从综合几何到几何代数化的数学思想方法.docx

从综合几何到几何代数化的数学思想方法一、几何代数化思想的由来数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的，数学思想方法的各种变革也是通过这两个概念进行的 在数学的萌芽时期， 数和形的研究并不是互相割裂的， 长度、 面积和体积的量度把数和形紧密地联系起来可是，在尔后的数学发展中，数和形的联系却长期没能得到进一步的深化这突出表现在几何和代数的不协调性发展上我们知道，几何学作为一门独立的数学学科，最先是在古希腊学者手中形成的，欧几里得《几何原本》的问世就是重要的标志那时， 代数尚处于潜科学阶段， 尚未形成严谨的逻辑体系， 只是以零散、片断的知识形态存在着因此，从公元前 3 世纪到 14 世纪，几何学在数学中占据着主导地位， 而代数则处于从属的地位 由于几何学有着严谨的推理方法和直观的图形， 可以把种种空间性质、 图形关系问题的探讨，归结成一系列基本概念和基本命题来推演、论证，所以数学家们大都喜欢运用几何思维方式来处理数学问题， 甚至把代数看成是与几何不相干的学科这种人为的割裂，不仅延误了代数的发展，也影响了几何学的进步随着数学研究范围的扩大，用几何方法来解决数学问题越来越困难，因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、论证的步骤又显得相当繁难，缺乏一般性方法。

正当几何学难于深入进展时，代数学日趋成熟起来尤其是在 16 世纪代数学得到突破性进展， 不仅形成了一整套简明的字母符号， 而且成功地解决了二次、三次、 四次方程的求根问题这就使代数学在数学中的地 位逐渐得到上升，于是综合几何思维占统治地位的局面开始被打破历史上最先明确认识到代数力量的是16 世纪法国数学家韦达他尝试用代数方法来解决几何作图问题， 并隐约出现了用方程表示曲线的思想 他指出， 几何作图中线段的加减乘除可以通过代数的术语表出， 所以它们实质上属于代数的运算 随着代数方法向几何学的渗透， 代数方法的普遍性优点日益表露出来， 于是用代数方法来改造传统的综合几何思维，把代数和几何有机结合起来，互相取长补短，便成为十分必要的了实现代数与几何有机结合的关键， 在于空间几何结构的数量化，即把形与数统一起来 这一项工作是由法国数学家笛卡儿完成的 笛卡儿继承和发展了韦达等人的先进数学思想， 他充分看到代数思想的灵活性和方法的普遍性， 为寻求一种能够把代数全面应用到几何中去的新方法思考了二十多年 1619年，他悟出建立新方法的关键，在于借助坐标系建立起平面上的点和数对之间的对应关系， 由此可用方程来表示曲线。

1637年，他的《几何学》作为《方法论》一书的附录出版，在这个附录中，他明确提出了坐标几何的思想，并用于解决许多几何问题此书的问世，标志着解析几何的诞生与笛卡儿同一时代、 同一国度的另一位数学家费尔马， 也几乎同时独立地发现了解析几何的基本原理他的思想集中体现在他的《轨迹引论》一书中解析几何的出现开创了几何代数化的新时代，它借助坐标实现了空间几何结构的数量化，由此把形与数、几何与代数统一了起来而坐标本身就是几何代数化的产物， 是点与数的统一体， 它既是点的位置的数量关系表现， 又是数量关系的几何直观， 因此它具有形与数的二重性 有了坐标概念， 就可以把空间形式的研究转化为数量关系的研究了例如，求两点间的距离，如果两点的坐标（x1 ， y1） 和 （x2 ， y2）何学上两点之间的测量问题就转化成代数学上求一个代数式的值的问题再如， 求两条曲线的交点， 这是几何学中比较困难的一个问题，如果两条曲线的方程给定， 那么通过解联立方程组就可求出交点的位置，因为方程组的解恰是二条曲线交点的坐标随着解析几何的发展，几何代数的内容和方法不断得到丰富1704年，牛顿运用坐标方法研究了三次曲线， 1748年，欧拉在《分析引论》一书中全面而系统地论述了平面解析几何的理论;1788 年，拉格朗日又把力、 速度和加速度给予了算术化， 由此开创了解析几何中的向量理论研究方向。

与此同时，坐标概念本身也在不断地丰富，除直角坐标系外，又相继产生了斜坐标、极坐标、柱坐标和球坐标坐标系也从二维扩展到三维以及多维和无穷维， 从而又出现了多维解析几何和无穷维解析几何 由此又导致了代数几何和泛函分析的产生二、几何代数化的意义几何代数化对于数学的发展有着重要的意义，这里仅就几个方面加以分析几何代数化不仅为几何学提供了新方法，使许多难以解决的几何问题变得简单易解， 更重要的是为几何学发展注入了新的活力， 增添了崭新的内容首先， 传统几何学的逻辑基础主要是推理， 基本上是定性研究，如直线的平行性、曲线的相交、图形的全等等几何代数化的出现，使得图形性质的研究变成方程的讨论和求解， 而方程的研究又主要是数量上的分析，这就把几何学从定性研究阶段推到定量分析阶段其次，在传统几何学中，空间概念是在人们的社会实践活动中逐渐抽象和确立起来， 这种空间概念具有明显的直观性和经验性， 如一维的直线、二维的平面和三维的立体几何代数化的出现，使得空间的几何结构实现了数量化， 而数量化了的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维，它可以是n 维以至无穷维的，这就把几何学的空间概念从低维扩张到了高维，即把几何学研究的内容从现实空间图形的性质扩展到抽象空间图形的性质。

第三，传统几何学主要研究固定不变的图形，如各种各样的直线形和曲线形， 这些图形虽然可以移动和相互变换， 但图形本身的结构却是“死”的，即传统几何学是一种静态几何学几何代数化的出现， 使得曲线变成了具有某种特定性质的点的轨迹， 即可把曲线看作是由“点”通过运动而生成的，这就使人们对形的认识由静态发展到了动态几何代数化不仅直接影响和改造了传统的几何学，扩大了几何学的研究对象， 丰富和发展了几何学的思想方法， 而且也使代数学获 得了新的生命力首先，几何学的概念和术语进入代数学，使许多代数课题具有了直观性我们知道，和几何学相比，代数学具有更高的抽象性，许多抽象的代数式和方程使人难以把握它们的现实意义 几何代数化的出现， 为抽象的代数式和方程提供了形象而直观的模型 如可把方程的解看作是曲线的交点的坐标， 可把二次方程根与系数关系的研究转化为考察和分析圆锥曲线与坐标轴的相对位置其次，几何学思想方法向代数学的移植和渗透，开拓了代数学新的研究领域如以线性方程（一次方程）为主要对象的线性代数，就是性空间概念的基础上构造起来的， 这里的 “线性” 、 “空间”等概念并不是代数学本身所固有的，而是从几何学中借用的。

3. 为微积分的创立准备了必要条件几何代数化思想形成的标志是解析几何的创立，笛卡儿在创立解析几何过程中， 不仅提出了代数与几何相结合的思想， 而且把变数引进了数学变数的引进， 对于数学的发展有着极为重要的意义，特别是为微积分的创立准备了重要工具， 加速了微积分形成的历史进程从这种意义上看， 可把解析几何的产生看作是微积分创立的前奏 对此，恩格斯曾高度评价： “数学中的转折点是笛卡儿的变数有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”4. 为数学的机械化证明提供了重要启示定理的机械化证明，是现代数学新兴的一个研究领域，从机械化算法上看， 它的方法论基础是利用代数方法把推理程序机械化 因此， 定理机械化证明的思想渊源可追溯到几何的代数化 关于这一点，我们在 6 中还要详细介绍此外，几何代数化的思想还给数学研究从方法论上提供了许多重要启示 如数学家们把点与数对、 曲线与方程相对应的思想加以发展，提出了函数与点、函数集与空间相对应的思想，在此基础上进而创立了泛函分析这一新的理论数学思想方法的重大突破从常量数学到变量数学文章摘要： 17 世纪对于数学发展具有重大意义的事件，除了解析几何开辟了几何代数化这一新的方向外， 还有微积分的创立使常量数学过渡到变量数学。

从常量数学到变量数学， 是数学思想方法的又一次重大突破编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点17 世纪对于数学发展具有重大意义的事件，除了解析几何开辟了几何代数化这一新的方向外， 还有微积分的创立使常量数学过渡到变量数学 从常量数学到变量数学， 是数学思想方法的又一次重大突破变量数学产生的历史背景变量数学是相对常量数学而言的数学领域常量数学的对象主要是固定不变的图形和数量，它包括算术、初等代数、初等几何和三角等分支学科常量数学是描述静态事物的有力工具，可是，对于描述事物的运动和变化却是无能为力的 因此， 从常量数学发展到变量数学，就成为历史的必然了变量数学之所以产生于 17 世纪，是有其特定的历史背景的从自然科学的发展来看， 变量数学是在回答16、 17 世纪自然科学提出的大量数学问题过程中，酝酿和创立起来的我们知道，随着欧洲封建社会的解体和资本主义工厂手工业向机器大生产的过渡， 自然科学开始从神学的桎梏下解放出来，大踏步地前进这时，社会生产和自然科学向数学提出了一系列与运动变化有关的新问题。

这些新问题，大体可以分为以下五种类型第一类问题是描述非匀速运动物体的轨迹如行星绕日运动的轨迹、各种抛射物体的运动轨迹第二类问题是求变速运动物体的速度、加速度和路程如已知变速运动物体在某段时间内经过的路程， 求物体在任意时刻的速度和加速度，或反过来由速度求路程第三类问题是求曲线在任一点的切线如光线在曲面上的反射角问题，运动物体在其轨迹上任一点的运动方向问题第四类问题是求变量的极值 如斜抛物体的最大水平距离问题，行星绕日运动的近日点和远日点问题第五类问题是计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心以及大质量物体之间的引力等上述各类问题尽管内容和提法不同，但从思想方法上看，它们有一个共同的特征，就是要求研究变量及其相互关系这是16、 17世纪数学研究的中心课题， 正是对这个中心课题的深入研究， 最终导致了变量数学的产生从数学的发展来看， 变量数学的基础理论-微积分， 早在微积分诞生之前的二千多年，就已经有了它的思想萌芽公元前 5 世纪，希腊学者德漠克利特为解决不可公度问题，创立起数学的原子论它的基本思想是：直线可分为若干小线段，小线段又可再分更小的线段， 直至成为点而不可再分， 故称点为直线的数学原子即不可分量。

平面图形同样可以如此分下去， 使得线段成为平面图形的数学原子 利用数学原子概念， 德漠克利特求得锥体的体积等于等底等高圆柱的 1/3.公元前 4 世纪，希腊学者欧道克斯在前人工作的基础上，创立了求曲边形面积和曲面体体积的一般方法- 穷竭法运用此法，他成功地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”和“球体积与其直径的立方成比例”等命题微积分的早期先驱者主要是阿基米德， 他继承和发展了穷竭法，并应用这一方法解决了诸如抛物线弓形等许多复杂的曲边形面积 继阿基米德之后， 微积分的思想方法逐渐成熟起来， 其中作出重大贡献的有开普勒、伽利略、卡瓦列利、华利斯、笛卡儿、费尔马和巴罗等人巴罗甚至接触到了微积分的基本原理-微。