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方差分析公式(-06-26 11:03:09) 转载▼标签： 杂谈分类： 记录措施 方差分析方差分析（analysis of variance，简写为ANOV或ANOVA）可用于两个或两个以上样本均数的比较应用时规定各样本是互相独立的随机样本；各样本来自正态分布总体且各总体方差相等方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把所有观测值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析常用的设计有完全随机设计和随机区组设计的多种样本均数的比较一、完全随机设计的多种样本均数的比较又称单因素方差分析把总变异分解为组间（解决间）变异和组内变异（误差）两部分目的是推断k个样本所分别代表的μ1，μ2，……μk与否相等，以便比较多种解决的差别有无记录学意义其计算公式见表19-6.表19-6 完全随机设计的多种样本均数比较的方差分析公式变异来源　离均差平方和SS　自由度v　均方MS　F　总　ΣX2-C*　N-1　　　　　组间（解决组间）　　　　k-1　SS组间/v组间　MS组间/MS组间　组内（误差）　SS总-SS组间　N-k　SS组内/v组内　*C=（ΣX）2/N=Σni，k为解决组数表19-7 F值、P值与记录结论α　F值　P值　记录结论　0.05　＜F0.05（v1.V2）　＞0.05　不回绝H0，差别无记录学意义　0.05　≥F0.05（v1.V2）　≤0.05　回绝H0，接受H1，差别有记录学意义　0.01　≥F0.01（v1.V2）　≤0.01　回绝H0，接受H1，差别有高度记录学意义　方差分析计算的记录量为F，按表19-7所示关系作判断。

例19.9 某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有无差别？表19-8 某湖水不同季节氯化物含量（mg/L）　 Xij　春　夏　秋　冬　22.6　19.1　18.9　19.0　22.8　22.8　13.6　16.9　21.0　24.5　17.2　17.6　16.9　18.0　15.1　14.8　20.0　15.2　16.6　13.1　21.9　18.4　14.2　16.9　21.5　20.1　16.7　16.2　21.2　21.2　19.6　14.8　ΣXij j　167.9　159.3　131.9　129.3　588.4（ΣX）　ni　8　8　8　8　32（N）　Xi　20.99　19.91　16.49　16.16　　　ΣX2ijj 　　　 3548.51　　 3231.95　　 2206.27　　 2114.11　11100.84（ΣX2）　H0：湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3=μ4H1：四个总体均数不等或不全相等α=0.05先作表19-8下半部分的基本计算C= （Σx）2/N=（588.4）2/32=10819.205SS总=Σx2-C=11100.84-10819.205=281.635V总=N-1=31V组间=k-1=4-1=3SS组内=SS总-SS组间=281.635-141.107=140.465V组内=N-k=32-4=28MS组间=SS组间/v组间=141.107/3=47.057MS组内=SS组内/v组内=140.465/28=5.017F=MS组间/MS组内=47.057/5.017=9.380以v1（即组间自由度）=3，v2（即组内自由度）=28查附表19-2，F界值表，得F0.05（3，28）=2.95，F0.01（3，28）=4.57.本例算得的F=9.380＞F0.01（3，28），P＜0.01，按α=0.05检查水准回绝H0，接受H1，可觉得湖水不同季节的氯化物含量不等或不全相等。

必要时可进一步和两两比较的q检查，以拟定与否任两总体均数间不等资料分析时，常把上述计算成果列入方差分析表内，如表19-9.表19-9 例19.9资料的方差分析表变异来源　SS　v　MS　F　P　组间　141.170　3　47.057　9.38　＜0.01　组内　140.465　28　5.017　　　　　总　281.635　31　　　　　　　二、随机区组（配伍组）设计的多种样本均数比较又称两因素方差分析把总变异分解为解决间变异、区组间变异及误差三部分除推断k个样本所代表的总体均数，μ1，μ2，……μk与否相等外，还要推断b个区组所代表的总体均数与否相等也就是说，除比较多种解决的差别有无记录学意义外，还要比较区组间的差别有无记录学意义该设计考虑了个体变异对解决的影响，故可提高检查效率表19-10随机区组设计的多种样本均数比较的方差分析公式变异来源　离均差平方和SS　自由度v　均方MS　F　总　ΣX2-C　N-1　　　　　解决间　　k-1　SS解决/v解决　MS解决/MS误差　区组间　　b-1　SS区组/v区组　MS区组MS误差　误差　SS总-SS解决-SS区组　V总-v解决-v区组　SS误差/v误差　　　C、k、N的意义同表19-6，b为区组数例19.10为研究酵解作用对血糖浓度的影响，从8名健康人中抽血并制成血滤液。

每个受试者的血滤液被提成4份，再随机地把4份血滤液分别放置0，45，90，135分钟，测定其血溏浓度（表19-11），试问放置不同步间的血糖浓度有无差别？解决间：H0：四个不同步间血糖浓度的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3=μ4表19-11 血滤放置不同步间的血糖浓度（mmol/L）　 区组号　放置时间（分）　受试者小计 ΣXijj　0　45　90　135　1　5.27　5.27　4.94　4.61　20.09　2　5.27　5.22　4.88　4.66　20.03　3　5.88　5.83　5.38　5.00　22.09　4　5.44　5.38　5.27　5.00　21.09　5　5.66　5.44　5.38　4.88　21.36　6　6.22　6.22　5.61　5.22　23.27　7　5.83　5.72　5.38　4.88　21.81　8　5.27　5.11　5.00　4.44　19.82　ΣXij j　44.84　44.19　41.84　38.69　169.56（ΣX）　Ni　8　8　8　8　32（N）　Xi　5.6050　5.5238　5.2300　4.8363　　　ΣX2ij j　252.1996　245.0671　219.2962　187.5585　904.1214（ΣX2）　H1：四个总体均数不等或不全相等α=0.05区组间：H0：八个区组的总体均数相等，即μ1=μ2=……μ8H1：八个区组的总体均数不等或不全相等α=0.05先作表19-11下半部分和右侧一栏的基本计算。

C=（ΣX）2/N=（169.56）2/32=898.45605SS总=ΣX2-C=904.1214-898.45605=5.66535V总=N-1=32-1=31V解决=k-1=4-1=3V区组=b-1=8-1=7SS误差=SS总-SS解决-SS区组=5.66535-2.90438-2.49800=0.26297V误差=（k-1）（b-1）=3×7=21MS解决=SS解决/v解决=2.90438/3=0.9681MS区组=SS区组/v区组=2.49800/7=0.3569MS误差=SS误差/v误差=0.26297/21=0.0125F解决=MS解决/MS误差=0.9681/0.0125=77.448F区组=MS区组/MS误差=0.3569/0.0125=28.552推断解决间的差别，按v1=3，v2=21查F界值表，得F0.005（3，21）=3.07，F0.01（3，21）=4.87，P＜0.01；推断区组间的差别，按v1=7，v2=21查F界值表，得F0.05（7，21）=2.49，F0.01（7，21）=3.64，P＜0.01.按α=0.05检查水准皆回绝H0，接受H1，可觉得放置时间长短会影响血糖浓度且不同受试者的血糖浓度亦有差别。

但尚不能觉得任两个不同放置时间的血糖浓度总体均数皆有差别，必要时可进一步作两两比较的q检查表19-12 例19.10资料的方差分析表变异来源　SS　v　MS　F　P　解决间　2.90438　3　0.9681　77.448　＜0.01　区组间　2.49800　7　0.3569　28.552　＜0.01　误差　0.26297　21　0.0125　　　　　总　5.66538　31　　　　　　　三、多种样本均数间的两两比较的q检查经方差分析后，若按α=0.05检查水准不回绝H0，一般就不再作进一步分析；若按α=0.05甚至α=0.01检查水准回绝H0，且需理解任两个总体均数间与否都存在差别，可进一步作多种样本均数间的两两比较两两比较的措施较多，在此仅简介较常用的q检查（Newman-Keuls法）（各组ni相等）公式（19.14）（各组ni不等）公式（19.15）式中，xA-xB为两两对比中，任两个对比组A、B的样本均数之差；sxA-xB为两样本均数差的原则误；ni为各解决组的样本含量；nA，nB分别为A、B两对比组的样本含量；MS误差为单因素方差分析中的组内均方（MS组内）或两因素方差分析中的误差均方（MS误差）。

计算的记录量为q，按表19-13所示关系作判断例19.11 对例19.9资料作两两比较H0：任两个季节的湖水氯化物含量的总体均数相等，即μA=μBH1：任两总体均数不等，即μA≠μB表19-13 |q| 值、P值与记录结论α　　|q|　P值　记录结论　0.05　＜q0.05（v.a）　＞0.05　不回绝H0，差别无记录学意义　0.05　≥q0.05（v.a）　≤0.05　回绝H0接受H1，差别有记录学意义　0.01　≥q0.01（v.a）　≤0.01　回绝H0，接受H1，差别有高度记录学意义　α= 0.051.将四个样本的均数由大到小排列编秩，注明解决组xi　167.9　159.3　131.9　129.3　解决组　春　夏　秋　冬　秩次　1　2　3　4　2.计算 sxA-xB本例各解决组的样本含量n1相等，按式（19，14）计算两均数差的原则误已知MS组内=5.017，n=83.列两两比较的q检查计算表（表19-14）表19-14 两两比较的q检查计算表A与B （。