2023年考研数二历年真题.doc

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1））若函数在处连续，则（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】在处连续选A.（2）设二阶可导函数满足且，则（ ）【答案】B【解析】为偶函数时满足题设条件，此时，排除C,D.取满足条件，则，选B.（3）设数列收敛，则（ ）当时， 当时，当时， 当时，【答案】D【解析】特值法：（A）取，有，A错；取，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】特征方程为：故特解为：选C.（5）设具有一阶偏导数，且对任意的，都有，则（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】是关于的单调递增函数，是关于的单调递减函数，所以有，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则，当时满足，故选C.（7）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】 B【解析】,因此B正确。

8）设矩阵,则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】由可知A的特征值为2,2,1,因为，∴A可相似对角化，即由可知B特征值为2,2,1.因为，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴，但B不相似于C.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 曲线的斜渐近线方程为_______【答案】【解析】 (10) 设函数由参数方程确定，则______【答案】【解析】 (11) _______【答案】1【解析】(12) 设函数具有一阶连续偏导数，且，，则【答案】【解析】故，因此，即，再由，可得【答案】【解析】（13）【答案】.【解析】交换积分次序：.（14）设矩阵的一个特征向量为，则【答案】-1【解析】设，由题设知，故故.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限【答案】【解析】，令，则有（16）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，，求，【答案】【解析】结论：（17）（本题满分10分）求【答案】【解析】（18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值【答案】极大值为，极小值为【解析】两边求导得： （1）令得对（1）式两边关于x求导得 （2）将代入原题给的等式中，得，将代入（2）得将代入（2）得故为极大值点，；为极小值点，（19）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：方程在区间内至少存在一个实根；方程在区间内至少存在两个不同实根。

答案】【解析】（I）二阶导数，解：1）由于，根据极限的保号性得有，即进而又由于二阶可导，所以在上必连续那么在上连续，由根据零点定理得：至少存在一点，使，即得证（II）由（1）可知，，令，则由罗尔定理，则，对在分别使用罗尔定理：且，使得，即在至少有两个不同实根20）（本题满分11分）已知平面区域计算二重积分答案】【解析】（21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且，点是曲线L: 上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点，法线与x轴相交于点，若，求L上点的坐标满足的方程答案】【解析】设的切线为，令得，法线,令得由得，即令，则，按照齐次微分方程的解法不难解出,（22）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且证明：若，求方程组的通解答案】（I）略；（II）通解为【解析】（I）证明：由可得，即线性相关，因此，，即A的特征值必有0又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为∴（II）由（1），知，即的基础解系只有1个解向量，由可得，则的基础解系为，又，即，则的一个特解为，综上，的通解为（23）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵.【答案】【解析】，其中由于经正交变换后，得到的标准形为，故，将代入，满足，因此符合题意，此时，则，由，可得A的属于特征值-3的特征向量为；由，可得A的属于特征值6的特征向量为由，可得A的属于特征值0的特征向量为令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：，则，如果想要了解更多，广大研友们也可加入2017考研复试交流群（0）和大家一起交流考研心路历程。

也可将自己考研的经验传授给学弟学妹们2018考研交流总群（1），希望他们在2018年金榜题名2016年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）2．下列曲线有渐近线的是（A） （B）（C） （D）3．设函数具有二阶导数，，则在上（ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，4．曲线 上对应于的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）（Ｂ）　　(Ｃ）　（Ｄ）5．设函数，若，则（ ）（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　6．设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ ）． （A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； （C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．7．行列式等于（A） （B）　　（C） （D）8．设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． ．10．设为周期为4的可导奇函数，且，则 ．11．设是由方程确定的函数，则 ．12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 ．13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 ．14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是 ．三、解答题15．（本题满分10分）求极限．16．（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．17．（本题满分10分）设平面区域．计算18．（本题满分10分）设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．19．（本题满分10分）设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：（1） ；（2） ．20．（本题满分11分）设函数，定义函数列，，设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．21．（本题满分11分）已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．22．（本题满分11分）设，E为三阶单位矩阵．（1） 求方程组的一个基础解系；（2） 求满足的所有矩阵．23．（本题满分11分）证明阶矩阵与相似．2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、下列反常积分中收敛的是（）（A） （B） (C) (D)2、函数在内（）（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点3、设函数，若在处连续，则（）（A） (B) (C) (D)4、设函数在连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为（）（A）0 (B)1 (C)2 (D)35、设函数满足，则与依次是（）（A）,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,-6、设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则=（）（A）（B）（C）（D）7、设矩阵A=，b=,若集合Ω=，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为（）（A） (B) (C) (D) 8、设二次型在正交变换下的标准形为其中，若，则在正交变换下的标准形为（ ）(A) (B) (C) (D) 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、设10、函数在处的n 阶导数11、设函数连续，若，，则12、设函数是微分方程的解，且在处取值3，则=13、若函数由方程确定，则=14、设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，，其中E为3阶单位矩阵，则行列式=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数，，若与在是等价无穷小，求的值。

16、（本题满分10分）设，D是由曲线段及直线所形成的平面区域， ，分别表示D绕X轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若，求A的值得：17、（本题满分10分）已知函数满足，，，求的极值18、（本题满分10分）计算二重积分，其中19、（本题满分10分）已知函数，求零点的个数20、（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，30min后该物体降至，若要将该物体的温度继续降至，还需冷却多长时间？21、（本题满分11分）已知函数在区间上具有2阶导数，，，，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明22、（本题满分11分）设矩阵且.(1) 求的值；(2) 若矩阵满足，为3阶单位阵，求.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）2、下列曲线中有。