数的整除思维导图 数的整除.docx

数的整除思维导图 数的整除 　　在中学数学竞赛中，因为整数问题解法灵活多变，需要独特的技巧，因此有关整数问题常常出现，这对于培养、提升解题能力很有益 　　一、整除、约数和倍数的意义　　定义：设有两个整数a，b，若有另一个整数q，使得a=bq，则称a被b整除，记作b｜a　　比如：4|28，3|36　　定义：假如b｜a，那么a叫做b的倍数，b叫做a的约数　　比如：7|21，故21是7的倍数，7是21的约数　　说明：正整数a的约数的个数是有限的；　　正整数a的倍数的个数是无限的　　假如整数a不能被自然数b整除，记作b×a，这时，a不是b的倍数，b不是a的约数　　二、整除的性质　　依据整除的定义，轻易得到以下部分性质：　　a｜b，b｜c?圯a｜c　　a｜b，a｜c?圯a｜　　a｜b且b｜a?圯a=b或a=-b　　n个连续整数中，必有一个能被n整除　　如：11、12、13中有3|12，41、42、43、44中有4|44，77、78、79、80、81中有5|80　　三、数的整除特征　　假如含有某个条件的数全部能被正整数d整除，反之，能被d整除的数全部含有这个条件，那么这个条件就叫做能被d整除的数的特征。

　　能被2整除的数：个位数字是偶数　　能被5整除的数：个位数字是0或5　　能被4整除的数：末两位数能被4整除　　能被25整除的数：末两位数能被25整除　　能被8整除的数：末三位数能被8整除　　能被125整除的数：末三位数能被125整除　　能被3整除的数：各位数字之和能被3整除　　能被9整除的数：各位数学之和能被9整除　　能被11整除的数：奇位数字的和和偶位数字的和之差能被11整除　　能被7或11或13整除的数：这个数的末三位数和末三位以前的数学所组成的数之差能被7或11或13整除　　想一想：能被6整除的数会怎样？　　能被12整除的数会怎样？　　判定1005928能否被7、11整除　　为了表示方便，我们常常在用字母表示的多位数上面加一条横线，以避免和乘法混淆，比如 就表示一个五位数　　因为连续两个数之积必为2的倍数，连续三个整数之积必为3的倍数，因此6|n　　显然，经过上式知，当n-1=4时，即n=5时，6 -1是25的倍数，而且是满足条件的最小的正整数n　　例7：一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b，假如a恰好是b的3倍，我们称a是一个“期望数”　　举例说明：“期望数”一定存在。

　　请你证实：假如a、b全部是“期望数”，则ab一定是729的倍数　　解：因为428571=3×142857，因此428571是一个“期望数”　　设a、b全部是“期望数”，由“期望数”定义可知：　　a=3b，其中a的数学和等于b的数字和，可知q|b，进而27|3b，于是27|a，即a是27的倍数　　同理b也是27的倍数　　∴k一定是3的倍数　　设k=3k　　“本文中所包括到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”　　本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文　　。