高斯求积公式数值微分课件.ppt

一、高斯点一、高斯点定义：高斯公式定义：高斯公式机械求积公式机械求积公式含有含有2n+2个待定参数个待定参数 若若适适当当选选择择这这些些参参数数使使求求积积公公式式具具有有尽尽量量高高次次（2n+1次次?!）代数精度代数精度，则这类公式称为，则这类公式称为高斯公式高斯公式4.1)定义：定义：高斯公式的求积节点称为高斯公式的求积节点称为高斯点请回顾请回顾:以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？除中矩形公式外都不是！除中矩形公式外都不是！注：注：机械型高斯求积公式一定是插值求积公式机械型高斯求积公式一定是插值求积公式举例举例求求 a,b上的两点高斯公式上的两点高斯公式解解 设两点高斯公式为设两点高斯公式为这这是是关关于于四四个个未未知知数数的的非非线线性性方方程程组组，是是否否有有解解？一一般般难难于求解于求解要求其代数精度最高，四个未知数，可列出要求其代数精度最高，四个未知数，可列出4个方程个方程:高斯点具有以下性质：高斯点具有以下性质：定理定理插插值值型型求求积积公公式式(4.1)成成为为Gauss求求积积公公式式的的充要条件充要条件：求积节点求积节点 为为n+1次正交多项式的零点次正交多项式的零点。

如何求高斯公式如何求高斯公式?正交多项式概述：正交多项式概述：首先证明首先证明对于任给节点对于任给节点 x0，x1，xn，均存在某，均存在某个次数为个次数为2n+2的多项式的多项式f(x),机械型求积公式机械型求积公式不能不能精精确成立，即其最高代数精度不能达到确成立，即其最高代数精度不能达到2n+2如取：证明证明则有：则有：设设求求积积节节点点 为为n+1次次正正交交多多项项式式n+1+1(x)的零点的零点现证充分性即现证充分性即求积公式是高斯型求积公式是高斯型证明证明现对于任意给定的次数不超过现对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式的多项式f(x),用用 除除 f(x)，记商为，记商为P(x)，余式为，余式为Q(x)，即即 2n+1n+1 nn由已知条件，由已知条件，(x)与与P(x)正交，故得正交，故得由于所给求积公式由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具是插值型的，它至少具有有n次代数精度，故对次代数精度，故对Q(x)能准确成立：能准确成立：再注意到再注意到(xk)=0，知，知Q(xk)=f(xk)，从而有，从而有综之得：综之得：这这说说明明公公式式对对一一切切次次数数不不超超过过2n+1的的多多项项式式准准确确成成立立，综综之之说说明明xk是是高斯点。

高斯点再证必要性，即再证必要性，即若是高斯求积公式若是高斯求积公式设设P(x)是任意次数不超过是任意次数不超过 n 的多项式，则的多项式，则P(x)(x)的次数不超过的次数不超过2n+1，因此应准确，因此应准确成立成立但但故故 .求积节点构造的求积节点构造的注：注：1、总可通过、总可通过施密特正交化施密特正交化求出求出a,b上与所有次数上与所有次数不超过不超过n的多项式都正交的多项式的多项式都正交的多项式n+1(x)2、命题：、命题：n次正交多项式次正交多项式 有有n个单零点个单零点解：解：设设P0(x)=C，1(x)=x x0由于即即展开，得展开，得则一个点的高斯公式为则一个点的高斯公式为中矩形公式中矩形公式例例.求求-1，1上与次数为上与次数为0的多项式正交的多项的多项式正交的多项式式1(x)=？二、高斯二、高斯勒让得公式勒让得公式若若a,b=-1,1，其上的高斯公式为，其上的高斯公式为称为称为高斯高斯-勒让得公式勒让得公式1，1上的正交多项式称为上的正交多项式称为勒让得多项式勒让得多项式，勒让得多项式勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点的零点就是高斯点几个几个Legandre 多项式：多项式：若取若取P1(x)=x 的零点的零点x0=0 作求积节点构造公式作求积节点构造公式：令它对令它对 f(x)=1准确成立，即可定出准确成立，即可定出A0=2.从而得到一点高斯公式：从而得到一点高斯公式：中矩形公式中矩形公式令它对令它对 f(x)=1,x 准确成立，即可定出准确成立，即可定出A0,A1可得两点高斯可得两点高斯勒让得公式为勒让得公式为若若取取 的的零零点点 作作求求积积节节点点构构造公式造公式 注：更高阶的公式见书注：更高阶的公式见书p122。

请思考请思考:高斯高斯勒让得公式的求积区间是勒让得公式的求积区间是-1，1，那么对，那么对于任意求积区间于任意求积区间a,b如何办？如何办？解解作变换作变换可以化到区间可以化到区间-1，1上，这时上，这时三、带权的高斯公式三、带权的高斯公式（更一般的表现形式）（更一般的表现形式）有时需要求如下带权的积分：有时需要求如下带权的积分：称上述称上述(x)0是权函数是权函数定义：定义：若求积公式若求积公式具具有有2n+1次次代代数数精精度度，则则称称这这类类公公式式为为带带权权的高斯公式的高斯公式.高斯点高斯点我们类似的可有：我们类似的可有：定理定理是高斯点的是高斯点的充要条件：充要条件：是区间是区间a,b上上带权带权(x)正交的多项式正交的多项式若若a,b=-1，1，权函数为，权函数为所建立的高斯公式所建立的高斯公式切比雪夫切比雪夫高斯公式高斯公式称为称为切比雪夫切比雪夫高斯公式高斯公式xk是切比雪夫多项式的零点是切比雪夫多项式的零点4.7.4 Gauss-Chebyshelv quadrature formulaRemark 1 three term recurrence formula v.s.Schmidt orthogonolization;Remark 2 Tn are perpendicular polynomials;At last,well state the error estimation of the Gauss-Chebyshelv formula without the proof:According to the error estimation of the Gauss-Type formula,we have:Consult the table in p122.构造高斯公式的一般方法：构造高斯公式的一般方法：1、构造正交多项式，继而求其零点，再按、构造正交多项式，继而求其零点，再按插值求积公式获得高斯公式；插值求积公式获得高斯公式；2、待定系数法、待定系数法此外，还可涉及到无穷区间上的广义积分等。

此外，还可涉及到无穷区间上的广义积分等例如：例如：-拉盖尔拉盖尔-高斯积分高斯积分举例举例要构造下列形式的高斯公式要构造下列形式的高斯公式解解则其代数精度应为则其代数精度应为即即求解求解?!定理（稳定性）定理（稳定性）高斯求积公式的求积系数Ak0.证明：事实上这表明高斯求积法是稳定的关于关于积分余项积分余项和和收敛性收敛性有：有：积分余项：积分余项：收敛性：收敛性：设设f(x)Ca,b,则有：则有：4.1 Numerical DifferentiationHowever,(i)There is no error estimation;(ii)Are there any other numerical methods for ND?How to construct them&what about error?To answer these questions,we observe first:Error BoundCalled forward difference¢ral difference formula.There are also backward difference formulas.Five-point formula below can be obtained similarly:It then be called compact form.For higher order derivatives,it can also be obtained by interpolation like to the 1st order derivative using more points.Alternately,we can obtain the formulas which are algebraically tedious by Taylors expansion such as:Cf.the results obtained by the two methods.Balance between round-off&truncated error4.2 Richardsons Extrapolation(1927)Richardsons Extrapolation is used to generate high-accuracy results while using low-accuracy formulas.Then combined with the formula of N2(h)to eliminate the h2 term,we obtain:Which posses higher order truncated error!The geometry explanation(For h0,the approximation should be accuracy):Related topic:steffensens acceleration for convergent linearly iterative sequence.Numerical Differentiation Revisit-Using Extrapolation MethodThe technique of Richardsons extrapolation is also used in approximating definite integrals and in determining approximate solution to differential equations in later Chapters.Summery:We have studied 3 ways to obtain numerical derivatives algorithms:(1)Lagrange Interpolating formula;(2)Taylor mean value Theorem;(3)Richardson extrapolation process.Homework(p184):5;15*作业：作业：P136P136习题习题 1111谢谢观看！谢谢观看！2020。