知识体系知识体系 第四节第四节 基本不等式及其应用基本不等式及其应用基础梳理基础梳理2. 几个重要的不等式(1)a2+b2≥ (a,b∈R).(2) ≥ (a,b同号).(3)ab≤ (a,b∈R).a≥0,b≥0a=b2ab21. 基本不等式 (1)基本不等式成立的条件: .(2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号. 3. 利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 时,x+y有 值是 .(简记:积定和最小)(２)如果和x+y是定值p,那么当且仅当 时, xy有 是 .(简记:和定积最大)典例分析典例分析题型一题型一 证明不等式证明不等式【例1】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证: ≥9.x=y最小最大x=y 证明 = (a+b+c)+ (a+b+c)+ (a+b+c) =3+ + + + + + = ≥3+2+2+2=9.学后反思 本题如果改为a>0,b>0,c>0,求(a+b+c)·（ ）≥9就比较明显.用a+b+c=1的条件（a+b+c）“隐”去，造成了思考上的困难,因此应注意“1”的代换.构造基本不等式，使其积为定值，并使得等号同时成立.分析 将a+b+c=1代入不等式左边,构造基本不等式模型,再利用基本不等式证明. 举一反三举一反三1. 设a＞0,b＞0,c＞0,求证: 证明: ∵a＞0,b＞0,∴ 同理, , ∴ 即 题型二题型二 求最值求最值【例2】(1)设00,y>0,且x+y=1,求 的最小值.分析 (1)由00,8-3x>0.由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得(2)原式变为 ,再讨论a-4的正负.(3)由 ,再用基本不等式求最值. 解 (1)∵02>0,∴ ,当且仅当3x=8-3x,即 时取等号,∴当 时, 的最大值是4.(2)显然a≠4,当a>4时,a-4>0,∴ ,当且仅当 时,取等号; (3)∵x>0,y>0,且x+y=1,∴ ,当且仅当 ,即x=2y时等号成立，∴当 时， 有最小值18.当a<4时,a-4<0,∴ ，当且仅当 ,即a=4- 时,取等号.∴ 的取值范围是(-∞,- +4]∪[ +4,+∞). 学后反思 (1)在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.本题第 (2)小题中 +a虽不是定值,但变形为 +(a-4)+4即可发现 ×(a-4)=3为定值,故可用基本不等式求之.分式函数求最值,通常化成y=mg(x)+ +B(A>0,m>0),g(x)恒正或恒负)的形式,然后运用基本不等式来求最值.(2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常见的错解为： ∵x>0,y>0,∴ .此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件 和x=y同时成立是不可能的.所以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况.在第(2)小题中当a＜4,即a-4＜0时,要用基本不等式必须前面添负号变为正.举一反三举一反三2. 求f(x)= +x的值域. 解析： 由已知得 (1)若x>2,则x-2>0.故 当且仅当 ,即x=3时，取等号.(2)若x<2,则x-2<0.故所以f(x)≤0,当且仅当 ,即x=1时，取等号.由（1）、(2)可知， 的值域为（-∞,0\]∪\[4,+∞）. 分析 这是一道建筑工程类问题，解决本题的突破点是将总费用分成三个部分：（1）建花坛MNPQ的费用；(2)阴影部分铺花岗岩地坪费用；（3）草坪费.题型三题型三 实际应用实际应用【例3】(14分)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 的十字型区域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/ ,在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ ，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/ .(1)设总造价为S元，AD的边长为x m,试建立S关于x的函数关系式；（2）计划至少要投多少元，才能建造这个休闲小区? 解 （1）设DQ=y则 , ,……….3′ ……………………..7′(2) …………………………10′当且仅当 ,即x=10时取等号.即计划至少要投入11.8（万元）才能建造这个休闲小区.14′. 学后反思 用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求，有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面求条件最值的方法来求最值.举一反三举一反三3. 某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元.其使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班48名同学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为40元.(1)若使每个同学游8次,每人最少应交多少元钱?(2)若使每个同学游4次,每人最少应交多少元钱? 解析： 可设买x张游泳卡,总开支y元,则(1)每批去x名同学,共需 批.总开支又分为:①买卡所需费用240x;②包车所需费用 ∴ (00恒有a+1a≥2,从而 ≥4,所以z的最小值为4.方法二：∵x+y=1,∴x2+y2+2xy=1,∴x2+y2=1-2xy,∴ = (x2y2+x2+y2+1) .错解分析 方法一中z=4成立的条件是 且 ，即x=1且y=1，与x+y=1相矛盾；方法二中z=2（ -1）的条件是 =xy，即xy=2,这与00,b>0.广告的面积为S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40b≥18 500+=18 500+ =24 500, 因为x-20>0,所以S≥ +18 500=24 500,当且仅当 =25(x-20)时等号成立.此时有(x-20)2=14 400(x>20),解得x=140,代入y= +25,得y=175.即当x=140,y=175,时,S取得最小值24 500,故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小. 。
