2003年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析.pdf

2003 年年全国全国硕士研究生入学考试硕士研究生入学考试（（数学二数学二））试题及答案解析试题及答案解析 一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （（1）） 若0x时，1)1 (41 2ax 与xxsin是等价无穷小，则 a= -4 . 【分析分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin)1 (lim41 20xxaxx，反过来求 a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简. 【详详解解】 当0x时，241 2 41~1)1 (axax，2~sinxxx. 于是，根据题设有 14141limsin)1 (lim22041 20 axaxxxaxxx，故 a=-4. 【评注评注】 本题属常规题型. （（2）） 设函数 y=f(x)由方程4ln2yxxy所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 . 【分析分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解详解】 等式4ln2yxxy两边直接对 x 求导，得 yyxyxy342， 将 x=1,y=1 代入上式，有 . 1) 1 ( y故过点(1,1)处的切线方程为 ) 1(11xy，即 . 0 yx 【评注评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点. （（3）） xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是 !)2( l n nn. 【分析分析】 本题相当于先求 y=f(x)在点 x=0 处的 n 阶导数值)0()(nf，则麦克劳林公式中nx项的系数是.!)0()(nfn【详解详解】 因为 2ln2xy ，2)2(ln2xy  ，nxxy)2(ln2,)(，于是有 nny)2( ln)0()(，故麦克劳林公式中nx项的系数是.!)2(ln !)0()(nnynn  【评注评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. （（4）） 设曲线的极坐标方程为)0( aea ，则该曲线上相应于从 0 变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 ) 1(414aea. 【分析分析】 利用极坐标下的面积计算公式dS)(212即可. 【详解详解】 所求面积为 dedSa202202 21)(21=202 41aea) 1(414aea. 【评注评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算 过程比较复杂. （（5）） 设为 3 维列向量，T是的转置. 若   111111111T，则 T= 3 . 【分析分析】 本题的关键是矩阵T的秩为 1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行） ，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成. 【详解详解】 由   111111111T=111 111   ，知   111 ，于是 . 3 111 111  T【评注评注】 一般地，若 n 阶矩阵 A 的秩为 1，则必有.2121nnbbbaaaA （（6）） 设三阶方阵 A,B 满足EBABA2，其中 E 为三阶单位矩阵，若 102020101 A，则B 21. 【分析分析】 先化简分解出矩阵 B，再取行列式即可. 【详解详解】 由EBABA2知， EABEA)(2，即 EABEAEA))((， 易知矩阵 A+E 可逆，于是有 .)(EBEA 再两边取行列式，得 1BEA， 因为 2 002010100   EA, 所以 B 21. 【评注评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应 先化简再计算. 二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （（1））设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0lim nna,1lim nnb, nnclim,则必有 (A) nnba 对任意 n 成立. (B) nncb 对任意 n 成立. (C) 极限nnnca lim不存在. (D) 极限nnncb lim不存在. [ D ] 【分析分析】 本题考查极限概念， 极限值与数列前面有限项的大小无关， 可立即排除(A),(B)； 而极限nnnca lim是0型未定式， 可能存在也可能不存在， 举反例说明即可； 极限nnncb lim属1型，必为无穷大量，即不存在. 【详解详解】 用举反例法，取nan2，1nb，), 2 , 1(21nncn，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D). 【评注评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. （（2））设dxxxannn n n1231 01, 则极限nnna lim等于 (A) 1)1 (23 e. (B) 1)1 (23 1e. (C) 1)1 (23 1e. (D) 1)1 (23 e. [ B ] 【分析分析】 先用换元法计算积分，再求极限. 【详解详解】 因为 dxxxannn n n1231 01=)1 (1231 0nnn nxdxn=}1])1(1{[1)1 (123 1 023 nnn n nn nxn， 可见 nnna lim=. 1)1 (}1])1(1{[lim23 123 ennnn【评注评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定 积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法. （（3））已知xxyln是微分方程)(yx xyy的解，则)(yx的表达式为 （A） .22xy (B) .22xy(C) .22yx (D) .22yx[ A ] 【分析分析】 将xxyln代入微分方程，再令的中间变量为 u，求出)(u的表达式，进而可计算出)(yx. 【详解详解】将xxyln代入微分方程)(yx xyy，得 )(lnln1 ln1ln2xxxx，即 xx2ln1)(ln. 令 lnx=u，有 21)(uu，故 )(yx=.22xy 应选(A). 【评注评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但 问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项. （（4））设函数 f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] y O x 【分析分析】 答案与极值点个数有关， 而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点， 共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不存 在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点， 一个极大值点； 在 x=0 左侧一阶导数为正， 右侧一阶导数为负， 可见 x=0 为极大值点， 故 f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 【评注评注】 本题属新题型，类似考题 2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知 f(x)的图象去推导)(xf 的图象，本题是其逆问题. （（5））设4 01tan dxxxI,dxxxI4 02tan , 则 (A) . 121 II (B) .121II  (C) . 112 II (D) .112II  [ B ] 【分析分析】 直接计算21,II是困难的，可应用不等式 tanx>x, x>0. 【详解详解】 因为当 x>0 时，有 tanx>x，于是 1tanxx，1tanxx，从而有 4t a n4 01 dxxxI， 4tan4 02 dxxxI， 可见有 21II 且42I，可排除(A),(C),(D)，故应选(B). 【评注评注】 本题没有必要去证明11I，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项. （（6））设向量组 I：r,,,21可由向量组 II：s,,,21线性表示，则 (A) 当sr 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当sr 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当sr 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当sr 时，向量组 I 必线性相关. [ D ] 【分析分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理： 若向量组I：r,,,21可由向量组 II：s,,,21线性表示， 则当sr 时， 向量组 I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组 I：r,,,21可由向量组 II：s,,,21线性表示，且向量组 I 线性无关，则必有sr . 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案. 【详解详解】 用排除法： 如         10,01,00211， 则21100， 但21,线性无关，排除(A)；         01,01,00121，则21,可由1线性表示，但1线性无关，排除(B)；         10,01,01211，1可由21,线性表示，但1线性无关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注评注】 本题将一已知定理改造成选择题， 如果考生熟知此定理应该可直接找到答案， 若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项. 三三 、 （本题满分、 （本题满分 10 分）分） 设函数 , 0, 0, 0,4sin1, 6,arcsin)1ln()( 23 xxxxxaxxexxaxxf ax问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点？ 【分析分析】 分段函数在分段点 x=0 连续，要求既是左连续又是右连续，即 ).00()0()00(fff 【详解详解】 xxax xxaxxff xxxarcsinlimarcsin)1ln(lim)(lim)00(3030。