于科学的、技术的、经济学的、心理学的，还是社会学的。

2024/9/12024/9/13535机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n最常见的例子：水最常见的例子：水n n水水在在普普通通气气压压的的条条件件下下在在摄摄氏氏100℃100℃沸沸腾腾，，变变为为气气相相这这100℃100℃就就是是一一种种临临界界温温度度，，也也就是一个相变的分岔点就是一个相变的分岔点静态分岔的例子2024/9/12024/9/13636机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室工程中静态分岔的例子工程中静态分岔的例子20002000年年4 4月月1414日中午日中午1212点点1010分，湖南耒（分，湖南耒（leilei）阳电厂）阳电厂使用近五年的使用近五年的7272MX120MMX120M大型煤棚发生突然整体倒塌大型煤棚发生突然整体倒塌所幸未发生人员伤亡所幸未发生人员伤亡2024/9/12024/9/13737机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室中新网中新网0404年年5 5月月2323日电，巴黎当地日电，巴黎当地2323日日清晨清晨7 7点左右，该市北部的夏尔点左右，该市北部的夏尔· ·戴高乐戴高乐机场的候机楼发生屋顶坍塌事故，已机场的候机楼发生屋顶坍塌事故，已造成至少造成至少6 6人死亡，人死亡，3 3人受伤。

该候机人受伤该候机楼楼20032003年的年的6 6月月1717日举办了落成典礼，日举办了落成典礼，但直到但直到1111月份才正式投入使用月份才正式投入使用2024/9/12024/9/13838机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室世界贸易双塔楼世界贸易双塔楼建于建于19731973年年110110层，高层，高13771377英尺（合４１２米）英尺（合４１２米）2024/9/12024/9/13939机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室2024/9/12024/9/14040机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室2024/9/12024/9/14141机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n人人们们常常见见的的口口琴琴上上有有许许多多簧簧片片拿拿其其中中的的一一片片来来看看，，当当吹吹的的风风小小时时，，簧簧片片不不发发生生运运动动而而当当吹吹的的口口风风稍稍大大时时，，即即超超过过了了某某个个临临界界风风速速，，簧簧片片就就会会产产生生周周期期运运动动而而振振动动起起来来这这是是一一种种典典型型的的霍霍普普夫夫分分岔岔。

风风琴琴、、唢唢呐呐、、单单簧簧管管、、双双簧簧管管、、号号、、笛笛等等乐乐器器都都是是利利用用这个原理制作出来的这个原理制作出来的Hopf 分岔的例子2024/9/12024/9/14242机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n进进一一步步讲讲，，如如果果，，激激发发振振动动的的来来源源不不是是风风，，而而是是摩摩檫檫或或水水力力等等其其他他作作用用，，也也会会出出现现霍霍普普夫夫分分岔岔，，大大量量的的弓弓弦弦乐乐器就都是这种分岔器就都是这种分岔当当然然，，霍霍普普夫夫分分岔岔，，并并不不只只可可以以被被利利用用来来制制作作乐乐器器给给人们带来快乐，也还带来烦恼和灾难人们带来快乐，也还带来烦恼和灾难Hopf 分岔的例子2024/9/12024/9/14343机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n在在2020世世纪纪三三、、四四十十年年代代，，航航空空中中曾曾经经有有一一种种可可怕怕的的空空难难，，在在飞飞行行中中当当速速度度超超过过某某个个临临界界速速度度时时，，由由机机翼翼产产生生突突然然的的“ “颤颤振振” ”而而发发生生的的机机毁毁人人亡亡。

如如果果把把机机翼翼看看作作上上面面说说的的口口琴琴上上的的簧簧，，那那末末“ “颤颤振振” ”现象就容易理解了现象就容易理解了n n几几乎乎所所有有的的噪噪音音，，如如树树叶叶的的沙沙沙沙声声、、机机器器的的隆隆隆隆声声、、摩摩檫檫噪噪音音、、有有时时水水管管子子流流水水的的嗡嗡嗡嗡声声等等都都是是和和霍霍普普夫夫分分岔岔相关的Hopf 分岔的例子2024/9/12024/9/14444机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n在在19401940年年建建成成的的美美国国的的西西北北部部一一座座吊吊桥桥 ，， 长长 853.4853.4m m的的 塔塔科科姆姆( (Tacoma)Tacoma)大大桥桥，，建建成成后后不不久久，，由由于于同同年年1111月月7 7日日的的一一场场不不大大的的风风（（仅仅每每秒秒1919m m））引引起起了了振振幅幅接接近近 9 9m m的的 “ “颤颤 振振 ” ”，，在在这这样样大大振振幅幅振振荡荡下下，，结结构构不不一一会会便便塌毁了Hopf 分岔的例子2024/9/12024/9/14545机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n在在生生态态学学研研究究中中，，有有一一种种所所谓谓“ “捕捕食食者者” ”的的模模型型。

它它是是研研究究有有两两种种动动物物，，例例如如是是大大鱼鱼和和小小鱼鱼，，大大鱼鱼吃吃小小鱼鱼一一般般讲讲，，大大鱼鱼和和小小鱼鱼可可以以在在一一定定的的数数量量上上得得到到平平衡衡不不过过，，还还有有一一种种更更为为常常见见的的现现象象是是，，大大小小鱼鱼的的数数量量周周期期性性地地振振荡荡变变化化当当大大鱼鱼多多了了时时，，小小鱼鱼就就少少了了，，于于是是大大鱼鱼就就因因为为找找不不到到食食物物而而饿饿死死减减少少；；大大鱼鱼少少了了，，小小鱼鱼又又因因为为没没有有天天敌敌大大量量繁繁殖殖而而增增加加如如此此周周而而复复始始这这种种振振荡荡也也是是一一种种典典型型的的霍霍普普夫夫分分岔岔19181918年年意意大大利利数数学学家家Volterra(1860-1940)Volterra(1860-1940)最最早早研研究究了了两两种种生生物物的的捕捕食者模型食者模型Hopf 分岔的例子2024/9/12024/9/14646机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n19001900年年，，法法国国人人白白纳纳（（BenardBenard））做做了了一一个个实实验验。

在在温温度度均均匀匀的的水水平平金金属属板板上上盛盛放放一一薄薄层层液液体体当当加加热热金金属属板板且且上上下下的的温温差差不不大大时时，，液液体体的的状状态态处处于于静静止止，，热热量量是是通通过过热热传传导导的的方方式式自自下下向向上上传传递递当当温温差差达达到到某某个个临临界界值值时时，，静静止止平平衡衡的的液液体体成成为为不不稳稳定定的的，，液液体体开开始始流流动动此此时时流流场场成成规规则则的的胞胞状状结结构构，，在在每每一一胞胞中中，，流流体体自自中中心心至至边边沿沿形形成成环环流流这这个个现现象象解解释释了了白白天天在在日日照照下下地地面面温温度度升升高高后后产产生生局局部部地地区区的的风风的的成成因Hopf 分岔的例子2024/9/12024/9/14747机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室从卫星上拍摄的白纳对流从卫星上拍摄的白纳对流2024/9/12024/9/14848机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室经济学中的经济学中的HopfHopf分岔分岔n n例子：企业R&D的投资决策模型：E E为企业产品销售额，为企业产品销售额，为企业产品销售额，为企业产品销售额，F F为为为为R&DR&D支出支出支出支出值，值，值，值，F Fminmin为维持企业总体上的产品为维持企业总体上的产品为维持企业总体上的产品为维持企业总体上的产品销售平衡状态（零增长）所需的销售平衡状态（零增长）所需的销售平衡状态（零增长）所需的销售平衡状态（零增长）所需的R&DR&D支出值，支出值，支出值，支出值，GGt t为保证为保证为保证为保证R&DR&D的投入的投入的投入的投入不会低于某一限度的单边受限函数，不会低于某一限度的单边受限函数，不会低于某一限度的单边受限函数，不会低于某一限度的单边受限函数，GGt t   0 0，，，，E E* *是决策者期望的最大产品是决策者期望的最大产品是决策者期望的最大产品是决策者期望的最大产品销售额，销售额，销售额，销售额，   为决策者灵敏度，为决策者灵敏度，为决策者灵敏度，为决策者灵敏度，    为为为为环环环环境变量境变量境变量境变量。

R& DR& D投入投入投入投入FtFt随决策者灵敏度随决策者灵敏度随决策者灵敏度随决策者灵敏度    变化变化变化变化的分岔行为的分岔行为的分岔行为的分岔行为R& DR& D投入投入投入投入F Ft t随环境变量随环境变量随环境变量随环境变量   变化的分变化的分变化的分变化的分岔行为岔行为岔行为岔行为2024/9/12024/9/14949机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室其它分岔的例子n n同同样样，，股股票票市市场场的的涨涨落落、、经经济济危危机机的的周周期期性性地地发发生生、、沙沙漠漠中中沙沙丘丘周周期期性性地地起起伏伏、、心心脏脏从从正正常常跳跳动动转转化化为为颤颤动动也也都都是是一一种种分岔现象分岔现象2024/9/12024/9/15050机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n树叶子被风吹得沙沙声；n n机器的隆隆声、摩擦噪音；n n刮锅时刺耳的摩擦噪音；n n水管子流水的时候的嗡嗡声其他分岔实例2024/9/12024/9/15151机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室６分岔研究的历史与现状2024/9/12024/9/15252机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室托里拆利托里拆利Evangelista Torricelli,1608－－1647 n n分岔现象的研究可以追溯到关于平衡的稳定性问题的提出。

1644年，意大利著名学者伽利略的学生，托里拆利给出了关于平衡的稳定性的最原始的提法他说：“如果物体的重心可以沿一个球运动，而且将物体提离球的最低点，则物体不可能保持静止2024/9/12024/9/15353机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室拉格朗日拉格朗日Joseph Louis Lagrange1736－－1813n n17881788年法国学者拉格朗日在他年法国学者拉格朗日在他的《分析力学》中将托里拆利的《分析力学》中将托里拆利的的平衡条件加以推广，提为：的的平衡条件加以推广，提为：“ “当保守系统处于势能严格极当保守系统处于势能严格极小的状态时，系统处于稳定平小的状态时，系统处于稳定平衡 ”这是判断静力平衡稳定这是判断静力平衡稳定性的最早的一般论述当平衡性的最早的一般论述当平衡系统依赖于参数时，稳定性可系统依赖于参数时，稳定性可以随参数变化发生改变这种以随参数变化发生改变这种从稳定到不稳定、或者从不稳从稳定到不稳定、或者从不稳定到稳定的变化，就是定到稳定的变化，就是静力平静力平衡问题的分岔衡问题的分岔2024/9/12024/9/15454机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室欧拉欧拉Leonhard Euler1707－－1783 n n托托里里拆拆利利讨讨论论平平衡衡的的稳稳定定性性之之后后，，过过了了100100年年，，欧欧拉拉在在17441744年年给给出出了了弹弹性性受受压压杆杆在在屈屈曲曲（（即即直直杆杆平平衡衡不不稳稳定定））后后的的大大变变形形分分析析，，即即所所谓谓的的欧欧拉拉弹弹性性线线，，这这可可能能是是弹弹性性体平衡分岔的最早的例子体平衡分岔的最早的例子。

2024/9/12024/9/15555机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室庞加莱庞加莱Jules Henri PoincarJules Henri Poincaré é18541854－－－－19121912 uu最最早早关关于于动动力力学学分分岔岔的的例例子子，，大大概概是是法法国国学学者者庞庞加加莱莱开开始始的的他他研研究究在在万万有有引引力力场场作作用用下下的的旋旋转流体团转流体团2024/9/12024/9/15656机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室麦克斯韦耳麦克斯韦耳James Clerk James Clerk MaxwellMaxwell18311831－－18791879n n最早从理论上研究这个问题的是麦克斯威耳，他在1868年发表论文讨论这一问题，并且给出了一个使调速器稳定工作的条件2024/9/12024/9/15757机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室李亚普诺夫李亚普诺夫Александр Александр Александр Александр Михаилович Михаилович Михаилович Михаилович ЛяпуновЛяпуновЛяпуновЛяпунов1857185718571857－－－－1918191819181918 n n李李亚亚普普诺诺夫夫18921892年年提提交交的的博博士士论论文文《《运运动动稳稳定定性性一一般般问问题题》》在在俄俄罗罗斯斯力力学学家家茹茹可可夫夫斯斯基基等等参参加加答答辩辩后后在在18931893年年通通过过了了莫莫斯斯科科大大学学的的博博士士学学位。

位n n李李亚亚普普诺诺夫夫在在他他的的博博士士论论文文中中，，不不仅仅给给出出了了运运动动稳稳定定性性的的严严格格定定义义，，而而且且还还给给出出了了两两种种严严格格的的判判定定方方法法这这个个定定义义与与判判定定方方法法至至今今仍仍是是运运动动稳稳定定性性研研究究领领域域的的主主要要内内容容它它在在天天文文学学、、微微分分方方程程、、控控制制论论等等领领域域内内一一直直是是关关键键问题之一问题之一2024/9/12024/9/15858机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室安德罗诺夫安德罗诺夫安德罗诺夫安德罗诺夫Александр Александр Александр Александр Александрович Александрович Александрович Александрович АндроновАндроновАндроновАндронов1901190119011901－－－－1952195219521952这个结论说明分叉是在动力系统中十分普遍的现象所以后人这个结论说明分叉是在动力系统中十分普遍的现象所以后人把把从平衡状态进入振荡状态的分叉称为霍普分叉从平衡状态进入振荡状态的分叉称为霍普分叉。

19281928年年苏苏联联力力学学家家安安德德罗罗诺诺夫夫在在讨讨论论振振动动和和极极限限环环时时引引进进了了自自振振的的概概念念随随后后德德国国数数学学家家霍霍普普夫夫在在19421942年年严严格格论论证证了了一一个个动动力力系系统统从从平平衡衡解解转转化为周期解的条件化为周期解的条件霍普夫霍普夫霍普夫霍普夫E. HopfE. Hopf1902-19831902-19832024/9/12024/9/15959机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室７７ 分岔现象研究的意义2024/9/12024/9/16060机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n沟通了不同领域，寻求他们共同的规律又由于分岔是非线性问题，所以它成为新近形成的“非线性科学”的主要内容n n对具体问题的分岔准确计算，使我们能够掌握这种问题的变化规律n n对确定论或宿命论哲学的否定分岔研究的意义分岔研究的意义2024/9/12024/9/16161机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n一一方方面面来来自自各各个个具具体体的的出出现现分分岔岔现现象象的的领领域域，，这这种种研研究究的的目目的的在在于于揭揭示示那那些些具具体体领领域域中中若若干不同现象的转变点。

干不同现象的转变点n n另另一一方方面面人人们们把把分分岔岔作作为为一一种种各各个个领领域域共共有有的的普普遍遍规规律律来来研研究究，，旨旨在在发发现现分分岔岔问问题题共共同同规律n n由由于于在在分分岔岔研研究究中中，，人人们们遇遇到到越越来来越越复复杂杂的的方方程程，，这这些些方方程程又又都都是是非非线线性性的的，，所所以以大大多多要要借借助助于于计计算算机机求求解解去去发发现现分分岔岔点点和和追追踪踪系系统统分分岔岔后后的的行行为为因因之之，，关关于于分分岔岔问问题题在在计计算算机机上上的的数数值值方方法法，，就就成成为为分分岔岔研研究究和和数数值值方法的一个重要的研究方向方法的一个重要的研究方向目前对分岔的研究目前对分岔的研究2024/9/12024/9/16262机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室结结 论论n n分岔是系统两种性质上不同的状态转变点分岔是系统两种性质上不同的状态转变点n n掌握系统的分岔点对把握系统的性质和行掌握系统的分岔点对把握系统的性质和行为非常重要为非常重要n n分岔问题是实质非线性问题分岔问题是实质非线性问题。

n n分岔是非常普遍的现象分岔是非常普遍的现象2024/9/12024/9/16363机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室第二章第二章 混沌混沌2024/9/12024/9/16464机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室第二章第二章 混沌混沌１混沌的发现２混沌的定义３混沌的特征４走向混沌的道路 5 有趣的吸引子 6混沌在现代科技领域的应用 2024/9/12024/9/16565机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现 n n混沌学的研究热潮始于上一世纪混沌学的研究热潮始于上一世纪7070年代，但这门年代，但这门新学科的渊源却可以追溯到新学科的渊源却可以追溯到1919世纪末n n 庞加莱公认的最早发现混沌的是伟大的公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家、物理学家法国数学家、物理学家——庞加莱庞加莱庞加莱庞加莱，，他是在研究天体力学，特别是在他是在研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现混沌的他研究三体问题时发现混沌的他发现三体引力相互作用能产生惊发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。

程的某些解有不可预见性 2024/9/12024/9/16666机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室１１ 混沌的发现混沌的发现n n庞加莱对三体问题的研究庞加莱对三体问题的研究太阳系是稳定吗？”是可预测的吗？2024/9/12024/9/16767机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n长期以来有两种对立的见解：长期以来有两种对立的见解：ØØ一派以庞加莱（一派以庞加莱（PoincarePoincare）为代表，）为代表，认为其系统是不可预测的认为其系统是不可预测的ØØ另一派则以拉普拉斯（另一派则以拉普拉斯（LaplaceLaplace））为首，他说：为首，他说：“ “如果我们知道宇宙每如果我们知道宇宙每一颗粒子，在某一特定时刻的准确位一颗粒子，在某一特定时刻的准确位置和速度，便可以计算出宇宙的过去置和速度，便可以计算出宇宙的过去和未来 ”这是一种机械唯物论，认这是一种机械唯物论，认为整个宇宙都是受机械律支配的为整个宇宙都是受机械律支配的１１ 混沌的发现混沌的发现2024/9/12024/9/16868机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n关于单体和两体问题，可以利用牛顿力学得到精确的解，但利用牛顿力学得到的三体系统方程却一直未得到精确的解。

 n n 不过庞加莱在当时指出了其某些解的复杂性，并提出了百年数学难题——庞加莱猜想 １１ 混沌的发现混沌的发现2024/9/12024/9/16969机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室 庞加莱在《科学的价值》一书中写道，“可以发生这样的情况：初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别前者的微小误差促成了后者的巨大误差，于是预言变的不可能了”这些描述实际上已经蕴涵了“确定性系统具有内在的随机性”这一混沌现象的重要特征   n n 世界上了解混沌的存在 的可能性的第一人2024/9/12024/9/17070机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n nH. PoincareH. Poincare的科学哲学思想也为发现混沌清除了的科学哲学思想也为发现混沌清除了一大理论障碍一大理论障碍 他明确地提出了偶然性的客观意义，他认为他明确地提出了偶然性的客观意义，他认为“ “偶然性并非是我们给我们的无知所取的名字偶然性并非是我们给我们的无知所取的名字” ”，，“ “对于偶然发生的现象本身，通过概率运算给予对于偶然发生的现象本身，通过概率运算给予我们的信息显然将是真实的我们的信息显然将是真实的” ”。

从这一认识出发，从这一认识出发，他鲜明地批判了他鲜明地批判了“ “绝对的决定论绝对的决定论” ”，认为精确的，认为精确的定律并非决定一切，他们只是划出了偶然性可能定律并非决定一切，他们只是划出了偶然性可能起作用的界限起作用的界限《《《《科学与假说科学与假说科学与假说科学与假说》》》》(1901)(1901)(1901)(1901)，，，，《《《《科学的价值科学的价值科学的价值科学的价值》》》》(1905) (1905) (1905) (1905) 和和和和《《《《科学与方法科学与方法科学与方法科学与方法》》》》(1908)(1908)(1908)(1908) 2024/9/12024/9/17171机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n nPoincare数学上的成就： 他与他与LyapunovLyapunov一起奠定了一起奠定了微分方程定性理论微分方程定性理论的基础的基础；他为现代动力系统理论贡献了一系列重要概念，如；他为现代动力系统理论贡献了一系列重要概念，如动力系统动力系统、、奇异点奇异点、、极限环极限环、、稳定性稳定性、、分叉分叉、、同宿同宿、、异宿异宿等；提供了许多有效的方法和工具，如等；提供了许多有效的方法和工具，如小参数展小参数展开法开法、、摄动方法摄动方法、、H. PoincareH. Poincare截面法截面法等。

他所创立等他所创立的的组合拓扑学组合拓扑学是当今研究混沌学必不可少的工具是当今研究混沌学必不可少的工具现现代动力系统理论的几个重要组成部分，如稳定性理论、代动力系统理论的几个重要组成部分，如稳定性理论、分叉理论、奇异性理论和吸引子理论等，都发源于分叉理论、奇异性理论和吸引子理论等，都发源于H. H. PoincarePoincare的早期研究的早期研究2024/9/12024/9/17272机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n最早将庞加莱的拓扑动力学思想引到其他领域的工作是以电工学和电工技术为背景的 称为杜芬方程其中称为杜芬方程其中f(x)f(x)含三次项，含三次项，g(x)g(x)为周为周期函数杜芬方程是今日混沌学文献中常见的方程期函数杜芬方程是今日混沌学文献中常见的方程之一可以参考之一可以参考《《混沌、分形及其应用混沌、分形及其应用》》（王东生（王东生等编）等编）p181p181uu1918年，杜芬（G. Duffing）研究了具有非线性恢复力项的受迫振动系统，揭示出许多非线性振动的奇妙现象他所研究的动力学方程经标准化后为2024/9/12024/9/17373机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现 1928年，荷兰物理学家范德波尔（B.van der pol）研究三极管振荡器，建立了以他的名字命名的运动方程2024/9/12024/9/17474机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n   上一世纪六十年代初，洛伦兹通过对天气的简化上一世纪六十年代初，洛伦兹通过对天气的简化模型研究，在计算机上发现似随机的运算结果，模型研究，在计算机上发现似随机的运算结果，即即“ “混沌混沌” ”。

————被誉为混沌解的第一个实例，被誉为混沌解的第一个实例，从而揭开了对混沌现象深入研究的序幕从而揭开了对混沌现象深入研究的序幕n n在著名论文在著名论文“ “确定性非周期流确定性非周期流” ”中讨论了天气预报的困难和中讨论了天气预报的困难和大气湍流现象，该简化方程后来被称为著名的洛伦兹方程大气湍流现象，该简化方程后来被称为著名的洛伦兹方程n n计算结果的实质意义：计算结果的实质意义：气候不能精确重复与无法长期天气预气候不能精确重复与无法长期天气预气候不能精确重复与无法长期天气预气候不能精确重复与无法长期天气预报之间必然存在着一种联系报之间必然存在着一种联系报之间必然存在着一种联系报之间必然存在着一种联系，，这就是非周期性与不可预见性这就是非周期性与不可预见性之间的关系之间的关系   2024/9/12024/9/17575机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n主要贡献：ØØ在耗散系统中首先发现了混沌运动；在耗散系统中首先发现了混沌运动；ØØ揭示了确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、揭示了确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性等混沌基本特征；长期行为的不可预测性等混沌基本特征；ØØ在现代混沌研究中发现了第一个奇怪吸引子，洛在现代混沌研究中发现了第一个奇怪吸引子，洛伦兹吸引子标志着混沌学研究正式开始；伦兹吸引子标志着混沌学研究正式开始；ØØ为混沌研究提供了一个重要模型，引发出大量研为混沌研究提供了一个重要模型，引发出大量研究成果，至今仍然是混沌开发的一个富矿区；究成果，至今仍然是混沌开发的一个富矿区；ØØ最先采用数值计算方法研究混沌，对混沌研究方最先采用数值计算方法研究混沌，对混沌研究方法论有重要贡献。

法论有重要贡献————数值实验数值实验2024/9/12024/9/17676机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n 19641964年法国天文学家伊侬年法国天文学家伊侬( (Henon MHenon M) ) 从研究球状从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，给出了下列星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，给出了下列的的HenonHenon映射映射该方程组当参数该方程组当参数b=0.3b=0.3，且改变参，且改变参数数a a时，就发现其系统运动轨道在时，就发现其系统运动轨道在相空间中的分布似乎越来越随机相空间中的分布似乎越来越随机伊侬得到了一种最简单的吸引子，伊侬得到了一种最简单的吸引子，并用它并用它建立的建立的“ “热引力崩坍热引力崩坍” ”理论，理论，解释了几个世纪以来一直遗留的太解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题阳系的稳定性问题2024/9/12024/9/17777机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n 19711971年法国物理学家茹厄勒年法国物理学家茹厄勒( (Ruell DRuell D) )和荷兰数学家塔肯斯和荷兰数学家塔肯斯( (Takens FTakens F) )为耗散系统引入了为耗散系统引入了“ “奇怪吸引子奇怪吸引子” ”( (Strange attractorStrange attractor) )这一概念，提出了一个新的湍流这一概念，提出了一个新的湍流发生机制，以揭示湍流的本质。

发生机制，以揭示湍流的本质然而，因为湍流是一种极其复杂然而，因为湍流是一种极其复杂的现象，它是如何发生的，至今的现象，它是如何发生的，至今人们仍不完全清楚，但是，混沌人们仍不完全清楚，但是，混沌现象的发现，对揭示湍流有很大现象的发现，对揭示湍流有很大启发2024/9/12024/9/17878机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n   19751975年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克〔〔Yorke J )Yorke J )在美国在美国《《数学月刊数学月刊》》发表了题为发表了题为“ “Period Three Implies Period Three Implies Chaos”Chaos” （周期（周期3 3蕴涵着混沌）的著名文章，深刻地揭示了蕴涵着混沌）的著名文章，深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程文章标题中的从有序到混沌的演化过程文章标题中的“ “Chaos/Chaos/混沌混沌” ”一词便在现代意义下正式出现在科学语汇之中一词便在现代意义下正式出现在科学语汇之中李天岩李天岩     J J YorkeYorke2024/9/12024/9/17979机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n   19761976年美国数学生态学家梅年美国数学生态学家梅(May)(May)在在美国美国《《自然自然》》杂志上发表的题为杂志上发表的题为“ “具具有极复杂的动力学的简单数学模型有极复杂的动力学的简单数学模型” ”文章中指出，在生态学中一些非常简文章中指出，在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看似单的确定性的数学模型却能产生看似随机的行为。

如随机的行为如称之为人口称之为人口( (或虫口或虫口) )方程，即著名的逻辑斯谛方程，即著名的逻辑斯谛(Logistic)(Logistic)模型该模型看来似乎很简单，并且是模型该模型看来似乎很简单，并且是确定性的，但参数确定性的，但参数 在一定范围变化时，它却具有极在一定范围变化时，它却具有极为复杂的动力学行为，其中包括了分岔和混沌，从为复杂的动力学行为，其中包括了分岔和混沌，从而向人们表明了混沌理论的惊人信息而向人们表明了混沌理论的惊人信息2024/9/12024/9/18080机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n   19781978年和年和19791979年菲根鲍姆年菲根鲍姆(Feigenbaum M)(Feigenbaum M)等人在梅的基等人在梅的基础上独立地发现了倍周期分岔础上独立地发现了倍周期分岔现象中的标度性和普适常数，现象中的标度性和普适常数，从而使混沌在现代科学中具有从而使混沌在现代科学中具有坚实的理论基础坚实的理论基础2024/9/12024/9/18181机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n艰苦研究六年，菲根鲍姆终于发现并证实了4.6692这个新的常数（菲根鲍姆常数）2024/9/12024/9/18282机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n这一普适性的发现推动了二十世纪八、九十年代这一普适性的发现推动了二十世纪八、九十年代这一普适性的发现推动了二十世纪八、九十年代这一普适性的发现推动了二十世纪八、九十年代混沌运动的研究形成了一股科研热潮。

混沌运动的研究形成了一股科研热潮混沌运动的研究形成了一股科研热潮混沌运动的研究形成了一股科研热潮n n从它开始，物理学家以极大的热情加入了这原本从它开始，物理学家以极大的热情加入了这原本从它开始，物理学家以极大的热情加入了这原本从它开始，物理学家以极大的热情加入了这原本属于数学家的研究领域，并在两个方面起了重要属于数学家的研究领域，并在两个方面起了重要属于数学家的研究领域，并在两个方面起了重要属于数学家的研究领域，并在两个方面起了重要作用：作用：作用：作用：n n一是用观察员的身份搜索了各种系统中的混沌运动一是用观察员的身份搜索了各种系统中的混沌运动一是用观察员的身份搜索了各种系统中的混沌运动一是用观察员的身份搜索了各种系统中的混沌运动极其特殊现象极其特殊现象极其特殊现象极其特殊现象n n二是从实用者的角度，探索了混沌运动现象在各个二是从实用者的角度，探索了混沌运动现象在各个二是从实用者的角度，探索了混沌运动现象在各个二是从实用者的角度，探索了混沌运动现象在各个领域里的可能应用领域里的可能应用领域里的可能应用领域里的可能应用2024/9/12024/9/18383机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室1 1 混沌的发现混沌的发现n n自此，混沌研究开始由纯理论研究逐渐走向应用自此，混沌研究开始由纯理论研究逐渐走向应用自此，混沌研究开始由纯理论研究逐渐走向应用自此，混沌研究开始由纯理论研究逐渐走向应用研究，越来越多的研究，越来越多的研究，越来越多的研究，越来越多的控制工程、通信、生物医学、控制工程、通信、生物医学、控制工程、通信、生物医学、控制工程、通信、生物医学、机械机械机械机械等工程技术界的学者专家也开始加入这个原等工程技术界的学者专家也开始加入这个原等工程技术界的学者专家也开始加入这个原等工程技术界的学者专家也开始加入这个原本主要是物理学家、数学家们参加的纯理论基础本主要是物理学家、数学家们参加的纯理论基础本主要是物理学家、数学家们参加的纯理论基础本主要是物理学家、数学家们参加的纯理论基础研究领域。

所以说在各个领域的主要期刊中也有研究领域所以说在各个领域的主要期刊中也有研究领域所以说在各个领域的主要期刊中也有研究领域所以说在各个领域的主要期刊中也有混沌方面的研究混沌方面的研究混沌方面的研究混沌方面的研究 n n到目前为止，混沌理论已经发展成为内容丰富、到目前为止，混沌理论已经发展成为内容丰富、到目前为止，混沌理论已经发展成为内容丰富、到目前为止，混沌理论已经发展成为内容丰富、覆盖面广、成就卓著的研究领域，并在现代科学覆盖面广、成就卓著的研究领域，并在现代科学覆盖面广、成就卓著的研究领域，并在现代科学覆盖面广、成就卓著的研究领域，并在现代科学技术中起到了重要作用，它的研究面之广除了几技术中起到了重要作用，它的研究面之广除了几技术中起到了重要作用，它的研究面之广除了几技术中起到了重要作用，它的研究面之广除了几乎所有的自然科学界以外，还涉及到乎所有的自然科学界以外，还涉及到乎所有的自然科学界以外，还涉及到乎所有的自然科学界以外，还涉及到经济界、社经济界、社经济界、社经济界、社会界、甚至哲学界会界、甚至哲学界会界、甚至哲学界会界、甚至哲学界等领域之中等领域之中等领域之中等领域之中 2024/9/12024/9/18484机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室2 2 混沌的定义混沌的定义n n现代科学中的混沌：现代科学中的混沌：n n混沌是混沌是“ “无序中的有序无序中的有序无序中的有序无序中的有序” ”，有序是指其确定性，，有序是指其确定性，而无序则是指其最终结果的不可预测性。

而无序则是指其最终结果的不可预测性n n作为一个科学概念：作为一个科学概念：一类确定性非线性系统长期一类确定性非线性系统长期一类确定性非线性系统长期一类确定性非线性系统长期动力学行为所表现出的似随机性动力学行为所表现出的似随机性动力学行为所表现出的似随机性动力学行为所表现出的似随机性n n数学上：数学上：混沌这一词一直没有一个统一的严格定混沌这一词一直没有一个统一的严格定义义，目前关于混沌的定义至少有九种不同的描述，目前关于混沌的定义至少有九种不同的描述方法，其中比较常用的有方法，其中比较常用的有Li-Yorke, Devaney, Li-Yorke, Devaney, MarottoMarotto意义下的三种混沌定义意义下的三种混沌定义   2024/9/12024/9/18585机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室3 3 混沌的特征混沌的特征n n第一个特征：对初始条件的敏感性第一个特征：对初始条件的敏感性第一个特征：对初始条件的敏感性第一个特征：对初始条件的敏感性 ‧‧蝴蝶效应蝴蝶效应( (butterfly effect)butterfly effect)n n第二个特征：不可预测性第二个特征：不可预测性第二个特征：不可预测性第二个特征：不可预测性n n第三个特征：有界性和遍历性第三个特征：有界性和遍历性第三个特征：有界性和遍历性第三个特征：有界性和遍历性 ‧‧乱中有序乱中有序n n第四个特征：第四个特征：第四个特征：第四个特征：自我相似性自我相似性自我相似性自我相似性 ‧‧分分形形( (fractal)fractal)fractal)fractal)n n第五个特征：非周期性第五个特征：非周期性第五个特征：非周期性第五个特征：非周期性 ‧‧功率谱的连续与宽频带功率谱的连续与宽频带2024/9/12024/9/18686机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室Folklore: n n"For want of a nail, the shoe was lost;"For want of a nail, the shoe was lost;丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；n nFor want of a shoe, the horse was lost;For want of a shoe, the horse was lost;n nFor want of a horse, the rider was lost;For want of a horse, the rider was lost;n nFor want of a rider, a message was lost;For want of a rider, a message was lost;n nFor want of a message, the battle was lost;For want of a message, the battle was lost;n nFor want of a battle, the kingdom was lost!For want of a battle, the kingdom was lost!“ “ 坏了一只蹄铁，折了一匹战马；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；折了一匹战马，伤了一位骑士；折了一匹战马，伤了一位骑士；折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，误了一条消息；伤了一位骑士，误了一条消息；伤了一位骑士，误了一条消息；伤了一位骑士，误了一条消息；误了一条消息，输了一场战斗；误了一条消息，输了一场战斗；误了一条消息，输了一场战斗；误了一条消息，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国！输了一场战斗，亡了一个帝国！输了一场战斗，亡了一个帝国！输了一场战斗，亡了一个帝国！n n第一个特征：对初始条件的敏感性第一个特征：对初始条件的敏感性第一个特征：对初始条件的敏感性第一个特征：对初始条件的敏感性3 混沌的特征2024/9/12024/9/18787机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室 麻省理工学的气象学家麻省理工学的气象学家洛伦兹( (Edward Lorenz)Edward Lorenz)形容蝴蝶效应，形容蝴蝶效应，他说：南美洲亚马逊河流域的热他说：南美洲亚马逊河流域的热带雨林中一只蝴蝶，偶然煽动了带雨林中一只蝴蝶，偶然煽动了翅膀，所引起的微弱气流可能会翅膀，所引起的微弱气流可能会造成一周后纽约的龙卷风；也就造成一周后纽约的龙卷风；也就是说，只要开始有一点点小小的是说，只要开始有一点点小小的差异，影响会随着时间而扩大，差异，影响会随着时间而扩大，造成后来南辕北辙的结果。

造成后来南辕北辙的结果n n 第一个特征：对初始条件的敏感第一个特征：对初始条件的敏感第一个特征：对初始条件的敏感第一个特征：对初始条件的敏感性性性性3 混沌的特征n n 蝴蝶效应蝴蝶效应蝴蝶效应蝴蝶效应 ( (butterfly effect)butterfly effect)2024/9/12024/9/18888机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n第二个特征：不可预测性第二个特征：不可预测性第二个特征：不可预测性第二个特征：不可预测性   3 混沌的特征天体力学中平面三体问题很好地说明了这种内随机性当用计算机计算1个小质量天体在2个等量大天体M1、M2所在平面的垂线上运动时，来回摆动若干次以后，行为变得随机起来，人们再也无法预测它的位置、速度及回归时间2024/9/12024/9/18989机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n第三个特征：有界性和遍历性第三个特征：有界性和遍历性第三个特征：有界性和遍历性第三个特征：有界性和遍历性HenonHenon映射的混沌吸引子映射的混沌吸引子3 混沌的特征有界性有界性：：混沌的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域混沌的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域称为混沌吸引域。

无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不称为混沌吸引域无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域所以从整体上来说混沌系统是稳定的会走出混沌吸引域所以从整体上来说混沌系统是稳定的遍历性遍历性：：混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌时间内混沌会到会到混沌区内每一个状态点混沌区内每一个状态点2024/9/12024/9/19090机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室HenonHenon映射的混沌吸引子映射的混沌吸引子n n第三特征：有界性和遍历性第三特征：有界性和遍历性第三特征：有界性和遍历性第三特征：有界性和遍历性3 混沌的特征2024/9/12024/9/19191机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n第四个特征：第四个特征：自我相似性自我相似性 ‧分形(fractal)fractal)3 混沌的特征混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构无限层次的自相似结构无限层次的自相似结构无限层次的自相似结构。

2024/9/12024/9/19292机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n第五个特征：非周期性第五个特征：非周期性第五个特征：非周期性第五个特征：非周期性3 混沌的特征混沌是一种不同于周期、准周期或随机运动的运混沌是一种不同于周期、准周期或随机运动的运动形式，它也动形式，它也具有非周期性具有非周期性，这就使得混沌信号，这就使得混沌信号在时间轴上在时间轴上表现出表现出类似随机类似随机的特性它具有的特性它具有功率功率谱的连续与宽频带特性谱的连续与宽频带特性: :混沌系统本身所具有的内混沌系统本身所具有的内在随机性则使得系统功率谱象随机系统那样也具在随机性则使得系统功率谱象随机系统那样也具有连续性，并有较好的宽频特性因此，利用传有连续性，并有较好的宽频特性因此，利用传统的频谱分析工具难以区分混沌系统和随机系统统的频谱分析工具难以区分混沌系统和随机系统2024/9/12024/9/19393机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室4 4 走向混沌的道路走向混沌的道路 n n(1) (1) (1) (1) 倍周期分岔进入混沌倍周期分岔进入混沌倍周期分岔进入混沌倍周期分岔进入混沌 一一个个系系统统，，在在一一定定条条件件下下，，经经过过周周期期加倍，会逐步丧失周期行为而进入混沌。

加倍，会逐步丧失周期行为而进入混沌n n(2) (2) (2) (2) 阵发混沌进入混沌阵发混沌进入混沌阵发混沌进入混沌阵发混沌进入混沌 阵阵发发混混沌沌是是指指系系统统从从有有序序向向混混沌沌转转化化时时，，在在非非平平衡衡非非线线性性的的条条件件下下，，某某些些参参数数的的变变化化达达到到某某一一临临界界阈阈值值时时，，系系统统会会时时而而有有序序，，时时而而混混沌沌，，在在两两则则之之间间振振荡荡，，有有关关参参数数继继续续变变化化，，整整个个系统会由阵法混沌发展为混沌系统会由阵法混沌发展为混沌 n n⑶ ⑶ ⑶ ⑶ 茹勒茹勒茹勒茹勒——泰肯（泰肯（泰肯（泰肯（RuelleRuelleRuelleRuelle——TaKensTaKensTaKensTaKens）道路）道路）道路）道路 所所谓谓茹茹勒勒——泰泰肯肯道道路路，，就就是是指指只只要要系系统统有有三三个个以以上上的的频频率率互互相相耦耦合合时时，，系系统统就就出出现现混混沌现象。

沌现象   2024/9/12024/9/19494机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室4.1 倍周期分岔 解释倍周期分岔现象，我们从混沌描述中最重解释倍周期分岔现象，我们从混沌描述中最重要的的一维非线性迭代方程式入手这类方程中要的的一维非线性迭代方程式入手这类方程中最有典型意义的是虫口方程－逻辑斯蒂最有典型意义的是虫口方程－逻辑斯蒂（（LogisticLogisticLogisticLogistic））））映射 (1) 式中的式中的 是与虫口增长率有关的控制参数，是与虫口增长率有关的控制参数，同时它的大小也反映了系统非线性的强弱同时它的大小也反映了系统非线性的强弱 当当时，不管初值是多少，经过足够长的迭时，不管初值是多少，经过足够长的迭代，结果都会达到同一个确定值代，结果都会达到同一个确定值   这个值就叫做周期一或不动点，，我们可以这个值就叫做周期一或不动点，，我们可以把这一结果想象成每年的虫口都一样。

把这一结果想象成每年的虫口都一样     2024/9/12024/9/19595机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室4.1 倍周期分岔 继续增大参数继续增大参数 ，当，当 >3>3，周期一点不，周期一点不再稳定初值稍有变化，迭代的结果就再也不会再稳定初值稍有变化，迭代的结果就再也不会回到周期一点回到周期一点 ，而出现了周期二而出现了周期二例如：例如：      当当 时，时，0.70.7是周期一点现用是周期一点现用0.6690.669去迭代，就会出现周期二迭代情况如下：去迭代，就会出现周期二迭代情况如下：………… 2024/9/12024/9/19696机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室4.1 倍周期分岔n n现在，让参数再增大，当=3.449时，周期二解也变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期四解当参数继续增大，使得=3.544时，周期四解又变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期八解一直迭代下去，还会出现周期十六、周期三十二等等这就是著名的倍周期分岔现象。

 2024/9/12024/9/19797机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室4.1 倍周期分岔n n值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一直这样分下去，但对应的值却有一个极限,，到达,时，迭代的稳定解是2 周期解---周期无穷大，也就是没有周期所以这时得到的是非周期解，迭代的数据到处乱跑，无法把握，系统进入混沌状态 2024/9/12024/9/19898机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室图图4-1 4-1 倍周期分岔图倍周期分岔图   2024/9/12024/9/19999机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室图图4-2 4-2 混沌内部的自相似结构混沌内部的自相似结构   2024/9/12024/9/1100100机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室图图4-3 4-3 倍周期分岔谱图倍周期分岔谱图   2024/9/12024/9/1101101机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室4.2 阵发混沌阵发混沌(Intermittent (Intermittent chaos)chaos)n n 19791979年，法国数学家玻木年，法国数学家玻木(Pomeau)(Pomeau)和曼维尔和曼维尔(Manneville)(Manneville)在计算洛论兹方程的在计算洛论兹方程的 y y 分量时发现：分量时发现：n n 当瑞利参数当瑞利参数 r r 在到达临界值在到达临界值 r rc c 附近时附近时 y y 分分量的周期性变化被一种随机的、突发性的冲击所量的周期性变化被一种随机的、突发性的冲击所打断。

当打断当r r<

例如，平衡，简谐运动，亚简谐运动，拟周期运动，相空间中其他点(运动状态)都被吸引到这些点集或不变流形中，故称为吸引子通俗地说，就是相空间（或状态空间）中的图形，它对系统施加了一种“磁铁般的”吸引力，似乎要把系统都拉向它2024/9/12024/9/1104104机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子n n相空间相空间（（Phase spacePhase space）：）： 是是一一个个数数学学空空间间，，是是由由描描述述动动力力学学系系统统瞬瞬态态必必不不可可少少的的状状态态变变量量构构成成的的正正交交坐坐标标空空间间，，也也称称之之为为状状态态空空间间每每一一个个状状态态也也称称为为相相，，在在相相空空间间上上的的曲曲线称为相轨迹线称为相轨迹可借助计算机来描述系统的相轨迹2024/9/12024/9/1105105机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子   例例如如，，在在直直线线上上运运动动的的质质点点，，几几何何空空间间是是一一维维的的，，而而它它的的动动力力学学描描述述则则需需要要它它的的位位置置（（x x））和和速速度度（（v v））两两个个变变量量，，因因此它的相空间是一平面，即此它的相空间是一平面，即2 2维的。

维的 同样，一个在同样，一个在3 3维几何空间运动的质点描述它的相空间是维几何空间运动的质点描述它的相空间是6 6维维的，即的，即3 3个位置变量和个位置变量和3 3个速度变量个速度变量 n n（（1 1））相相空空间间是是一一个个数数学学空空间间，，和和几几何何空空间间是是有有区别的特点：2024/9/12024/9/1106106机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子n n（（2 2）描述一个相空间的状态变量可以是不同的描述一个相空间的状态变量可以是不同的例如上述的质点运动就可以用动量例如上述的质点运动就可以用动量（（momentamomenta））来代替速度来代替速度：：υυ →→ m mυυ   来画图来画图也可用状态变量的叠加来画图，等等也可用状态变量的叠加来画图，等等2024/9/12024/9/1107107机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n（（（（3 3 3 3））））两两两两条条条条代代代代表表表表能能能能量量量量及及及及几几几几乎乎乎乎相相相相等等等等的的的的相相相相轨轨轨轨迹迹迹迹，，，，可可可可能能能能相相相相互十分接近，但是绝不会相交。

互十分接近，但是绝不会相交互十分接近，但是绝不会相交互十分接近，但是绝不会相交5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子Hyperchaotic Chen AttractorHyperchaotic Chen Attractor2024/9/12024/9/1108108机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室具有吸引子的系统的运动形式： 图图1 1 平衡态平衡态 图图2 2 周期运动周期运动不动点不动点极限环极限环5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子2024/9/12024/9/1109109机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室具有吸引子的系统的运动形式：由由有限个周期运动线性有限个周期运动线性有限个周期运动线性有限个周期运动线性叠加叠加叠加叠加而成，这些周期运而成，这些周期运动的周期中动的周期中至少有两个至少有两个至少有两个至少有两个周期的比值为无理数周期的比值为无理数周期的比值为无理数周期的比值为无理数    图图3 3 拟周期运动拟周期运动环面环面5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子2024/9/12024/9/1110110机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n 不动点、极限环和环面这三种类型的吸引子的拓不动点、极限环和环面这三种类型的吸引子的拓扑结构分别是扑结构分别是0 0维、维、1 1维和维和2 2维。

这类吸引子也称为维这类吸引子也称为平凡吸引子平凡吸引子5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子①① 定态定态————相空间的定点吸引子（运动状态可预测）相空间的定点吸引子（运动状态可预测）（有阻尼单摆方程）（有阻尼单摆方程）② ② 周期振荡周期振荡 ————极限环吸引子（运动状态可预测）极限环吸引子（运动状态可预测）（范德玻耳方程）（范德玻耳方程）③ ③ 混沌态混沌态————奇怪吸引子（运动状态不可预测）奇怪吸引子（运动状态不可预测）（洛仑兹方程）（洛仑兹方程）2024/9/12024/9/1111111机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子奇怪吸引子是指非线性系统的运动状态在相空是指非线性系统的运动状态在相空间中形成间中形成变化变化的流形或点集也称为混沌吸引的流形或点集也称为混沌吸引子5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子系统的状态进入相应吸引域内，运动轨道都会系统的状态进入相应吸引域内，运动轨道都会向吸引子会聚，但是，一切到达吸引子后的轨向吸引子会聚，但是，一切到达吸引子后的轨道由于其对初始条件的敏感依赖性又会急剧的道由于其对初始条件的敏感依赖性又会急剧的分离、发散，但仍要一直处在吸引域的界限之分离、发散，但仍要一直处在吸引域的界限之内内------轨道相互缠绕，来回穿行，永不相交。

轨道相互缠绕，来回穿行，永不相交   2024/9/12024/9/1112112机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室n n奇怪吸引子奇怪吸引子中国科大的汪秉宏教授对奇怪中国科大的汪秉宏教授对奇怪吸引子的解释是这样的：吸引子的解释是这样的： (1) (1) (1) (1) 它是一个吸引子它是一个吸引子它是一个吸引子它是一个吸引子因而它具有吸引子的因而它具有吸引子的因而它具有吸引子的因而它具有吸引子的不变性不变性不变性不变性、、、、吸引性吸引性吸引性吸引性、、、、可回复性可回复性可回复性可回复性和和和和不可分解性不可分解性不可分解性不可分解性然而，有限个孤立有限个孤立有限个孤立有限个孤立的稳定不动点集合的稳定不动点集合的稳定不动点集合的稳定不动点集合或或或或多周期的极限环多周期的极限环多周期的极限环多周期的极限环并不构成奇怪吸并不构成奇怪吸并不构成奇怪吸并不构成奇怪吸引子至少必须是引子至少必须是引子至少必须是引子至少必须是3 3 3 3维或维或维或维或3 3 3 3维以上的相空间中的动力学维以上的相空间中的动力学维以上的相空间中的动力学维以上的相空间中的动力学流的极限集合，才能构成奇怪吸引子。

流的极限集合，才能构成奇怪吸引子流的极限集合，才能构成奇怪吸引子流的极限集合，才能构成奇怪吸引子 5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子2024/9/12024/9/1113113机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子例：洛仑兹吸引子例：洛仑兹吸引子——相曲线不闭和、不相交相曲线不闭和、不相交——运动运动为非周期性的，而且具有不可预测的随机性为非周期性的，而且具有不可预测的随机性洛仑兹吸引子的数学模型洛仑兹吸引子的数学模型   2024/9/12024/9/1114114机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室受迫单摆受迫单摆蔡氏电路蔡氏电路化学反应化学反应5 5 有趣的吸引子有趣的吸引子其他奇怪吸引子其他奇怪吸引子2024/9/12024/9/1115115机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室6.1 6.1 在通信领域的使用在通信领域的使用 6 6 混沌在现代科技领域的应用混沌在现代科技领域的应用 通通信信在在我我们们的的生生活活中中的的作作用用越越来来越越重重要要, ,尤尤其其是是电电子子商商务务的的兴兴起起，，对对保保密密通通信信提提出出了了更更高高的的要要求求。

利利用用混混沌沌进进行行保保密密通通信信是是现现在在十十分分热热门门的的研研究究课课题题混混沌沌信信号号最最本本质质的的特特征征是是对对初初始始条条件件极极为为敏敏感感，，并并导导致致了了混混沌沌信信号号的的类类随随机机特特性性用用它它作作为为载载波波调调制制出出来来的的信信号号当当然然也也具具有有类类随随机机特特性性因因而而，，调调制制混混沌沌信信号号即即使使被被敌敌方方截截获获，，也也很很难难被被破破译译，，这这就就为为混混沌沌应应用用于于保保密密通通信信提提供供了了有有利利条条件件因因此此利利用用混混沌沌进行保密通信是目前十分热门的研究课题进行保密通信是目前十分热门的研究课题   2024/9/12024/9/1116116机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室6 6 混沌在现代科技领域的应用混沌在现代科技领域的应用6.2 6.2 在气象学中的应用在气象学中的应用   在在近近年年的的气气象象研研究究中中，，利利用用混混沌沌进进行行中中期期预预报报的的研研究究由由于于气气候候系系统统是是非非线线性性系系统统，，其其初初值值问问题题的的数数值值解解是是不不确确定定的的，，研研究究气气候候状状态态的的特特征征就就要要研研究究混混沌沌态态的的特特征征，，研研究究气气候候系系统统的的演演变变机机制制就就要要研研究究混混沌沌态态的的变变化化。

在在这这些些研研究究中中使使用用的的数数学学工工具具主主要要是是分分形形理理论论，，如如分分数数维维、、李李亚亚普普诺诺夫夫指指数数、、标标度度指指数数和和功功率率谱谱指指数数等等利利用用这这些些数数学学方方法法分分别别考考察察、、分分析析气气候候状状态态特特征征量量随随控控制制变变量量的的变变化化在在数数学学上上把把天天气气( (气气候候) )预预报报问问题题提提成成初初值值问问题题，，即即用用动动力力学学的的方方法法进进行行预预报报，，从从认认识识论论上上讲讲就就是是把把大大气气看看成成是是确确定定论论的的系系统统，，这这在在较较短短的的时时间间尺尺度度内内是是行行得得通通的的，，而而在在时时间间较较长长的的时时候候却却是是有有问问题题的的，，主主要要是是大大气气运运动动是是非非线线性性、、强强迫迫和和耗耗散散的的也也就就是是说说进进行行长长期期预预报是不可能的报是不可能的   2024/9/12024/9/1117117机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室6.3 6.3 在医学中的应用在医学中的应用 6 6 混沌在现代科技领域的应用混沌在现代科技领域的应用(1) (1) 心脏活动中的混沌：心脏活动中的混沌：心心肌肌细细胞胞的的非非线线性性研研究究发发现现，，从从心心肌肌细细胞胞和和细细胞胞内内外外离离子子活活动动出出发发是是从从微微观观角角度度对对心心脏脏活活动动的的研研究究，，每每个个心心肌肌细细胞胞活活动动的的总总和和构构成成了了心心脏脏整整体体的的宏宏观观运运动动。

研研究究表表明，心脏组织系统的确可以产生混沌等复杂的运动形式明，心脏组织系统的确可以产生混沌等复杂的运动形式心心脏脏中中混混沌沌运运动动的的控控制制自自从从20 20 世世纪纪9090年年代代开开展展以以来来，，已已取取得得很很多多成成果果，，其其基基于于混混沌沌运运动动对对参参数数变变化化敏敏感感和和其其吸吸引引子子中中不不稳稳定定的的周周期期轨轨道道稠稠密密性性的的事事实实，，利利用用参参数数的的微微小小扰扰动动，，使使混混沌沌运运动动稳稳定定在在一一条条不不稳稳定定的的周周期期轨轨道道上上，，达到控制混沌运动的目的达到控制混沌运动的目的2024/9/12024/9/1118118机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室6 6 混沌在现代科技领域的应用混沌在现代科技领域的应用6.3 6.3 在医学中的应用在医学中的应用 (2) (2) 脑及其他系统中的混沌、分形：脑及其他系统中的混沌、分形：①①脑脑电电分分析析：：把把混混沌沌的的概概念念引引入入脑脑电电图图分分析析，，研研究究人人脑脑在在清清醒醒、、睡睡眠眠、、麻麻醉醉、、癫癫痫痫、、痴痴呆呆等等不不同同状状态态下下的的分分维维数数、、李李亚亚谱谱诺诺夫夫指指数数，，可可揭揭示示人人脑脑活活动动的的某某些些规规律律，，如如不不同同睡睡眠眠期期的的混混沌沌程程度度不不同同，，睡睡眠眠深深度度增增加加，，分分维维数数会会减减少少，，其其分分析析方方法法可可为为临临床床医医学学与与基基础础医医学学的的发发展展作作出出新的贡献。

新的贡献②②肌肌电电分分析析：：肌肌电电信信号号等等也也具具有有混混沌沌特特征征对对于于混混沌沌理理论论的的研研究究、、应应用用，，其其实实在在神神经经、、胃胃肠肠、、精精神神学学等等其其他他多多个个生理系统中都有诸多新的重要研究进展生理系统中都有诸多新的重要研究进展2024/9/12024/9/1119119机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室6 6 混沌在现代科技领域的应用混沌在现代科技领域的应用6.4 6.4 在经济学中的应用在经济学中的应用   例例如如，，美美国国赛赛纳纳尔尔公公司司首首席席执执行行官官尼尼尔尔· ·帕帕特特森森就就因因为为他他向向公公司司400400名名中中层层经经理理发发出出的的一一份份电电子子邮邮件件竟竟让让公公司司市市值值在在短短短短三三天天时时间间内内猛猛烈烈下下跌跌了了两两成成，，逾逾3 3亿亿美美元元蒸蒸发发殆殆尽尽类类似似的的事事情情在在经经济济学学领领域域中中数数不不胜胜数数由由此此而而应应运运而而生生了了经济混沌和经济波动的非线性动力学理论经济混沌和经济波动的非线性动力学理论经济混沌和经济波动的非线性动力学理论经济混沌和经济波动的非线性动力学理论。

虽虽然然混混沌沌现现象象的的理理论论和和实实验验研研究究在在物物理理学学、、化化学学、、生生物物学学、、天天体体物物理理、、气气象象学学以以及及神神经经生生理理学学等等广广泛泛领领域域获获得得重重要要进进展展，，但但在在经经济济学学中中遇遇到到严严重重困困难难经经济济活活动动是是人人的的行行为为，，动动力力学学系系统统的的时时间间尺尺度度和和观观察察者者相相近近所所以以经经济济主主体体和和经经济济结结构构随随时时间间的的演演变变难难以以忽忽略略时时间间序序列列的的非非稳稳态态性性质质使使目目前前常常用用的的稳稳态态时时间间序序列列分分析析方方法法难难以以应应用用这这是是为为什什么么经济混沌的研究比自然科学更为困难经济混沌的研究比自然科学更为困难 2024/9/12024/9/1120120机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室6 6 混沌在现代科技领域的应用混沌在现代科技领域的应用6.5 6.5 生物学中的应用生物学中的应用 生物族群的消长与变迁：自然界中不同物种间的互惠生物族群的消长与变迁：自然界中不同物种间的互惠或竞争会导致族群数目的改变混沌论对于它们的交或竞争会导致族群数目的改变。

混沌论对于它们的交互作用可以做一些有用的预测，或者是对观测到的现互作用可以做一些有用的预测，或者是对观测到的现象提供解释此类研究的实用性是不言而喻的，例如象提供解释此类研究的实用性是不言而喻的，例如疫疾的传播与控制、渔获量的变异等对人类社会都有疫疾的传播与控制、渔获量的变异等对人类社会都有重要的影响重要的影响2024/9/12024/9/1121121机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室6 6 混沌在现代科技领域的应用混沌在现代科技领域的应用6.6 6.6 在其他学科的混沌现象在其他学科的混沌现象 木星大红斑木星大红斑木星大红斑木星大红斑   燃烧的蜡烛燃烧的蜡烛燃烧的蜡烛燃烧的蜡烛   2024/9/12024/9/1122122机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室6 6 混沌在现代科技领域的应用混沌在现代科技领域的应用障碍物后的流体障碍物后的流体障碍物后的流体障碍物后的流体      喷气机尾流喷气机尾流喷气机尾流喷气机尾流   6.6 6.6 在其他学科的混沌现象在其他学科的混沌现象 2024/9/12024/9/1机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室123123MAPLEMAPLE常用命令及实例常用命令及实例(A1.1.1)(A1.1.1)> >restartrestart: # : # 命命MAPLEMAPLE清零，开始清零，开始计计算算> >aliasalias (omega=w, omega[0]=w0, epsilon=e): # (omega=w, omega[0]=w0, epsilon=e): # 为为希腊字母取代号希腊字母取代号>eq:=>eq:=diffdiff (u(t),t$2)+w0^2*(u(t)+e*u(t)^3)=0; # (u(t),t$2)+w0^2*(u(t)+e*u(t)^3)=0; # 形成形成DuffingDuffing方程并方程并显显示示结结果果1 1> >u(t):=a*cos(w*t): # u(t):=a*cos(w*t): # 设设周期解的形式周期解的形式1 1 在在MAPLEMAPLE中，中，diff(u(t), t$n) diff(u(t), t$n) 表示将表示将u u关于关于t t求求n n阶导阶导数，一数，一阶导阶导数可用数可用diff(u(t),t)diff(u(t),t)。

若若求由求由f f ( (x x, ,y y) )= = 0 0确定的确定的隐隐函数函数导导数数y y ( (n n) )，可用命令，可用命令implicitdiff(f(x,y),y,x$n)implicitdiff(f(x,y),y,x$n)计计算在显显示示导导数数计计算算结结果果时时，，导导数符号都采用数符号都采用∂ ∂求积积分的命令是分的命令是int(f(x), x)int(f(x), x)和和int(f(x), x=a..b)int(f(x), x=a..b)，前者求，前者求f f ( (x x) )的不定的不定积积分，分，结结果是不果是不带带任意常数的原函数，后者任意常数的原函数，后者计计算算f f( (x x) )在区在区间间[ [a a, ,b b] ]上的定上的定积积分例例例例 1 1 用用谐谐波平衡法求波平衡法求DuffingDuffing方程的周期解方程的周期解 2024/9/12024/9/1机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室124124> >combinecombine (eq,trig): # (eq,trig): # 将解代入方程并将解代入方程并对对三角函数作三角函数作积积化和差化和差>eq:=>eq:=collectcollect (", [cos(w*t),a]); # (", [cos(w*t),a]); # 合并同合并同类项类项并并显显示示结结果果> >blc:=blc:=coeffcoeff ( (lhslhs (eq),cos(w*t))=0; # (eq),cos(w*t))=0; # 取取cos(cos(ω ωt t) )项项的系数并令其自相平衡的系数并令其自相平衡1 1က က > >w= w= sqrtsqrt ( (solvesolve (blc,w^2)); # (blc,w^2)); # 由上式求出自由振由上式求出自由振动频动频率率ω ω1 1 lhslhs表示等式的左表示等式的左边边。

类类似的，似的，rhsrhs表示等式的右表示等式的右边边。