高等数学第二章极限与连续课件.ppt

第二章第二章 极限与连续极限与连续 §2.1 数列的极限数列的极限 §2.2 函数的极限函数的极限 §2.3 变量的极限变量的极限 §2.4 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 §2.5 极限的运算法则极限的运算法则 §2.6 两个重要的极限两个重要的极限 §2.7 利用等价无穷小量代换求极限利用等价无穷小量代换求极限 §2.8 函数的连续性函数的连续性 1 第二章 §2.1 数列的极限定义定义：由无穷多个数，构成的有序的一列数：：由无穷多个数，构成的有序的一列数： 称为无穷数列，简称数列，称为无穷数列，简称数列， 简记为简记为 数列中的各个数称为数列的项，数列中的各个数称为数列的项， 称为通项称为通项 数列数列 可以看成以正整数可以看成以正整数 为自变量的函数为自变量的函数 ( (一一) )　数列　数列2例例1 例例2 例例3 这种数列称为常数数列这种数列称为常数数列 例例4 例例5 31.1.数列极限的定性描述数列极限的定性描述引例引例1.设有半径为设有半径为 r 的圆的圆 ,逼近圆面积逼近圆面积 S .如图所示如图所示 , 可知可知当当 n 无限增大时无限增大时, 无限逼近无限逼近 S (刘徽割圆术刘徽割圆术) , 用其内接正用其内接正 n 边形的面积边形的面积( (二二) ) 数列极限数列极限4“ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小，割之又割所失弥小，割之又割 , 以至于以至于不可割不可割 , 则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想的重要极限思想我国古代魏末晋初杰出数学家刘徽指出：我国古代魏末晋初杰出数学家刘徽指出：5引例２引例２ 　　 例例1中的数列来源于我国一篇古典名著中的数列来源于我国一篇古典名著.公元公元前四世纪，我国春秋时期的哲学家庄子（约公元前前四世纪，我国春秋时期的哲学家庄子（约公元前369－前－前286）在）在《《庄子庄子·天下篇天下篇》》一书中有一段一书中有一段富有哲理的名句：富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，万世不一尺之棰，日取其半，万世不竭竭”.我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来. 便得到数列便得到数列 当当 n 无限增大时无限增大时, 无限逼近无限逼近0 6定义定义　设　设 数列数列,实数。

实数 如果如果 无限增大时，无限增大时，无限趋近于常数无限趋近于常数则称数列则称数列以以为极限，记作为极限，记作 或或 此时，称数列此时，称数列收敛收敛. . 否则（即否则（即时，时，不以任何常数为极限）不以任何常数为极限）, ,称数列称数列发散 7说明说明：：(1). 引例引例1中，圆的面积中，圆的面积 (2). 引例引例2中，剩余棒头的长度中，剩余棒头的长度 8观察上例中，数列的极限：观察上例中，数列的极限： 例例2中中,例例3中中,例例4中中,不存在；不存在；时时,数列数列没有固定变化趋势，发散没有固定变化趋势，发散当当例例5 5中，　中，　不存在当不存在当时时, ,数列数列的变化趋势为无限增大，发散记的变化趋势为无限增大，发散记 92 2、数列极限的定量描述、数列极限的定量描述逐次加入定量成分，把极限定性描述转为定量描述逐次加入定量成分，把极限定性描述转为定量描述 (1) 如果如果无限增大时，无限增大时，无限趋近于常数无限趋近于常数则称数列则称数列以以为极限为极限. (2) 当当充分大时，充分大时，任意小，则称数列任意小，则称数列以以为极限为极限. (3) , ,当当充分大时，充分大时，则称数列则称数列以以为极限为极限. . (4) 当当 n > N 时时, 总有总有 则称数列则称数列以以 为极限为极限.10定义定义: 若数列若数列及常数及常数 a 有下列关系有下列关系 :当当 n > N 时时, 总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛 , 否则称数列否则称数列发散发散 .几何解释几何解释(动态地看定义动态地看定义) :即即或或则称该数列则称该数列的极限为的极限为 a ,当当 n > N 时时, 所有的点所有的点都落在都落在内。

内只有有限个点只有有限个点落在落在的的邻域邻域之外11几点注意几点注意 1213例例6. 已知已知证明数列证明数列的极限为的极限为1. 证证: 因此因此 , 取取则当则当时时, 就有就有故故由定义来证，由定义来证，当当时时, 就有就有当当时时, 有有当当时时, 有有当当时时, 有有对问题进行等对问题进行等价的转化价的转化14例例6. 已知证明数列证明数列的极限为的极限为1. 证证2: 欲使欲使只要只要因此因此 , 取取则当则当时时, 就有就有故故15“ε－－N”定义证明定义证明 的步骤，的步骤， 分三步：分三步： 第一步，给定任意正数第一步，给定任意正数ε；；第二步，由第二步，由 寻找正整数寻找正整数N ，这是关键的一步；，这是关键的一步； 第三步，按照定义的模式写出结论第三步，按照定义的模式写出结论.16例例7. 已知已知证明证明证证:欲使欲使只要只要取取则当则当时时, 就有就有故故故也故也可取可取也可由也可由N 与与   有关有关, 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .说明说明: 取取放大！放大！17例例8. 设设证明等比数列证明等比数列证证:欲使欲使只要只要即即亦即亦即因此因此 , 取取则当则当 n > N 时时,就有就有故故的极限为的极限为 0 . 为什么限制，为什么限制，可以限制吗？可以限制吗？18(三三) 收敛数列的性质收敛数列的性质(补充内容补充内容)证明思想证明思想: 用反证法用反证法.1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.及及且且假设假设选选ε,使使a的的ε邻域与邻域与b的的ε邻域不相交邻域不相交,当当n> max(N1, N2)时时,xn同同时在这两邻域内时在这两邻域内,矛盾矛盾192. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.即如果直观直观证明思想证明思想邻域内有几邻域内有几乎所有的乎所有的xn邻域内外只邻域内外只有有限个有有限个xn说明说明: 此性质反过来不一定成立 .223. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若若且且时时, 有有直观直观:24证明思想证明思想:若若且且时时, 有有证证: 对对 a > 0 , 取取问问: a>b时时,会有什么结论会有什么结论?25推论推论2:若若数列从某项起数列从某项起推论推论1: 若若且且时时, 有有26 第二章 §2.2 函数的极限函数极限问题是研究当自变量函数极限问题是研究当自变量趋向于趋向于的变化趋势的变化趋势或趋向于无穷大时，函数或趋向于无穷大时，函数自变量变化自变量变化过程有六种形式过程有六种形式: 趋向于一点趋向于一点 趋向于无穷趋向于无穷27(一一) 自变量趋于有限值时函数的极自变量趋于有限值时函数的极限限时时函数极限的定义函数极限的定义仿数列极限定义仿数列极限定义(不论多么小不论多么小)，，有：有：描述描述任意地接近任意地接近表示表示接近接近的过程的过程28定义定义 . 设函设函数数在点在点的某去心的某去心邻域内有定义邻域内有定义 ,当当时时, 有有则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时的时的极限极限,或或若若记作记作29例例10. 证明证明证证:欲使欲使取取则当则当时时 , 必有必有因此因此只要只要32例例11. 证明证明证证:故故取取当当时时 , 必有必有因此因此欲使欲使33( (二二) ) 左极限和右极限左极限和右极限36左左极限极限 :当当时时, 有有类似地，定类似地，定义右极限！义右极限！37右极限右极限 :当当时时, 有有定理定理 1 .想一想想一想 38例例13. 设函数设函数讨论讨论 时时的的极限是否存在极限是否存在 . 解解:因为因为显然显然所以所以不不存在存在 .利用定理利用定理1 .39 由定理由定理1可知，如果左极限和右极限至少有一个不可知，如果左极限和右极限至少有一个不存在，或者存在但不相等，则函数的极限不存在存在，或者存在但不相等，则函数的极限不存在.定理定理1常用于证明分段函数在分段点处的极限不存常用于证明分段函数在分段点处的极限不存在在.解解:因为因为显然显然所以所以利用定理利用定理1 .例例14. 研究当研究当 时，时， 的极限。

的极限40(三三) 自变量自变量x绝对值无限增大时的情形绝对值无限增大时的情形如图所示，当如图所示，当无限增大时，函数无限增大时，函数的绝对值无限变小，的绝对值无限变小，时，该函数以常数时，该函数以常数为极限，记作为极限，记作 可见当可见当41定义定义(定性定性) . 设设时的时的极限极限, 记作记作则称常数则称常数A 为函数为函数是一个函数，是一个函数，A为常数 如果在如果在 的过程中的过程中, 对应函数值对应函数值 无限趋近于确定值无限趋近于确定值A. 42定义定义(定量定量) 设函数设函数大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义,若若时的时的极限极限,则称常数则称常数A 为函数为函数直线直线 y = A 为曲线为曲线的水平渐近线的水平渐近线43直线直线 y = A 仍是曲线仍是曲线 y = f (x) 的渐近线的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :时的时的极限极限,记作记作则称则称A 为函数为函数如果在如果在 的过程中的过程中, 对应函数值对应函数值 无限趋近于确定值无限趋近于确定值A. 几何意义几何意义 :44比如，比如，都有极限，都有极限， 就不存在极限就不存在极限。

45例例15. 用定义证明用定义证明证证:欲使欲使取取则当则当时时 , 必有必有因此因此只要只要46例例16.用定义证明用定义证明 证证:欲使欲使取取则当则当时时 , 必有必有因此因此只要只要即即 同理，可用定义证明同理，可用定义证明 47( (四四) ) 函数极限的性质函数极限的性质 48局部保号定理局部保号定理 定理定理2 . 若若且且 A > 0 ,则存在则存在( A < 0 )49证证: 已知已知即即当当时时, 有有当当 A > 0 时时, 取取正数正数则在对应的邻域则在对应的邻域上上(< 0)定理定理2 . 若若且且 A > 0 ,则存在则存在以以A > 0为例为例50定理定理3 . 若在若在的某去心的某去心邻域内邻域内, 且且 则则证证: 用反证法用反证法.则由则由定理定理 2,的某去心的某去心邻域邻域 , 使在该使在该邻域内邻域内与已知与已知所以假设不真所以假设不真, (同样可证同样可证的的情形情形)存在存在假设假设 A < 0 , 条件矛盾条件矛盾,故故51思考思考: 若定理若定理 3 中的条件改为中的条件改为是否必有是否必有不能不能! 如如 推论推论: : 若若且且则则利用极限四则运算法则证明利用极限四则运算法则证明 .提示提示: 令令52 第二章 §2.3 变量的极限定义定义 若若在此变化过程中的极限在此变化过程中的极限, 记记作作则称常数则称常数A 为变量为变量综合各类极限定义综合各类极限定义, 得一般变量极限定义得一般变量极限定义: 53定义定义 若若在那个时刻之后为在那个时刻之后为有界变量有界变量. 则称则称变量变量定理定理 若若为为有界变量有界变量. 变量变量反之反之, 有界变量未必有极限有界变量未必有极限. 54 第二章 §2.4 无穷大量与无穷小量(一一) 无穷大无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大55定义定义 . 若任给若任给 M > 0 ,总有总有则称则称函数函数当当时为时为无穷大无穷大,①①(正数正数 X ) ,记作记作总存在总存在56又如又如 铅直渐近线。

铅直渐近线 57比如，比如， 渐近线直线为曲线的铅直渐近线 .1. 无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;注注 58(二二) 无穷小无穷小定义定义 . 若若时时 , 函数函数则称则称函数函数为为时的时的无穷小无穷小 .极限为零的变量极限为零的变量, ,称为称为无穷小无穷小. .1、无穷小量的概念、无穷小量的概念 59当当例如例如 : :函数函数 当当时为时为无穷小无穷小; ;函数函数 时为时为无穷小无穷小; ;函数函数 当当时为无穷小时为无穷小. .说明说明: : 2.2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数! ! 1.1.无穷小是变量无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;60其中其中 (x) 为为时的时的无穷小量无穷小量 . 定理定理 . ( 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 )意义意义 1.1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题 ( (无穷小无穷小););61证证: :当当时时, ,有有对自变量的其它变化过程类似可证对自变量的其它变化过程类似可证 .其中其中  为为时的时的无穷小量无穷小量 . 定理定理 1622 2、无穷小量的性质、无穷小量的性质 性质性质1. 有限个无穷小的代数和还是无穷小有限个无穷小的代数和还是无穷小 .由此可证由此可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小 . 以三个无穷小的和为例！以三个无穷小的和为例！设设无穷小无穷小无穷小无穷小只需只需证明，两个无穷小的和证明，两个无穷小的和 ，仍为无穷小。

仍为无穷小分析：分析：63时时, 有有证证:当当时时 , 有有当当时时 , 有有取取则当则当因此因此来证来证64说明说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，例如，性质性质2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 即　即　65证证:当当时时, 有有取取则当则当时时 , 就有就有故故66推论推论 2 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 1. 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.都是无穷小都是无穷小67例例14. 求求解解: 利用利用性质性质 2 可知可知说明说明 : y = 0 是是的的渐近线渐近线 .注意，有重要公式：注意，有重要公式：函数极限与自函数极限与自变量的变化过变量的变化过程有关68(三三)无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.性质性质3. 说明说明:69( (四四) ) 无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较 都是无穷小都是无穷小,引例引例 .但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的 . 观观察察各各极极限限70定义定义.若若则则称称   是比是比   高阶高阶的无穷小的无穷小,若若若若若若或或设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则则称称   是比是比   低阶低阶的无穷小的无穷小;则则称称   是是   的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称   是是   的的等价等价无穷小无穷小, 记作记作例如例如 , 当当～～时时71例例15. 证明证明: 当当时时,～～证证:～～72 第二章 §2.5 极限的运算法则则有则有证证: 因因则有则有(其其中中为为无穷小无穷小) 于是于是由性质由性质 1 可知可知也是无穷小也是无穷小, 再利用极限与无穷小再利用极限与无穷小的关系定理的关系定理 , 知定理结论成立知定理结论成立 .定理定理. 若若73说明说明: 此定理可推广到有限个函数相加、减的情形此定理可推广到有限个函数相加、减的情形 .定理定理 . 若若则有则有证明略证明略 .说明说明: 此定理此定理 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .( C 为常数为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数为正整数 )74例例16. 设设 n 次多项式次多项式试证试证证证:75定理定理. 若若且且 B≠0 , 则有则有证明略证明略例例17. 设有分式函数设有分式函数其中其中都是都是多项式多项式 ,试证试证: 证证: 说明说明: 若若不能直接用商的运算法则不能直接用商的运算法则 . 若若76 x = 3 时分母为时分母为 0 !例例18.练习　求练习　求 77例例19 . 求求解解: x = 1 时时分母分母 = 0 , 分子分子≠0 ,但因但因78例例20 . 求求解解: 时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母“ 抓大头抓大头”原式原式79一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数 )80例例21　求　求 解解 注意　两个同号的无穷大量之和是无穷大量，注意　两个同号的无穷大量之和是无穷大量，两个异号的无穷大量之和是两个异号的无穷大量之和是“∞－－∞”型不定式型不定式.本例求极限的方法称为有理化法本例求极限的方法称为有理化法.81 第二章 §2.6 两个重要的极限(一一) 极限存在准则极限存在准则夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则; 柯西审敛准则柯西审敛准则(略略) .v1. 夹逼准则夹逼准则 (准则准则1-数列数列)直观直观:82当当时时, 有有想想证证证明直观证明直观:n>N2时时n>N1时时n>max(N1,N2)时时83证证: 由由条件条件 (2) ,当当时时,当当时时,取取则当则当时时, 有有由由条件条件 (1)即即故故 84v 夹逼准则夹逼准则 (准则准则1-变量变量)直观直观:例例1. 证明证明证明：证明：85例例2. 证明证明证明：证明：86例例3. 证明证明证证: 利用夹逼准则利用夹逼准则 .且且由由872. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则准则2 ) ( 证明略证明略 )88例例. 设设证明数列证明数列极限存在极限存在 . 证证: 利用二项式公式利用二项式公式 , 有有89大大 大大 正正又又比较可知比较可知90根据准则根据准则 2 可知数列可知数列记此极限为记此极限为 e , e 为无理数为无理数 , 其值为其值为即即有有极限极限 .又又91圆扇形圆扇形AOB的面积的面积(二二) 两个重要极限两个重要极限 证证: 当当即即亦即亦即时，时，显然有显然有△△AOB 的面积的面积＜＜＜＜△△AOD的面积的面积故有故有92例例4. 求求解解: 例例5. 求求解解: 令令则则因此因此原式原式93例例6. 求求解解: 原式原式 =例例. 已知圆内接正已知圆内接正 n 边形面积为边形面积为证明证明: 证证: 说明说明: 计算中注意利用计算中注意利用942.证证: 当当时时, 设设则则95当当则则从而有从而有故故说明说明: 此极限也可写为此极限也可写为时时, 令令96例例. 求求解解: 令令则则说明说明 ：：若利用若利用则则 原式原式97例例7. 求求解解:例例8. 求求解解:98例例. 计算复利息问题：计算复利息问题：每期结算一次，本利和为每期结算一次，本利和为 设本金为设本金为 ，，利率为利率为 ，，期数为期数为 。

每期结算每期结算 次，次， 期本利和为期本利和为如果立即产生，立即结算，即如果立即产生，立即结算，即期本利和为期本利和为99 第二章 §2.7 利用等价无穷小量代换求极限～～～～定理定理1.证证:即即即即100定理定理2 2 . . 设设且且存在存在 , 则则证证:等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理例如例如,在极限的在极限的乘除乘除运算中，等价运算中，等价无穷小可以相无穷小可以相互替换！互替换！101设对同一变化过程设对同一变化过程 ,   ,   为无穷小为无穷小 ,说明说明:无无穷小性质穷小性质Th1～～2, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价由等价得简化某些极限运算的下述规则得简化某些极限运算的下述规则. 若若   = o( ) , 例如例如,(2) 因式代替规则因式代替规则:界界, 则则例如例如, 102例例1. 求求解解: 原原式式 103例例2. 求求解解: 原原式式 104例例3. 求求解解: 原原式式 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. .对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意105例例4. 证明证明证明证明:106 第二章 §2.8 函数的连续性可见 , 函数在点（一）、（一）、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:在的某邻域内有定义 , 则称函数(1) 在点即(2) 极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;107continue若在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 .例例1在上连续 .( 有理整函数 )例例2 有理分式函数在其定义域内连续在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.108对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时, 有函数在点连续有下列等价命题:109例例3. 证明函数在内连续 .证证: 即这说明在内连续 .同样可证: 函数在内连续 .110例例4. 证明函数在内连续 .证证: 即这说明在内连续 .来证来证要使要使只要只要即即取取即可即可111例例5证证由定义知由定义知112例例6解解右连续但不左连续右连续但不左连续 ,113在在（二）、（二）、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数(2) 函数不存在;(3) 函数存在 ,但 不连续 :设在点的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;114间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:及均存在 ,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在 ,称若其中有一个为振荡 ,称若其中有一个为为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .115为其无穷间断点 .为其振荡间断点 .为可去间断点 .例如例如:116显然为其可去间断点 .(4)(5) 为其跳跃间断点 .117例例7 7解解118小结小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式119可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx120（三）、连续函数的运算法则（三）、连续函数的运算法则极极限限性性质质容易把极限性质转化为连续函数性质容易把极限性质转化为连续函数性质, 如如121定理定理1. 在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)商商(分母不为分母不为 0) 运算运算, 结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .在其在其定义域内连续定义域内连续例如例如,122定理定理2. 连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数例如例如,在在上上连续单调递增，连续单调递增，其其反函数反函数(递减递减).(证明略证明略)在在 [－－1 , 1] 上也连续单调递增上也连续单调递增.递增递增(递减递减)也也连续单调连续单调反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.123在在上上连续连续 单调单调 递增递增,其其反函数反函数在在上也连续单调递增上也连续单调递增.又又如如, 124定理定理3定理定理4. 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.即即: 设函数设函数则复合函数则复合函数且且即即加强条件有加强条件有:注意　定理注意　定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.(证明略证明略)125意义意义 极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例8. 求求解解: 原式原式126例例9.是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在上连续上连续 .复合而成复合而成 ,127三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★★★基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性★★(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )（四）、初等函数的连续性（四）、初等函数的连续性Ex128基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,的的连续区间为连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)的的连续区间为连续区间为的的定义域为定义域为因此它无连续点因此它无连续点而而定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.129例例10. 讨论讨论 的连续性。

的连续性解解:130的连续性的连续性例例10. 讨论讨论131(五五) 利用函数连续性求函数极限利用函数连续性求函数极限 1.利用初等函数连续性求函数极限利用初等函数连续性求函数极限例例11. 求求解解: 初等函数初等函数在在例例12 求求解解:132例例13. 求求解解: 令令则则原式原式说明说明: 当当时时, 有有2. 利用连续函数符号与极限符号可交换利用连续函数符号与极限符号可交换 如例如例8中，中，133例例14. 求求解解:原式原式说明说明: 若若则有则有134小结小结基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续极限计算中的应用极限计算中的应用135（六）在闭区间上连续函数的性质（六）在闭区间上连续函数的性质定义定义. .设函数设函数则称则称如果如果定义在定义在D上，上，有有在在D上有上有最大　　值，最大　　值，并称并称在在D上的上的最大　　值．最大　　值．为为称称在在D上的上的最大　　值点．最大　　值点．为为小小小小小小例如：例如：在在内最大值为内最大值为1，最小值为－，最小值为－1．．在在内最大值为内最大值为2，最小值为，最小值为0．．1. 1. 最值定理最值定理 136注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .定理定理4.4.在闭区间上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,137例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如, 138推论推论. 由定理 1 可知有证证: 设上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 139定理定理5. ( 零点定理 )至少有一点且使( 证明略 )2、介值定理、介值定理140定理定理6. ( 介值定理 )设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证证: 作辅助函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即使至少有141几何解释几何解释:推论推论:在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最必取得介于最小值与最大值大值之间的任何值之间的任何值 .142例例15. 证明方程一个根 .证证: 显然又故据零点定理, 至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则143例例16. 证明方程内各有一个实根 .证证: 显然又在区间是所给方程的实根。

又三次方程只有三个根，所以各区间只存在一个实根故据零点定理, 存在使144小结小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在145。