初中数学中最短路线的解法举隅.docx

    初中数学中最短路线的解法举隅    黄明梧在初中数学中,有一类问题是求按满足某些特定条件连结,使所连结的线段的长度之和最小,称之为最短路线.我们知道,连结两点之间所有的线中,线段最短.本文通过一些例子,介绍一些求最短路线问题的方法.一、利用轴对称的性质【例1】 如图1,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向两镇A,B供气.泵站修在管道的什么地方,可以使所用的输气管线最短?已知:直线l和l的同侧两点〢﹑B.求作:直线l上一点C,且使AC+BC最小.作法:1.作A关于直线l的对称点A′;2.连结A′B交直线l于点C.点C就是所求的点.证明:略.【例2】 如图2,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线.已知:如图2,直线MN、NP及点A、B.求作:点C在直线MN上,点D在直线NP上,使AC+CD+DB最小.作法:1.作A关于直线MN的对称点A′,B关于直线NP的对称点B′;2.连结A′B′交直线MN于点C,交直线NP于点D.点C,D就是所求的点;3.连结AC,DB.折线ACDB为牧马人这一天的最短路线.证明:略.二、利用平移变换的性质【例3】 如图3,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥CD.桥造在何处才能使从A到B的路径ACDB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)已知:如图3,直线a∥b,点A,B分别在直线a,b外侧.求作:点C在直线a上,点D在直线b上,并且CD⊥a,使AC+CD+DB最小.作法:1.在直线a上任取点C′作C′D′⊥a,交直线b于D′;2.平移C′D′到AA′;3.连结A′B交直线b于点D;4.过点D作CD⊥a,垂足为C;5.连结AC.点C,D就是所求的点.CD为建桥位置.证明:略.三、利用旋转变换的性质【例4】 如图4,已知:△ABC.求作:点P,使点P在△ABC内,且点P到△ABC三个顶点的距离之和最小.作法:1.把AB绕点B逆时针方向旋转60°到BM,把AC绕点C顺时针方向旋转60°到CN;2.连结BN,CM交于点P.点P就是所求的点.证明:设点Q是△ABC内异于点P的任意一点,连结AQ,BQ,CQ,把△ABQ绕点B逆时针方向旋转60°到△MBQ1,由旋转变换的性质知:Q1M=QA,Q1B=QB,∠Q1BQ=60°∴△Q1BQ是等边三角形.∴1=BQ.∴AQ+BQ+CQ=MQ1+1+QC,连结AM,AN则∵AB=MB,∠ABM=60°;AC=AN,∠ACN=60°,∴△ABM,△CAN均为等边三角形.∴AM=AB,∠BAM=60°,AN=AC,∠CAN=60°,∴△ABN是由△AMC绕A顺时针方向旋转60°而得.∴∠MPB=60°.连结AQ,在PM上截取PP1=BP,则△PP1B是等边三角形.∴BP=BP1,∠P1BP=60°,∵AB=MB,∠ABM=60°,∴△MBP1是由△ABP绕B顺时针方向旋转60°而得.∴MP1=AP.∴PA+PB+PC=MP1+P1P+PC=MC.∵MC