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第九章广义积分习题课一、主要内容1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛2、敛散性判别法Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的一一用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的一一用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般对具体广义积分敛散性判别的程序：1、比较法2、Cauchy法3、Abel判别法和Dirichlet判别法4、临界情况的定义法5、发散性判别的Cauchy收敛准则注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy法所起作用基本相同注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。

2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性注意判别法使用的顺序例1判断广义积分I=卜—丄的敛散性0Xp+Xq分析从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用解、记I=J1_^，I=卜_^10XP+Xq21XP+Xq对I，先讨论简单情形1p=q时，p<1时收敛，p>1时发散p主q，不妨设p0时，由于limxp1=1xt0+Xp(1+Xq-P)因此，I】与p-积分同时敛散，即p<1时收敛，p>1时发散因此，对I,此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定1上述结论也可以总结为：min{p,q}<1时收敛，min{p,q}31时发散对I，类似可以讨论，即p=q时，p>1时收敛，p<1时发散2p主q，不妨设p1时收敛，q<1时发散2此时，广义积分〈的敛散性完全由分母中的高阶项决定2上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}£1时发散。

综上：p<10xm精品文档xm故，m>1时，广义积分绝对收敛当0—xmcos2(x+1)而类似可以证明J+s匚dx收敛,2xmxm—Isin(x+—)IJ+s—dx发散，因而，J+aLdx2xm2xm发散，故0vm<1时，广义积分条件收敛注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散注、不能将积分分成如下两部分sinx(+—)I=J+s匚d尸J+scosidx+J+ssin1dx，2xm2xmx2xmx通过右端两部分的收敛性得到I的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时才成立上述的分解结论讨论i=卜ln(1±^2dx的敛散性0xm例3分析时的性质，+sxm从结构看,应该分段处理，重点是讨论l(1+x)的当xT0+和xT+a进行阶的比较解、记I=J—ln(1+x)dx，I=J+sln(1+x)dxo10xm21xm对I1，由于精品文档分析积分结构中包含有正弦函数的因子,注意利用它的两个特性：本身有界性一一用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性一一用于获得收敛性。

注意验证积分片段有界性时的配因子方法解：先分析绝对收敛性,由于sinx(+—)]I匚1<—，xmIJAsin(x+1)dxl=lJA(1-丄+丄)sin(x+1)dxI2x2x2x2xA丄dx2时，I发散11对I，利用已知的结论：Ve>0,limln(1+x)=0，贝V2xt+8xelimxp吨+X)XT+8Xmgpm当m>1时，取p使得12时I发散esinxsin2x例4讨论/=°dx的敛散性，其中1>00xl分析分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abel判别法或Dirichlet判别法解：记I11esinxsin2xIdx，0x九J+gesinxsin2xdxx九对I，当九一1<1,i.e九<2时，1esinxsin2xlimx九-1=2ext0+x入故，I收敛。

由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛1精品文档当九一1＞1,i.eX＞2日寸,esinxsin2xlimx九t=2eXTO+”故，I发散1对I，由于2esinxsin2xx九绝对）收敛故当九＞1时，I2当0＜九＜1时，由于，对任意A＞1,JsiAsi1nJAesinsii2xdx=21且当xT+8时，丄单调递减趋于0,由Dirichlet判别法，I收敛x九2tetdt<2又，此寸esinsii2xx九sii2xx九sin22xe-1>e-1=-21co4sxx九x九esinxsin2xdx＜—发散x九且J+®丄dx发散，J+®^0土dx收敛，因此，严1x九1x九1因而，当0＜九＜1时，I条件收敛2综上，1＜九＜2时，I绝对收敛;0＜X＜1时,I条件收敛；X＞2时，I发散例5讨论I=J+sxpsinxqdx的敛散性，其中p、q非负0分析从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子sinxq,因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换处理技巧是先易后难解、先考虑最简情形：q=0时的情形记I(p)=J*1xpdx，I(p)=J+8xpdx，此时，I(p)、I(p)分别是无界函数102112和无穷限广义积分，因此，p>-1时，I】(p)收敛；p<-1时，I】(p)发散；而对I,p<-1时I(p)时收敛，p>-1时I(p)发散，故q=0时，I发散。

222当q丰0时，令t=xq，a=_—，贝UJ11asintdt+卜tasintdt01q1p+1_q1'I^-J+Mtqsind尸门|q|0|q|L对I=J1tasintdt，1，故I与J11a+1dt同时敛散因而,tu+110tT0+ta+110-Q+1)<1,iea>-2时，I(绝对)收敛；a<-2时，I发散11=J+81asintdt，由于tasint0时，利用周期函数的积分性质，则tasintdt>卜sintdt=20J2n兀+兀2n兀因而，由Cauchy收敛准则，I发散2综上：q=0时，I发散;q丰0时，-1<二1<0时，I绝对收敛;q0<圧<1时，I条件收敛;q1<圧时，I发散q注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要矛盾注、也可以用配因子法处理下述的例子用阶的分析法例6讨论I=严0smx、1(1一——x)-3-1dx的敛散性精品文档分析首先将积分分段处理，记I=J110(1-dxi=J+"（i-止）-3-idx从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理21X的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。

对I,分析奇点附近被积函数的阶由于1x3sinx=X—+3!o(x3),sinXX2=1—+o(X2)，X3!sinx-1因而，(1-)3X2X-3，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性<<1，因此，利用函数展开理论得(1+x)a=1+ax+0(x2),xe(—1,1)，由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散性解、记I=J1(1-sinx)-3-1dx，I=卜(1-sinx)-3-1dx10x21x对I，利用L'Hosptial法则1-sinxlimxx®0+x216'精品文档因而，2sinxlimx3(1x®0+x由于<1,(x>1)，贝yx“sin兀、丄(1-)-3x丄sinxsin2x-1二+0()其中0(归)0)1x卩lncos—x0，故这是无穷限广义积分，分析XT+8时被积函数的性质，此时ln(1+sin—)~sin1,xaxaxa又cos1-1--^+o(丄)，故x2x2x3lncos丄-ln(l-—x2x2x3x2所以ln(1+sin丄)xaxPlncos—x解、由于—1，证明过程就是验证上述函数关系。

xa+p—2limxa+P-2-xT+81-x2Incosxln(1+sin丄)ln(1+sin丄)亍-limxaxPIlncos—IxT+8x--lim11--lim————-2xT+8x2lncos—tt0lncosx因而，I与广义积分卜」dx同时敛散故a+卩〉3时，I收敛；(！+卩W3时,1XQ+卩-2I发散下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法例8证明：设f(x)、g(x)在［a,+8)上连续，g(x)单调且C>g(x)>C>0,21则卜f(x)dx与卜f(x)g(x)。