高中数学：第2章函数2.2.2.pdf

2.2.2二次函数的性质与图象学习目标1.掌握二次函数的概念，能用“描点法”作二次函数的图象.2.掌握二次函数解析式的基本形式，会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性质.4.会求二次函数在给定区间上的最值知识点一二次函数的概念思考结合一次函数的特征，请给出二次函数的定义、定义域？答案函数 yax2bx c(a0)叫做二次函数，定义域为R.梳理1.二次函数的定义函数 yax2bxc(a0)叫做二次函数，定义域为R.2二次函数的解析式(1)一般式： y ax2bxc(a0)(2)顶点式： y a(xh)2k(a0)，其中 (h，k)为顶点(3)两根式： y a(xx1)(x x2)(a0)，其中 x1， x2为方程 ax2bxc0(a 0)的根知识点二二次函数的图象与性质思考 1二次函数的图象是一条抛物线，那么哪一个量影响图象的开口方向？答案x2的系数 a 影响开口方向思考2二次函数的图象是轴对称图形，那么对称轴的位置与哪些量有关？对称轴方程是什么？答案对称轴的位置与a， b 两个量有关对称轴为xb2a.梳理二次函数的性质与图象a 0a0图象图象特点对称轴： xb2a顶点：b2a，4ac b24a定义域R值域4acb24a， ，4acb24a奇偶性当 b0 时为偶函数，当b0 时为非奇非偶函数单调性，b2a为减区间，b2a， 为增区间 ，b2a为增区间，b2a， 为减区间最值抛物线有最低点，当xb2a时， y 有最小值 ymin4acb24a抛物线有最高点，当xb2a时，y有最大值ymax4acb24a1二次函数yax2bxc(a0)，xa，b的最值一定是4acb24a.()2二次函数yax2bxc(a0)，xR，不可能是偶函数()3在 yax2bxc(a0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一平面直角坐标系中的开口大小 ()类型一二次函数的图象例 1画出函数f(x) x22x3 的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较 f(0)，f(1)， f(3)的大小；(2)若 x1x21，比较 f(x1)与 f(x2)的大小；(3)由图象判断x 为何值时， f(x)0，f(x)0，f(x) 0.解f(x) x22x 3 (x1)24 的图象如图所示(1)由图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x1 且开口向下，且|01|31|，故 f(1)f(0)f(3)(2) x1 x2 1，|x11|x21|，f(x1)f(x2)(3)由图可知：当 x3 或 x 1 时， f(x)0；当 x 1 或 x3 时， f(x)0；当 1x3 时， f(x) 0.反思与感悟(1)观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a 的符号，在y 轴上的交点决定 c 的符号 (值 )，对称轴的位置决定b2a的符号另外，还要注意与x 轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题(2)比较二次函数函数值的大小的方法若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大跟踪训练1已知二次函数y2x24x6.(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(2)由图象判断x 为何值时， y 0，y0，y0.解(1)由 y2x24x 62(x1)28，图象如图：由图象可知，函数图象开口向上，对称轴是直线x1，顶点坐标是(1， 8)(2)由图象可知，当x3 或 x 1 时， y0；当 x 1 或 x3 时， y0；当 1x3 时， y0.类型二二次函数的对称性与单调性例 2已知函数f(x)x2ax 的单调增区间为(2， )(1)求参数 a 的值； (2)求对称轴方程；(3)求在 R 上的最小值解(1)f(x) x2 ax xa22a24，f(x)的单调增区间为a2， .又 f(x)的单调增区间为(2， )，a22 即 a4.(2)对称轴方程为x2.(3)f(x)minf(2) 4.引申探究1若 f(x)x2ax 在 (2， )上单调递增，则a 的取值范围为_答案(， 4解析a22，a4.2若 f(x)x2ax 在 1,3 上单调，求a 的范围解f(x)x2ax 在1,3 上单调，区间必在对称轴xa2的一侧，a21 或a2 3，a2 或 a6，即 a(，26， )反思与感悟利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系跟踪训练2已知函数yax2(a1)x14在1， )上是减函数，求a 的范围解(1)当 a0 时， y x14在1， )上是减函数(2)当 a 0 时，在a12a， 上为增函数，不合题意(3)当 a 0 时，在a12a， 上为减函数，a12a1，即 a13，a0.综上所述a (，0类型三二次函数在给定区间上的最值的求法例 3求二次函数f(x)x22ax2 在2,4上的最小值解f(x)x22ax2 的对称轴为x a且开口向上 当 a2 时， f(x)在2,4上为增函数f(x)minf(2)6 4a.当 2a4 时， f(x)minf(a)2 a2.当 a4 时， f(x)在2,4上为减函数，f(x)minf(4)188a.综上所述f(x)min64a， a2，2a2，2a4，188a，a4.引申探究1若求 f(x)x22ax2 在2,4上的最大值，如何分类？解区间 2,4的中点为3.f(x)x22ax2 的对称轴为xa 且开口向上， 当 a3 时， f(x)maxf(4)188a，当 a3 时， f(x)max f(2)64a.综上所述f(x)max188a，a3，64a，a3.2若 f(x)x22ax2 在2,4上的最大值为10，求 a 的值解由探究 1 知，当 a3 时， f(x)max 188a10，a1；当 a3 时， f(x)max64a10，a 1(舍)综上所述a 1.3若 f(x)x22ax2，当 x2,4时， f(x) a 恒成立，求a 的取值范围解由探究 1 知：当 a3 时， f(x)max 188aa 恒成立，a2，即 a2,3当 a3 时， f(x)max 64a a，a65，a3.综上所述a 2， )反思与感悟二次函数最值问题的解题策略(1)确定对称轴，抛物线的开口方向，作图(2)在图象上标出定义域的位置(3)观察单调性写出最值跟踪训练3已知函数f(x)x22ax2a.(1)若方程 x22ax2a0 无解，求实数a 的取值范围；(2)若 x1,2 时， f(x) 2 恒成立，求实数a 的取值范围解(1) (2a)28a0，解得 0a2.(2)f(x)x22ax2a，对称轴为xa.当 a2 时， f(x)minf(2)42a2，解得 2a3.当 1a2 时， f(x)minf(a) a22a2，解得 13a 2.当 a 1 时， f(x)minf(1)14a2，解得 a?.综上所述， a 的取值范围是 13，3.1函数 yx22x2 的图象的顶点坐标是()A(2， 2) B (1， 2)C(1， 3) D (1， 3)答案D解析由于 yx22x2(x1)23，所以函数yx22x 2 的图象的顶点坐标是(1，3)2已知一元二次函数y x22x4，则函数 ()A对称轴为x 1，最大值为3B对称轴为x 1，最大值为5C对称轴为x1, 最大值为5D对称轴为x 1，最小值为3答案C 解析由 y x22x4 (x1)25，知对称轴为x1, 最大值为5.3二次函数y4x2mx5 的对称轴为x 2，则当 x1 时， y 的值为 ()A 7 B1 C17 D25答案D解析对称轴 xm8 2，m 16 即 y4x216x5，当 x1 时， y4 16525.4若二次函数y3x22(a1)xb 在区间 (， 1上为减少的，则()Aa 2 B a 2Ca 2 Da 2答案B解析由题意，得a131，解得 a2.5函数 f(x) x22x1 在 2， 1 上的最大值是 _，最小值是 _答案 2 7解析f(x) x22x1 的对称轴为x1，开口向下，f(x)maxf(1) 121 2，f(x)minf(2) 441 7.1.作二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”“三点 ”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点； “ 一线 ”是指对称轴这条直线； “一开口 ”是指抛物线的开口方向2若求二次函数在某闭(或开 )区间 (非 R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.一、选择题1若 f(x)(m1)x22mx3 为偶函数，则f(x)在区间 (3,1)上()A单调递增B单调递减C先增后减D先减后增答案C解析当 m0 时， f(x)是偶函数，此时f(x) x23，所以 f(x)的图象是开口向下的抛物线，所以函数f(x)在区间 (3,1)上先增后减2若 f(x)x2bxc 的对称轴为x2，则 ()Af(4)f(1) f(2) B f(2)f(1)f(4)Cf(2)f(4)f(1) D f(4)f(2)f(1)答案B解析f(x)的对称轴为x2，所以 f(2)最小又 x4 比 x1 距对称轴远，故f(4)f(1)，即 f(2)f(1)f(4)3已知二次函数y ax2bxc 的图象顶点为(2， 1)，与 y 轴交点坐标为(0,11)，则 ()Aa1，b 4，c 11Ba3，b12，c11Ca3，b 6，c 11Da3，b 12，c11答案D解析由二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0,11)，知 c11，又因为函数yax2bxc 的图象顶点为 (2， 1)，所以b2a2，4acb24a 1，解得 a3，b 12.4若一次函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，则二次函数yax2bx 的图象只可能是 ()答案C解析因为一次函数yax b 的图象经过第二、三、四象限，所以为a0，b0，所以二次函数图象的开口向下，对称轴方程xb2a0，只有选项C 适合5 已知函数f(x)x22x3 在闭区间 0， m上有最大值3， 最小值 2， 则 m 的取值范围是 ()A1， ) B0,2C(， 2 D1,2答案D解析f(x)(x1)22，f(x)min 2，f(x)max3，且 f(1)2，f(0)f(2) 3，1m2，故选 D.6当 0 x 2时， a x22x 恒成立，则实数a 的取值范围是()A(， 1 B (， 0C(， 0) D (0， )答案C解析令 f(x) x22x，则 f(x) x22x (x1)21.又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0.a0.二、填空题7已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的有关叙述：(1)值域为 R；(2)在，b2a上单调递减，在b2a，上单调递增；(3)当 b 0 时，函数是偶函数其中正确说法的序号为_答案(3)解析二次函数的值域不可能为R，故 (1)错；当a 0 时，二次函数f(x) ax2bxc(a0)在 ，b2a上单调递增， 在 b2a， 上单调递减， 故(2)错；当 b 0 时，二次函数f(x)ax2bxcax2c 为偶函数，故 (3)正确8已知函数f(x)(xa)(bxa)(a，b 为常数 )的图象关于y 轴对称，其值域为(， 4，则a_， b_.答案2 1解析 f(x)bx2(aab)xa2图象关于y 轴对称， xaab2b 0， aab0，又值域为 (， 4，4a2b aab24b4，由 可知 a2 ，b 1.9已知函数f(x) x2 4xa，x0,1 ，若 f(x)有最小值 2，则 f(x)的最大值为 _答案1解析函数 f(x) x24xa (x2)2 4a，x0,1 ，且函数有最小值2.故当 x0 时，函数有最小值，当 x1 时，函数有最大值当 x0 时， f(0)a 2，。