例谈等边三角形问题的证明.doc

例谈例谈等边三角形问题等边三角形问题的证明的证明河北河北 王福善王福善等边三角形是特殊的三角形，它三边相等、三个角均为，为我们提供了丰富的自60 然条件．在竞赛中，以等边三角形为题材的问题很多，在此列举几种证明方法． 一、旋转法一、旋转法 当题目出现有公共顶点的两个等边三角形时，我们常常从 旋转图形中得到解题的途径．例例 1 如图 1，已知是等边三角形，是延长ABC△EAC 线上一点，选择一点，使得是等边三角形，如果DCDE△ 是线段的中点，是线段的中点．MADNBE 求证：是等边三角形．CMN△ 分析：分析：把绕点逆时针旋转，便转到了CAD△C60 的位置，相应的中线转到了的位置，所以CBE△CMCN ，由于旋转了，所以与的夹角为，CMCN60CMCN60由此可知是等边三角形．CMN△ 简证简证：：易证，从而，于是可得ACDBCE CADCBE△≌△ ，再由分别是的中点，可得，CADCBEADBE ，MN，ADBE，AMBN所以，所以，同时减去，便得CAMCBN△≌△CMCNACMBCN ，BCM 到，所以是等边三角形．60MCNACB CMN△ 说明：说明：用旋转法分析的问题，一般在证明时用 SAS 证明．二、直角三角形法二、直角三角形法由于的余角是，所以问题中出现直角时，往往利用“在直角三角形中，6030 的角所对的直角边等于斜边的一半”来解决问题．30 例例 2 如图 2，中，， ABC△ABBCCAAECD，相交于，于．ADBE，PBQADQ求证：．2BPPQ分析：分析：由图形可知，欲证，只须证明2BPPQ，也就是，而30PBQ60BPQ，只要证明即可．可以利用 SAS 判断BPQABPBAP ABPCAD ．问题得证．ABECAD△≌△ 证明证明（略） 三、拼接法三、拼接法 在证明线段和差问题时，往往采用拼接的方法，利用等 边三角形的特点进行证明．例例 3 如图 3，是边长为 1 的等边三角形，ABC△ 是顶角的等腰三角形，以为顶点BDC△120BDCDABCDEMN图1图 2ACBDQE PEBCDMNA图 3做一个角，角的两边分别交于，交于，连接形成一个三角形．60ABMACNMN 求证：的周长等于 2．AMN△ 分析：分析：证明的周长等于 2，注意到的边长为 1，实际上所求证的问题AMN△ABC△是．为此，延长至，使，只须证明即可．为此MNBMCNACECEBMMNEN 我们要证，现在只有公共边，我们还应该再找到其他条件．我们从MDNEDN△≌△DN 题目条件中很容易发现，再结合等边三角形的每个内角都是，30DBCDCB 60便可得到，而，所以，90ABDACD DBDCCEBM，DMBDEC△≌△ 所以，由于，所以DMDEBDMCDE ，60MDN 于是，即．所以60BDMCDN60CDECDN60EDN ，因此，从而．MDNEDNDMDE ，MDNEDN△≌△MNEN 证明证明（略）。