二阶线性微分方程.pdf

1/15Peking University Press机动目录上页下页返回结束第三节第三节 二阶线性微分方程基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化2/15Peking University Press一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程:xrey 和它的导数只差常数因子,代入①得0)(2xre qprr 02qrpr称②为微分方程①的特征方程特征方程,1. 当042 qp时, ②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为xrxreCeCy2121( r为待定常数 ),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根特征根.机动目录上页下页返回结束3/15Peking University Press2. 当当042 qp时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:[1xre)(1urup0uq)2(2 11ururu 是特征方程的重根 0  u取 u = x , 则得,12xrexy 因此原方程的通解为 xrexCCy1)(210)()2(12 11 uqrprupru机动目录上页下页返回结束4/15Peking University Press3. 当当042 qp时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:xiey)( 1xiey)( 2因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx机动目录上页下页返回结束5/15Peking University Press小结: ),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy21 21实根xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动目录上页下页返回结束6/15Peking University Press若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项)(01) 1( 1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 011 1 nnnnararar推广:机动目录上页下页返回结束7/15Peking University Press例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322 rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为例例2. 求解初值问题0dd2dd 22 sts ts,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21 利用初始条件得, 41C 于是所求初值问题的解为22C机动目录上页下页返回结束8/15Peking University Press例2.的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根: irrr21, 04,321因此原方程通解为 xCCy21)2sin2cos(43xCxCex推广目录上页下页返回结束9/15Peking University Press内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1) 当时, 通解为xrxreCeCy21 2121rr (2) 当时, 通解为xrexCCy1)(2121rr (3) 当时, 通解为)sincos(21xCxCeyxir2 , 1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .机动目录上页下页返回结束10/15Peking University Press)(xfyqypy ),(为常数qp二、二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .①— 待定系数法待定系数法机动目录上页下页返回结束11/15Peking University Press)([xQex )()2(xQp])()(2xQqp)(xPemx一、型)()(xPexfmx 为实数 ,)(xPm 设特解为, )(*xQeyx其中为待定多项式 , )(xQ] )()([*xQxQeyx] )()(2)([*2xQxQxQeyx  代入原方程 , 得(1) 若  不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为. )(*xQeymx为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束12/15Peking University Press(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若  是特征方程的重根 , ,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为x mexQxy)(*2小结小结对方程①,)2, 1, 0()(*kexQxyx mk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动目录上页下页返回结束13/15Peking University Press例1.的一个特解. 解解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得31,110bb于是所求特解为0,0机动目录上页下页返回结束14/15Peking University Press例2.的通解.解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为xebxbxy2 10)(*比较系数, 得1,21 10bb因此特解为.)1(*2 21xexxy代入方程得xbbxb01022所求通解为.)(22 21xexx ,2机动目录上页下页返回结束15/15Peking University Press作业P237 5 （2）（4）（12）（14）。