四川省成都市新都一中数学选修2-2同步测试：第三章 第3课时 复数代数形式的乘除运算 .pdf

第 3 课时 复数代数形式的乘除运算 基础达标(水平一) 1.已知a为正实数,i 为虚数单位,=2,则a=( ). | 𝑎 + 𝑖 𝑖 | A.2B.C.D.1 32 【解析】∵=(a+i)(-i)=1-ai,∴=|1-ai|==2, 𝑎 + 𝑖 𝑖 | 𝑎 + 𝑖 𝑖 | 1 + 𝑎2 解得a=或a=-(舍去). 33 【答案】B 2.复数z=对应的点在复平面的第( )象限. (1 + 2𝑖)2 1 ‒ 𝑖 A.一 B.二 C.三 D.四 【解析】z=====- +i,故z对应的点在复平面的第二象限. (1 + 2𝑖)2 1 ‒ 𝑖 ‒ 3 + 4𝑖 1 ‒ 𝑖 ( ‒ 3 + 4𝑖)(1 + 𝑖) (1 ‒ 𝑖)(1 + 𝑖) ‒ 7 + 𝑖 2 7 2 1 2 【答案】B 3.设复数z满足=i,则|z+1|=( ). 1 ‒ 𝑧 1 + 𝑧 A.0B.1C.D.2 2 【解析】∵=i,∴z=,∴z+1=+1==1-i,∴|z+1|=. 1 ‒ 𝑧 1 + 𝑧 1 ‒ 𝑖 1 + 𝑖 1 ‒ 𝑖 1 + 𝑖 2 1 + 𝑖2 【答案】C 4.设z1,z2∈C,则“z1,z2中至少有一个数是虚数”是“z1-z2是虚数”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】当z1,z2中至少有一个数是虚数时,z1-z2不一定是虚数,如z1=z2=i.若z1,z2都是实数,则z1-z2一 定不是虚数,因此当z1-z2是虚数时,“z1,z2中至少有一个数是虚数”成立.故为必要不充分条件. 【答案】B 5.若=1-bi,其中a,b都是实数,i 是虚数单位,则|a+bi|= . 𝑎 1 ‒ 𝑖 【解析】∵a,b∈R,且=1-bi,则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,∴∴ 𝑎 1 ‒ 𝑖 {𝑎 = 1 ‒ 𝑏, 0 = 1 + 𝑏,? { 𝑎 = 2, 𝑏 = ‒ 1. ? ∴|a+bi|=|2-i|==. 22+ ( ‒ 1)25 【答案】 5 6.设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为A,B,点A与点B关于x轴对称,若z1(1-i)=3-i,则|z2|= . 【解析】∵z1(1-i)=3-i,∴z1===2+i. 3 ‒ 𝑖 1 ‒ 𝑖 (3 ‒ 𝑖)(1 + 𝑖) (1 ‒ 𝑖)(1 + 𝑖) ∵A与B关于x轴对称,∴z1与z2互为共轭复数, ∴z2==2-i,∴|z2|=. 𝑧1 5 【答案】 5 7.已知 1+i 是方程x2+bx+c=0 的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; (2)试说明 1-i 也是方程的一个根. 【解析】(1)∵1+i 是方程x2+bx+c=0 的根, ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0. ∴得 {𝑏 + 𝑐 = 0, 2 + 𝑏 = 0,? { 𝑏 = ‒ 2, 𝑐 = 2. ? ∴b的值为-2,c的值为 2. (2)方程为x2-2x+2=0. 把 1-i 代入方程左边,得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴1-i 也是方程的一个根. 拓展提升(水平二) 8.若x=,则=( ). 1 ‒3𝑖 2 1 𝑥2‒ 𝑥 A.-2B.-1 C.1+iD.1 3 【解析】∵x2-x=x(x-1)=·=·=-(1-i)(1+i)=-1,∴=-1,故选 B. 1 ‒3𝑖 2 ( 1 ‒3𝑖 2 ‒ 1) 1 ‒3𝑖 2 ‒ 1 ‒3𝑖 2 1 433 1 𝑥2‒ 𝑥 【答案】B 9.设z= +i(i 是虚数单位),则z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6=( ). 1 2 3 2 A.6zB.6z2 C.6D.-6z ‒ 𝑧 【解析】∵z2=- +i,z3=-1,z4=- -i,z5= -i,z6=1, 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 ∴原式=+(-1+i)+(-3)+(-2-2i)++6=3-3i =6=6. ( 1 2 + 3 2 𝑖) 33 ( 5 2 ‒ 5 3 2 𝑖) 3 ( 1 2 ‒ 3 2 𝑖) ‒ 𝑧 【答案】C 10.设x,y为实数,且+=,则x+y= . 𝑥 1 ‒ 𝑖 𝑦 1 ‒ 2𝑖 5 1 ‒ 3𝑖 【解析】+=可化为+=, 𝑥 1 ‒ 𝑖 𝑦 1 ‒ 2𝑖 5 1 ‒ 3𝑖 𝑥(1 + 𝑖) 2 𝑦(1 + 2𝑖) 5 5(1 + 3𝑖) 10 即+i= +i, ( 𝑥 2 + 𝑦 5) ( 𝑥 2 + 2 5𝑦) 1 2 3 2 由复数相等的定义知解得 { 𝑥 2 + 𝑦 5 = 1 2, 𝑥 2 + 2 5𝑦 = 3 2, ? {𝑥 = ‒ 1, 𝑦 = 5, ? 则x+y=4. 【答案】4 11.设z∈C,满足z+∈R,且z-是纯虚数,求z. 1 𝑧 1 4 【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则z+ =x+yi+=x++i. 1 𝑧 1 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑥 𝑥2+ 𝑦2 (𝑦 ‒ 𝑦 𝑥2+ 𝑦2) ∵z+∈R,∴y-=0,解得y=0 或x2+y2=1. 1 𝑧 𝑦 𝑥2+ 𝑦2 又∵z- =x+yi- =+yi 是纯虚数, 1 4 1 4 (𝑥 ‒ 1 4) ∴∴x=, { 𝑥 ‒ 1 4 = 0, 𝑦 ≠ 0, ? 1 4 代入x2+y2=1 中,解得y=±, 15 4 ∴复数z= ±i. 1 4 15 4 。