第五章留数PPT课件.ppt

第五章第五章 留留 数数By By 付小宁付小宁一、孤立奇点的概念定义定义 如果如果函数函数在在 不解析不解析, 但但在在的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析, 则称则称为为的孤立奇点的孤立奇点.例例1是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.第一节 孤立奇点例例2 2 指出函数指出函数在点在点的奇点特性的奇点特性. .解解即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在的奇点存在, 函数的奇点为函数的奇点为总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以函数在孤立奇点以外的奇点称为函数在孤立奇点以外的奇点称为非孤立奇点非孤立奇点.孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据在其孤立奇点在其孤立奇点的去心邻域的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:1．．可去奇点可去奇点1．可去奇点．可去奇点; 2．极点．极点; 3．本性奇点．本性奇点.如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项, 那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.1) 定义定义其和函数其和函数为在为在解析的函数解析的函数.说明说明: (1)(2) 无论无论在在是否有定义是否有定义, 补充定义补充定义则函数则函数在在解析解析. 2) 可去奇点的判定可去奇点的判定(1) 由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负在在如果如果幂项则幂项则为为的可去奇点的可去奇点.(2) 判断极限判断极限若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则为为的可去奇点的可去奇点.如果补充定义如果补充定义:时时,那末那末在在解析解析.例例3 中不含负幂项中不含负幂项,是是的可去奇点的可去奇点 . 例例4 说明说明为为的可去奇点的可去奇点.解解 所以所以为为的可去奇点的可去奇点.无负幂项无负幂项另解另解 的可去奇点的可去奇点.为为2. 极点极点 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1) 定义定义 如果洛朗级数中只有如果洛朗级数中只有有限多个有限多个的的负幂项负幂项, 说明说明:1.2.特点特点:(1)(2)的极点的极点 , 则则为函数为函数如果如果例例5 有理分式函数有理分式函数是二级极点是二级极点, 是一级极点是一级极点.2)极点的判定方法极点的判定方法的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析, 且且 (1) 由定义判别由定义判别(2) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3) 利用极限利用极限判断判断 .例例6 求函数求函数 的奇点，并确的奇点，并确定类型定类型.解解是奇点是奇点.是二级极点是二级极点;是三级极点是三级极点.本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点: 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为同时同时不存在不存在.综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项最高幂最高幂为为存在且有限存在且有限二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义零点的定义不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数如果如果能表示成能表示成其中其中在在解析且解析且m为某一正整数为某一正整数, 那末那末称为称为的的 m 级零点级零点.例例6注意注意: : 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.2.零点的判定零点的判定零点的充要条件是零点的充要条件是证证 (必要性必要性)由定义由定义:设设的泰勒展开式为的泰勒展开式为:如果如果在在解析解析, 那末那末为为的的级级如果如果为为的的级零点级零点其中其中展开式的前展开式的前m项系数都为零项系数都为零 ,由泰勒级数的系数由泰勒级数的系数公式知公式知:并且并且充分性证明略充分性证明略 .(1)由于由于知知是是的一级零点，的一级零点，课堂练习课堂练习是五级零点是五级零点,是二级零点是二级零点.知知是是的一级零点的一级零点.解解 (2)答案答案例例7 求以下函数的零点及级数求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数的零点及级数 .求求尚有另尚有另2个一级零点个一级零点.3.零点与极点的关系零点与极点的关系定理定理如果如果是是的的 m 级极点级极点, 那末那末就是就是的的 m 级零点级零点. 反过来也成立反过来也成立.证证如果如果是是的的 m 级极点级极点, 则有则有当当 时时 ,函数函数在在解析且解析且由于由于只要令只要令 那末那末的的 m 级零点级零点. 就是就是反之如果反之如果 的的 m 级零点级零点, 是是那末那末当当 时时,解析且解析且所以所以是是的的 m 级极点级极点.说明说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法简便的方法. .例例8 函数函数有些什么奇点有些什么奇点, 如果是极点如果是极点, 指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使的点的点,这些奇点是这些奇点是是孤立奇点是孤立奇点.的一级极点的一级极点.即即解解 解析且解析且所以所以不是二级极点不是二级极点, 而是一级极点而是一级极点//可去奇点可去奇点.是是的几级极点的几级极点?思考思考例例9 问问是是的二级极点吗的二级极点吗?注意注意: 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 .三、函数在无穷远点的性态定义定义注注RZ规定：规定：判别法判别法1 (利用变换域级数进行判断利用变换域级数进行判断)1)不含正幂项不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且为最高正幂为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项;那末那末是是的的 1)可去奇点可去奇点 ;2) m 级极点级极点;3)本性奇点本性奇点 .2 (利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点)2.判别方法判别方法在在内的洛朗级数中内的洛朗级数中:如果如果例例10 (1)函数函数在圆环域在圆环域内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为:不含正幂项不含正幂项所以所以是是的可去奇点的可去奇点 .(2)函数函数含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正幂项幂项,所以所以是是的的一一级极点级极点.(3)函数函数的展开式的展开式:含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项所以所以是是的本性奇点的本性奇点.课堂练习课堂练习的奇点及其的奇点及其类型类型.说出函数说出函数答案答案判别法判别法3 : (利用极限特点利用极限特点)如果极限如果极限1)存在且为有限值存在且为有限值 ; 2)无穷大无穷大; 3)不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大 ;那末那末是是的的1)可去奇点可去奇点 ;2)m级极点级极点 ;3)本性奇点本性奇点 .存在且有限存在且有限例例11 函数函数在扩充复平面内在扩充复平面内有些什么类型的奇点有些什么类型的奇点? 如果是极点如果是极点, 指出它的级指出它的级.解解 函数函数除点除点外外, 所以这些点都是所以这些点都是的一级零点的一级零点,故这些点中除故这些点中除1, -1, 2外外, 都是都是的三级极点的三级极点.内解析内解析 .在在所以所以那末那末是是的可去奇点的可去奇点. 因为因为不是不是的孤立奇点的孤立奇点.所以所以一、留数的引入设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;内的洛朗级数内的洛朗级数:在在.的某去心邻域的某去心邻域邻域内包含邻域内包含的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线第二节 留 数0(高阶导数公式高阶导数公式)0 (柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理)定义定义 记作记作的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿内包含内包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值除的值除后所得的数称为后所得的数称为以以如果如果Residue 二、利用留数求积分说明说明:2. 留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求积分转化为求被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.1.留数定理留数定理在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析, C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线, 那末那末立奇点立奇点函数函数证证[证毕证毕]两边同时除以两边同时除以 且且...如图如图2.留数的计算方法(1) 如果如果为为的可去奇点的可去奇点, 如果如果 为为 的一级极点的一级极点, 那末那末•规则规则1 1成洛朗级数求成洛朗级数求(2) 如果如果为为的本性奇点的本性奇点, (3) 如果如果为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则则需将则需将展开展开如果如果 为为 的的 级极点级极点, •规则规则2 2证证那末那末+(含有含有 正幂的项正幂的项)两边求两边求阶导数阶导数, [证毕证毕]得得•规则规则3 3 如果如果设设及及在在都解析，都解析，证证的一级零点的一级零点,为为的一级极点的一级极点.为为那末那末为为的一级极点的一级极点, 且有且有解析且解析且在在因此因此其中其中 在在 解析且解析且为为 的一级极点的一级极点,三、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向说明说明记作记作1.1.定义定义 设函数设函数在圆环域在圆环域内解析，内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，.......证证由留数定义有由留数定义有:(绕原点的并将绕原点的并将内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线)包含在包含在 2.定理二定理二如果函数如果函数在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点, 那末那末在所有各奇点在所有各奇点 (包括包括 点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.[证毕证毕]说明说明: 由定理得由定理得(留数定理留数定理)计算积分计算积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.优点优点: 使计算积分进一步得到简化使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数)3.在无穷远点处留数的计算•规则规则4 4说明说明: 定理二和规则定理二和规则4提供了提供了计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线积分的又一种方法积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单.现取正向简单闭曲线现取正向简单闭曲线C为半径足够大的为半径足够大的正向圆周正向圆周 :于是有于是有证证内除内除在在外无其他奇点外无其他奇点 .[证毕证毕]四、典型例题例例1 求求在在的留数的留数.解解例例2 求求在在的留数的留数.分析分析是是的三级零点的三级零点由规则由规则2得得计算较麻烦计算较麻烦.如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求较方便较方便:解解说明说明: 如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求来计算留数来计算留数 .2. 在应用规则在应用规则2时时, 取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m但有时把但有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取例例3 求求在在的留数的留数.解解 是是的四级极点的四级极点.在在内将内将展成洛朗级数展成洛朗级数:例例4 4 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数.解解(1)在在 内内,解解解解为奇点为奇点,当当 时时 为一级极点，为一级极点，(分子3级零点、分母2级零点)解解的一级极点为的一级极点为例例5 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解为一级极点为一级极点,为二级极点为二级极点,例例6 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:函数函数在在的外部的外部, 除除点外没有点外没有其他奇点其他奇点. 解解 根据定理根据定理 2与规则与规则4: 与以下解法作比较与以下解法作比较 :被积函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点都都在圆周在圆周的内部的内部 , 所以所以由规则由规则3 可见可见, 利用无穷远点的留数更简单利用无穷远点的留数更简单.例例7 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周 :解解 除除被积函数被积函数点外点外, 其他奇点为其他奇点为由于由于与与 1在在C的内部的内部, 则则所以所以思考题思考题答案答案 思想方法思想方法 :封闭路线的积分封闭路线的积分 .两个重要工作两个重要工作:1) 积分区域的转化积分区域的转化2) 被积函数的转化被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条第三节 留数在定积分计算上的应用当当历经变程历经变程时时,的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周一、形如 的积分z的有理函数的有理函数 , 且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零 , 满足留数定满足留数定理的条件理的条件 .包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点.例例1 计算积分计算积分解解则则例例2 计算计算解解 令令极点为极点为 :(在单位圆内在单位圆内)(在单位圆外在单位圆外)例例3 解解 故积分有意义故积分有意义.因此因此若有理函数若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次的分母至少比分子高两次, 并且并且函数在实轴上无孤立奇点函数在实轴上无孤立奇点.一般设一般设分析分析可先讨论可先讨论最后令最后令即可即可 .二、形如 的积分2. 积分区域的转化积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间使与区间一起构成一条封闭曲线一起构成一条封闭曲线, 并使并使R(z)在其内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处解析限孤立奇点外处处解析. (此法常称为此法常称为“围道积分法围道积分法”)1. 被积函数的转化被积函数的转化:(当当z在实轴上的区间内变动时在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x)) 可可取取 f(z)=R(z) .xy..这里可补线这里可补线(以原点为中心以原点为中心 , R为半径为半径的在的在上半平面的半圆周上半平面的半圆周)与与一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线C , R(z)在在C及其及其内部内部(除去有限孤立奇点）处处解析除去有限孤立奇点）处处解析.取取R适当大适当大, 使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内都包在这积分路线内.根据留数定理得根据留数定理得 :当当 充分大时充分大时, 总可使总可使例例4 计算积分计算积分解解 在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点一级极点一级极点xy..积分存在要求积分存在要求: R(x)是是x的有理函数而分母的次的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次数至少比分子的次数高一次, 并且并且R(z)在实轴上在实轴上无孤立奇点无孤立奇点.与与曲线曲线C ,使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内包在这积分路线内 .同前一型同前一型: 补线补线一起构成封闭一起构成封闭都都三、形如 的积分对于充分大的对于充分大的 , 且且 时时, 有有从而从而由留数定理由留数定理:例例5 计算积分计算积分解解 在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点又又注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.例例6 计算积分计算积分分析分析 因因在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线不经过奇点, 所以可取图示路线所以可取图示路线:解解 封闭曲线封闭曲线C:由柯西由柯西-古萨定理得古萨定理得:由由当当 充分小时充分小时, 总有总有 即即例例7证证 如图路径，如图路径，令两端实部与虚部分别相等，得令两端实部与虚部分别相等，得菲涅耳菲涅耳(fresnel)积分积分例例8 8 计算积分计算积分解解在上半平面内有一级极点在上半平面内有一级极点放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .练习：练习：放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .。