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结构优化设计的准则法结构优化设计的准则法 第第2 2章章 结构优化设计的准则法结构优化设计的准则法 最优化方法是最先发展起来的一种结构优最优化方法是最先发展起来的一种结构优化设计方法，从上一世纪化设计方法，从上一世纪50年代开始应用于工年代开始应用于工程结构设计程结构设计准则优化法的基本概念：准则优化法的基本概念： 从结构力学原理出发，规定一些优化必须满从结构力学原理出发，规定一些优化必须满足的准则，然后根据这些准则建立达到优化设计足的准则，然后根据这些准则建立达到优化设计的迭代公式的方法的迭代公式的方法满应力准则法、齿形法、能量准则法等满应力准则法、齿形法、能量准则法等优点：收敛速度快，与优化问题的规模关优点：收敛速度快，与优化问题的规模关系不大系不大,重分析次数与设计变量数目没有直重分析次数与设计变量数目没有直接关系接关系缺点：有局限性，适用于结构布局及几何缺点：有局限性，适用于结构布局及几何形状已定的情况，设计是接近最优形状已定的情况，设计是接近最优2-12-1结构结构优化设计的满应力准则法优化设计的满应力准则法1.1.满应力设计基本思想满应力设计基本思想从从结结构力学的原理出构力学的原理出发发，以，以满应满应力力为为其准其准则则，使杆件，使杆件的材料能的材料能够够得到充分利用的一种方法。

得到充分利用的一种方法其其设计设计思想就是思想就是对对一个既定的一个既定的结结构布局，通构布局，通过调过调整构整构件的断面尺寸，使各构件承受荷件的断面尺寸，使各构件承受荷载载的能力得以充分的能力得以充分发发挥挥具体地，具体地，对对布局已定的布局已定的结结构在多种荷构在多种荷载载作用下，作用下，使使结结构的每个构件至少在一种荷构的每个构件至少在一种荷载载情况下的情况下的应应力达到力达到容容许应许应力，此力，此时时就就认为结认为结构重量是最构重量是最轻轻的满应力设计地解法不是按事后的结果来判满应力设计地解法不是按事后的结果来判断是否达到最优，而是先行确定所谓优的断是否达到最优，而是先行确定所谓优的准则，严格来讲，它并不是最优设计准则，严格来讲，它并不是最优设计一般来说，只有静定结构在单一荷载作用一般来说，只有静定结构在单一荷载作用下，满应力设计才可能是最轻设计（由于下，满应力设计才可能是最轻设计（由于静定结构的的特点决定）；而超静定结构静定结构的的特点决定）；而超静定结构的情况就完全不同了，由于超静定结构各的情况就完全不同了，由于超静定结构各构件的内力与构件截面尺寸有关，每次调构件的内力与构件截面尺寸有关，每次调整截面后，将产生内力重分布。

近似解整截面后，将产生内力重分布2.2.满应力准则法中一些概念满应力准则法中一些概念1 1）满应力）满应力 结构元件的应力达到容许应力或临界应力结构元件的应力达到容许应力或临界应力2 2）工况）工况 结构是在多种荷载作用下，每一种荷载我们称为结构是在多种荷载作用下，每一种荷载我们称为一种工况一种工况3 3）应力比）应力比 元件的工作应力与容许应力之比3.3.满应力计算（应力比法）满应力计算（应力比法）下面我们以桁架为例，介绍满应力准则法下面我们以桁架为例，介绍满应力准则法 设桁架是由设桁架是由n个杆件组成的，受到个杆件组成的，受到L种工况种工况的荷载作用：的荷载作用：设第设第i i 杆在第杆在第j j 工况下的内力为工况下的内力为N Nijij( (i i= =1,21,2, ,，n n; ; j j=1,2,=1,2, ,l l),),第第i i杆在各种工杆在各种工况下的最大内力为况下的最大内力为 N Nimaximax，最小重量设计可归结，最小重量设计可归结为：求设计变量为：求设计变量使桁架重量使桁架重量 最小最小1）假设桁架各杆初始截面积为：）假设桁架各杆初始截面积为： 2）进行结构分析，计算各杆轴力，得到）进行结构分析，计算各杆轴力，得到 应力矩阵。

应力矩阵式中：式中： 为在第为在第j种工况的作用下，第种工况的作用下，第i根杆件的轴力根杆件的轴力进而求得各杆应力：进而求得各杆应力：3）计算应力比矩阵）计算应力比矩阵式中：式中： 为在第为在第j种工况的作用下，第种工况的作用下，第i根杆件的应力比根杆件的应力比 我们来分析应力比取值情况：我们来分析应力比取值情况：说明此杆的应力大于许用应力，需要增加说明此杆的应力大于许用应力，需要增加此杆的截面积；此杆的截面积；说明此杆的应力小于许用应力，需要减小说明此杆的应力小于许用应力，需要减小此杆的截面积；此杆的截面积；可见可以选择可见可以选择 作为调整各杆截面积的作为调整各杆截面积的依据4）形成应力比列阵）形成应力比列阵5）调整方案及收敛判别）调整方案及收敛判别若若否则否则6）把调整方案作为初始方案）把调整方案作为初始方案 重新重新迭代转2）继续迭代继续迭代图中图中是事先指定是事先指定的小正数的小正数对于静定桁架，对于静定桁架，各杆的内力与杆各杆的内力与杆件的截面积无关，件的截面积无关，因此，上面的迭因此，上面的迭代公式只要一次代公式只要一次迭代对于超静定结构，对于超静定结构，是一个重复迭代是一个重复迭代的过程。

的过程1.1.静定结构静定结构例例1.1 以以5杆桁架为例杆桁架为例 外力外力 许用拉应力许用拉应力 许用压应力许用压应力 杆断面最小尺寸杆断面最小尺寸 求各截面最小尺寸并使求各截面最小尺寸并使结构最轻结构最轻首先假定一个初始设计（静定结构可以首先假定一个初始设计（静定结构可以不必这样做，但为了和静不定结构设计不必这样做，但为了和静不定结构设计统一，假定初始断面面积为统一，假定初始断面面积为1），设初），设初始向量为：始向量为：根据平衡条件，求出各杆内力：根据平衡条件，求出各杆内力：计算应力比计算应力比 需根据需根据 计算的应力为拉应力或压应力取计算的应力为拉应力或压应力取相应的许用应力相应的许用应力 和和 两者两者符号要一致，可取绝对值进行计算符号要一致，可取绝对值进行计算 修正初始设计向量修正初始设计向量 其中第三元件的断面面积按计算为其中第三元件的断面面积按计算为0，小，小于规定的最小尺寸于规定的最小尺寸 ，因此应取，因此应取 对于静定结构，由于其内力不随元件断对于静定结构，由于其内力不随元件断面尺寸的改变而改变，故只需进行一次面尺寸的改变而改变，故只需进行一次修正设计修正设计 ，各元件的工作应力便都达到，各元件的工作应力便都达到许用应力值，或元件的尺寸取为规定的许用应力值，或元件的尺寸取为规定的最小尺寸。

各杆的断面尺寸不能取得比最小尺寸各杆的断面尺寸不能取得比上述尺寸小，否则将不满足强度要求或上述尺寸小，否则将不满足强度要求或几何约束条件因此，满应力设计对静几何约束条件因此，满应力设计对静定结构而言，就是最轻质量设计定结构而言，就是最轻质量设计4. .超静定结构超静定结构例例1.21.2：三杆桁架如图，进行最轻重量设计两种工况：三杆桁架如图，进行最轻重量设计两种工况： （1 1） （2 2） 解：解：1 1）分析由于对称性及工况的对）分析由于对称性及工况的对称，优化结果显然称，优化结果显然 ； 2 2）结构重量作为目标函数；）结构重量作为目标函数； 结构分析：结构分析：应力比矩阵：应力比矩阵：初始方案为：初始方案为：3 3）迭代计算）迭代计算收敛判别收敛判别 迭代计算迭代计算设计变量设计变量满足精度要求的设计：满足精度要求的设计：如果继续一直迭代下去：如果继续一直迭代下去： 可见退化为静定结构可见退化为静定结构本题的数学模型：本题的数学模型：我们可以利用图解法求解：我们可以利用图解法求解：这是一族平行线，其斜率：这是一族平行线，其斜率：第第1 1个约束方程的约束界面：个约束方程的约束界面：其斜率：其斜率：求（求（a a）、）、(b)(b)方程组：方程组：通过以上例子，我们可以发现：通过以上例子，我们可以发现：1 1）单工况满应力解将退化为原结构的基本结构；）单工况满应力解将退化为原结构的基本结构；2 2）单工况满应力解不唯一；）单工况满应力解不唯一；3 3）满应力解不是最优解，只有近似解。

满应力解不是最优解，只有近似解例例1.3 同样考虑上述例子，结构布局、外载方向也同样考虑上述例子，结构布局、外载方向也相同，但数值改为相同，但数值改为 ，此时需取，此时需取 、 、 3个设计变量个设计变量 对应于外载对应于外载P1情况的应力为情况的应力为对应于外载对应于外载P2情况的应力为情况的应力为代入具体数据后，可写出不等式约束条件为代入具体数据后，可写出不等式约束条件为前前3式对应于外载式对应于外载P1，后，后3式对应式对应P2通过对于主动约束与被动约束的分析可知当通过对于主动约束与被动约束的分析可知当 时，约束为：时，约束为：当当 时时目标函数为目标函数为各元件应力比各元件应力比满应力设计方法中的几个问题满应力设计方法中的几个问题1）是否就是最轻质量设计）是否就是最轻质量设计 满应力设计中，目标函数与最优化条件没有任何满应力设计中，目标函数与最优化条件没有任何直接的联系因此，对于一个满应力设计，其约直接的联系因此，对于一个满应力设计，其约束方程必须全部满足束方程必须全部满足 对于静定结构，内力与元件剖面无关，因此进行对于静定结构，内力与元件剖面无关，因此进行一次迭代循环元件就全部达到满应力，所以自然一次迭代循环元件就全部达到满应力，所以自然是收敛的，而且满应力设计就是最轻设计。

是收敛的，而且满应力设计就是最轻设计 可以看出，可以看出，n个约束条件都是等式，可以唯一决个约束条件都是等式，可以唯一决定定n个变量个变量Aj,因而这时因而这时Aj实际上和最小重量并无实际上和最小重量并无数学上的联系，也就是说满应力设计并不保证使数学上的联系，也就是说满应力设计并不保证使结构质量最轻除非将其约束方程变为不等式和结构质量最轻除非将其约束方程变为不等式和使使f(A)为最小，联系起来求解为最小，联系起来求解Aj, 才能保证结构重才能保证结构重量为最轻这就是数学规划的设计量为最轻这就是数学规划的设计 所以除静定结构外，满应力设计并不一定具有最所以除静定结构外，满应力设计并不一定具有最小重量的就其几何意义来说，每一约束方程就小重量的就其几何意义来说，每一约束方程就相当于相当于n维空间的一个超曲面，所以满应力设计维空间的一个超曲面，所以满应力设计点就落在点就落在n个超曲面的交点上个超曲面的交点上2)收敛性收敛性对于静定结构，内力与设计变量无关，只要运行对于静定结构，内力与设计变量无关，只要运行一次设计运算就可以达到满应力设计，所以自然一次设计运算就可以达到满应力设计，所以自然是收敛的。

是收敛的对于静不定结构，可以知道，如果对设计变量没对于静不定结构，可以知道，如果对设计变量没有几何约束要求，那么利用满应力设计时，结构有几何约束要求，那么利用满应力设计时，结构可能退化成若干种静定结构，它们仍能承受原来可能退化成若干种静定结构，它们仍能承受原来的几种情况的载荷，因此，满应力设计的结果就的几种情况的载荷，因此，满应力设计的结果就不是唯一的这就引起人们对满应力设计收敛性不是唯一的这就引起人们对满应力设计收敛性的疑问从实用上看，如果在开始几次设计迭代中就收敛从实用上看，如果在开始几次设计迭代中就收敛较快，那么它一般会收敛到某个确定的点上去较快，那么它一般会收敛到某个确定的点上去如果一开始就收敛的慢或反复无常，那就可能是如果一开始就收敛的慢或反复无常，那就可能是不收敛的对于这种情况，可以考虑改变起始设不收敛的对于这种情况，可以考虑改变起始设计点而重新进行设计计点而重新进行设计为了避免过多的迭代次数以节省计算时间，一个为了避免过多的迭代次数以节省计算时间，一个方法是对收敛条件中规定的设计允许误差值不要方法是对收敛条件中规定的设计允许误差值不要取得过小，或者可以采用把满应力设计。