高中数学竞赛专题讲座---函数方程与迭代.pdf

函数方程与迭代 1. 迭代法 先看一个有趣的问题：李政道博士1979 年 4 月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说夜里一只猴子偷偷起 来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5 份，收藏起自己的一份后又去睡觉了第二只猴子起来后，像第一 只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5 份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了第三、第四、第 五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5 份问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x个 第i只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为 i x个， 则 1 4 (1) 5 ii xx, 1,2,3,4,5i. 且 0 xx设 44 ( )(1)(4)4 55 fxxx于是 : 1 4 ( )(4)4 5 xf xx, 2 2 4 (( ))( ) (4)4 5 xff xx, 3 3 4 ((( )))() (4)4 5 xfff xx, 4 4 4 (((( ))))() (4)4 5 xffff xx, 5 5 4 ((((( )))))( ) (4)4 5 xfffff xx, 由于剩下的桃子数 都是整数 , 5 5 |4x最小的x为： 5 543121x 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代 一 般 地 ， 设:fDD是 一 个 函 数 ， 对xD， 记 (0) ( )fxx， (1) ( )( )fxf x， (2) ( )(( ))fxff x，， (1)( ) ( )(( )) nn fxffx，nN，则称函数 () ( ) n fx为( )f x的n次迭代， 并称 n为 ( ) ( ) n fx的迭代指数 反函数记为 () ( ) n fx 一些简单函数的n次迭代如下： （ 1）若( )f xxc，则 () ( ) n fxxnc；（2）若( )f xax ，则 ( ) ( ) nn fxa x； （ 3）若( ) a f xx，则 () ( ) n na fxx；（4）若( ) 1 x f x ax ，则 ( ) ( ) 1 nx fx nax ； （ 5）若( )f xax b （ 1a） ，则 ()1 ( ) 1 n nna fxa xb a ； ( ) ( ) n fx的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法 1求迭代后的函数值 例 1自然数k的各位数字和的平方记为 1( ) f k ，且 11 ( )( ) nn fkffk，求(11) n f（nN）的值域 . 解： 由条件可知： ;169)652()256()11(;256)961()169()11( ;169)94()49()11(;49)61 ()16()11( ;164)4()11(; 4)11()11( 2 16 2 15 2 14 2 13 2 12 2 1 ffff ffff fff 所以(11) n f（nN）的值域为4,16,49,169,256。

例 2设 1 2 ( ) 1 fx x ，而 11 ( )( ) nn fxffx ， nN 记 (2)1 (2)2 n n n f a f ，求 99 a. 解： 3 2 )2( 1 f， 8 1 1 a, 1)2( 2 )2( 1n n f f, 2)2( 1)2( 2 1 2 1)2( 2 1 1)2( 2 2)2( 1)2( 1 1 1 1 n n n n n n f f f f f f 即 1 2 1 nn aa，故 101 98 99 2 1 ) 2 1 ( 8 1 a 例 3 求解函数方程：x x x f x f x x fcos) 1 1 () 1 () 1 1 () 1,0( x 解：设 1 1 )( x x xg，则xxggggxg))))(((()( )4( 并且 x xggxg 1 ))(( )2( ， x x xgggxg 1 1 )))((( )3( ， 于是原方程变为：xxgfxgfxgfcos)()( )3()2( , 令)( xgx得：)(cos)()()( )3()2( xgxfxgfxgf 令)( )2( xgx得：)(cos)()()( )2()3( xgxgfxfxgf 令)( )3( xgx得：)(cos)())(()( )3()2( xgxgfxgfxf由得： xxgxgxgxfcos2)(cos)(cos)(cos)(3 )3()2( , )cos2 1 1 cos 1 cos 1 1 (cos 3 1 )(x x x xx x xf. 2不动点法 一般地，若 ( )f xaxb，则把它写成( )() 11 bb f xa x aa , 因而 () ( )() 11 nnbb fxax aa 这里的 1 b a 就是方程axbx的根一般地，方程( )f xx的根称为函数( )f x的不动点 如果 0 x是函数( )f x的不动点，则 0 x也是 () ( ) n fx的不动点可用数学归纳法证明利用不动点能较 快地求得函数( )f x的n次迭代式 3相似法 若存在一个函数( )x以及它的反函数 1 ( )x ， 使得 1 ( )( ( ( )))f xgx，我们称( )f x通过( )x和 ( )g x相似，简称( )f x和( )g x相似 ，其中( )x称为 桥函数 如果( )f x和( )g x相似，即 1 ( )( ( ( )))f xgx，则有： ( )1( ) ( )(( ( ))) nn fxgx 4. 函数方程的一般解法 函数方程的变化多，求解技巧性很强，往往涉及不同领域的数学知识，特别是附加了条件的函数，更 是五花八门，各有巧妙。

迭代只是其中的一种方法，在高中数学各级竞赛中，都有可能会遇到函数方程的 问题，还有可能会用到观察法、代换法、柯西法、赋值法（特殊值法）等几种典型的求解函数的方法如： (2)2 ( )(), 11 bb fxax aa (3)3 ( )() 11 bb fxax aa 1代换法 例 4（2007 越南数学奥林匹克）设b是一个正实数，试求所有函数RRf :，使得 )3(3)()( 1)(1)(yyfbxyfb bbxfyxf yy 对任意实数x、y均成立 解： 将原方程变形为： 1)( 3))(()( yfbxyx y bxfbyxf (x, )Ry 令 x bxfxg)()(，则等价于 1)( 3)()( yg xgyxg(x, )Ry 在中令0y得 1)0( 3)()( g xgxg)(Rx这表明1)0(0)(gxg或 (1) 若0)(xg)(Rx，则 x bxf)( (2) 若1)0(g，在式中令 0 x 得： 1)(1)( 33)0()( ygyg gyg,即0)(3 1)( yg yg )(Ry 考虑函数tth t 1 3)(，它的导函数13ln3)( 1t th，则11)(loglog0)( 33 etth. 于是可知0)(th 有两根1 1 t和ct2) 10(c.于是式等价于1)( yg 或 c Ry(, c为满足10c的常量） 假设存在Ry0使cyg)( 0 ，则)(3)()()0(1 0 1)( 000 0 ygcygyygg yg c c yg 1 )(0 或 1， cyg)( 0 矛盾，因此 1)( yg)(Ry ， x bxf1)( 综上知： xx bxfbxf1)()(和 说明： 代换法是解函数方程最基本方法，很多函数方程中所特有的性质是通过代换法去发现的。

本题 也是通过代换法打开了解题的思路 2柯西法 例 5设)( xf为定义在实数集R上的单调连续函数，试解函数方程)()()(yxfyfxf 解： 由)()()(yxfyfxf用归纳法得：)()()()( 2121nn xxxfxfxfxf 当 n xxx 21 时，有)()(nxfxf n . 若1x， n xfnf)()(，令af)1(，得 n anf)(, 在式中令 n x 1 得：) 1() 1 (f n f n 因)(xf定义在实数集R上，n是偶数时，必有0) 1(f，这样0a， n a n f 1 ) 1 ( 若m为正整数， 利用上式得： n m m n m aa n f nnn f n mf n m f)() 1 () 111 () 1 ()( 1 . 在原方程中， 令0y有：)()0()(xffxf，因)(xf单调)(xf不恒为 0， 0 1)0(af. 在原方程中，令xy 有 n m xy(n, )Nm，则有)0()()(f n m f n m f即 n m n m aa n m f n m f 1 )( )( 1 )(( 又因为)( n m f有 意义，0,a这样，我们便在有理数集内求得了函数方程)0()(aaxf x . 又因)( xf单调， 不能恒为1，则) 10()(aaaxf x 且为指数函数 , 当 a为无理数， 设 ii ba且 ai, bi为无限接近于的有理数 . 则由)(xf单调知af)( ，原方程的解为) 10()(aaaxf x 且 说明： 柯西法是由解柯西方程)()()(yfxfyxf而归纳出来的方法。

3特殊值法 例 6 （2008 年 IMO第 4 题） 求所有的函数),0(), 0( :f满足对所有的正实数，x, y, z，yzx 都有： 22 22 22 22 )()( ))(())(( zy x zfyf xff 解： 令1zyx得：1) 1()1())1(( 2 fff, 对任意0t令 t ， 1x，tzy得： t t tf tf 2 1 )(2 1))(( 22 , 去分母整理：0))()(1)((ttfttf，所以对每个 0t 有ttf)(或者 t tf 1 )( 若存在b, ), 0(c，使得bbf)(， c cf 1 )(，则由知，b, c都不等于1且 b bf 1 )(，ccf)(， 令b，cx，bczy， 则 bc cb bcf c b 2)(2 1 22 2 2 ， 所 以 )( )( 22 32 cbb cbc bcf, 又 因bcbcf)(或 者 bc bcf 1 )(；若bcbcf)(则1 )( 4 22 32 bccb cbb cbc bc矛盾 若 bc bcf 1 )(，则1 )( 1 242 22 32 cbcb cbb cbc bc 矛盾 所以xxf)()),0(( 1 )(),0((x x xfx或者经检验满足。

4观察函数特有的性质并利用其解题 函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性及所具有的特殊形式，在解题的过程中需要对其进行观察判 断并利用其解决问题 例 7（2007 日本数学奥林匹克决赛）求定义域为正实数集，值域为实数集的函数f，满足： 2 )( )()( yxf yfxf， yx yxf y yf x xf)()()( ，其中x、y为任意实数 解： 令tyx)0(t，)2()(4tftf及)2()(4tftf，)(4)2(tftf)0(t, 重复应用这个等式m 次得：)(2)2( 2 tftf mm ， 再令 x xf xg )( )( 下面证明对任意的正整数 n和任意的两实数t， 有)()(tngntg， 显然当 m n2时，命题成立又因为题中第二个不等式等价于)()()(yxgygxg，对任意的n、 t有)()()()(tngtgtgntg，若取)(Nmm，满足n m 2， 则：)(2)()2()())2(()()2(tgtgntngtngntgtg mmmm 另一方面， 有)(2)2(tgtg mm 故上式中不等式号均为等号，即)()2()())2(()(tgntngtngntg mm 因此必有)()(tngntg. 再证明：g为单调不增函数；对于正实数t，有 2 )2( )2()( ttf tftf, 由于)(4)2(2)2()()(ttgttgtfttgtf,)(9)3(3。