第二章光的衍射.doc

第二章光的衍射1单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第k个波带的 半径若极点到观察点的距离ro为1m单色光波长为450nm求此时第一 半波带的半径解：当用平面光照射圆孔时，第k个波 带的半径，由：k =虫(1 1)平行光Rh九r R解出为：Rk = . kro1当：ro=1m 入=450nm k=1 时,第一半波带的半径：r1 二叩 1 450 10 ^=0.67 10'm =0.67 mm2平行单色光从左向右垂直照射到一个有圆形小孔的屏上， 设此孔可以像照相机的光圈那样改变大小，问：(1)小孔半径应满足什么条件，才能使 得小孔右侧轴线上距小孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；(2) P点最亮时，小孔直径应为多大？设光的波长为 500nm解：用平行单色光垂直照射小圆孔，所露出的半波带的数目：k =R；/r0九，已知：r 0=4m 入=500nm圆孔的半径为：Rk =,、.『kr0，=0.141(1) 当k为奇数时，P点的光强为最大值；当k为偶数时，P点的光强为最小值；(2) 若使P点最亮，圆孔应只露出1个半波带，即k=1，将：k=1 代入：R k = 0.141 .. k得到小孔直径： d = 0 .282 mm3波长为500nm的单色点光源离光阑1m光阑上有一个内外半径分别为 0.5mm和1mm的透光圆环，接受点P离光阑1m求P点光强度I与没有光 阑时的光强度I0的比值。

k2解：已知：r o=1m R=1m 入=500nm半径为R=0.5mm的圆屏所能遮住的半波带数ki： k£”）=i& R ro半径为R=1mm勺圆孔能露出的半波带数k2：也即通光圆环只露出第2、3、4个波带，P点接受到的光振幅为:1 1A = a2 - a3 亠 a4 a2 a4 : ai2 2光强度为：luaf没有光阑时，P点的光强度：lo=ai2/4 得到：I : 1 4 : 14波长为632.8nm的平行光照射直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放 一屏，试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？ （ 2）要使 P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少？解：已知：ro=1m R=2.76m、入=632.8nm、R=^（1）根据:“虫（右丄）R r0解出正对圆孔中心的P接受到的半波带数为：k=3因P点接受到奇数个半波带，则 P点应为亮点2）若使P点变成与（1）相反的情况，贝U k要取为偶数，即：k=2或4当k=4时，r0Rk2=750 mm屏幕至少要向前移动： △ r0 =1m-0.75m=0.25m* R 2当 k=2 时，r0 - = 1505 mmk人5 —波带片由五个半波带组成，第一波带为半径ri的不透明圆盘，第二波 带是r 1到「2的透明圆环，第三波带是「2到「3的不透明圆环，第四波带是 r3到「4的透明圆环，第五波带是「4至无穷大的不透明区域。

已知：r仁「2： 「3：「4=1： 2： 3： 4,用波长500nm的单色平行光照射，最亮的象点在距波 带片1m的轴上，试求：（1）「1；（2）象点的光强；（3）光强极大值出现 在轴上那些位置？解：因用平行单色光照射衍射屏，则半波带的计算2公式为：k =丄已知：「1:「2： r 3： 「4=1: 2 :3:,4第一波带遮住的波带数：k 12「1■「0第二波带露出的波带数：k 2 2「2二 2「12■ ' 「0丸「第三波带遮住的波带数：k 32「33「/■「0X「0第四波带露出的波带数：k 4 2「44「12■「0九「0波带片遮住和露出波带数之比:k1 ： k2 ： k3 ： k4 =1： 2 : 3 : 4&「0若使轴上距波带片1m的象点最亮，应取：昭=1、k2=2、k3=3、k4=4，（1） 将「o=1m 入=500nm k=1 代入：「1=Jk1h「0解出： 几工0.07 cm（2） 从：k1 ： k2 ： k3 ： k4 =1:2: 3:4看出，最亮的象点接受到第二、第四两个半波带，则光强度为：I =（a2 • a4）2 =4a； =16 10 （I 0为光自由传播时的强度3）其他光强最大值的点出现在：1/3、1/5、1/7、…等位置。

6波长为入的点光源经波带片成一个象点， 该波带片有100个透明奇数半 波带（1、3、5、…、199），另外是100个不透明偶数半波带比较用波 带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该象点的强度比 I : I解：用波带片时，象点接受到（1、3、5、…、199）共100个半波带光强度为：I = (a1 a3 a5 … a199)2 =10000 a：用透镜时，因物点到象点的光程相等，象点接受到 200个半波带,则光强度为：l0 =(a： • a2 a3 - ... - a200)2 = 40000a：两种情况下的光强之比为：I : l0 =1 : 47平面光的波长为480nm垂直照射宽度为0.4mm的狭缝上，会聚透镜的 焦距为60cm分别计算当缝的两边P点的位相差为n /2和n /6时，P点 离焦点的距离解：缝两边的光传播到P点的光程差:.■: = d sin 二相位差：.「：二生d sin二从图中：sin 0 tg 0 =y/f ' 得至U：已知：入=480cm d=0.4mm f / =60cm当：」 :/2 ，由上式解得：sin 0 1=0.003P点到焦点的距离：y1=厂 sin 0 1=0.018cm当:厶—二/6，由上式解得:sin 0 1=0.001P点到焦点的距离：y1=厂 sin 0 1=0.006cm8白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三级次最大与波长为 600nm的光波的第二级次最大重合，求该光波的波长。

解：单缝衍射图样中，次最大的位置：si nr ( k _ 1)'2 b某一波长的第三级次最大的位置：sin出(3 1 )二丄2 b 2 b600nm光波的第二级次最大位置：sin r =(2 •丄)丄二§二2 b 2 b因两个次最大的位置重合，有： sin ^2 = sin "3解出某光的波长：\ =428.6 nm9波长为546.1 nm的平行光垂直照射在1mn宽的缝上，若将焦距为100cm 的透镜紧贴在缝的后面到，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到（1） 第一最小值；（2）第一最大值；（3）第三最小值的距离分别是多少？解：单缝衍射中，衍射光的传播方向设为 9 工 w—艺—（1） 第1最小值的衍射角：sin日=匚 '〔一_「、.. ?b _ 二、p其位置：y= f / sin 9 = f / 入 /b=0.055cm（2） 第1最大值的衍射角：sin _（kk=12 b其位置：y 小心七 b =0.082cm（3）第3最大值的衍射角：k=3其位置：y = f sin J - 3 f =0.164 cm b10钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上,所 得的第一最小值与第二最小值之间的距离为 0.885cm,问钠光的波长为多少？若改用X射线（入=0.1 nm）做此实验，问底片上两最小值之间的距离是 多少？解：因为单缝衍射，设第一最小值到花 样中央的距离为：対；第二最小值到中央的距 离为：y2对第一最小值：sinm 乂 浙九b L y b对第二最小值：si nR =2 y2 y2 =2L —b L b两最小值间的距离：=y = y2 = lb已知：△ y=0.885cm、L=300cm、b=0.2mm,代入上式，解得钠光的波长：入=590nm当用波长入=0.1 nm的X射线时：Ay=L-=1.5 10J3mm b11以纵坐标表示光强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫 琅禾费衍射（包括缝间干涉）图样。

设缝宽为 b,相邻两缝之间的距离为d,且 d=3b解：因：N=3相邻两最大值间有2个暗条纹，1个次最大；又因：d=3b, 所以第3、6 9、…级谱线缺级以相对光强为纵坐标，sin B为横坐标， 做出衍射图样IIP0i" 2.18802" 2.29212 一束平行白光垂直照射在每毫米 50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的 末端和第二级别光谱的始端的衍射角之差是多少？设可见光中最短紫光 的波长为400nm最长红光的波长为760nm解：在光栅衍射中，因B *入/d，波长大色 光衍射角也大，所以在可见光的同一级谱线中， 红光的衍射角大，紫光的衍射角小已知：红光波长 入1=760nm、紫光波长入2=400nm、d=1/50mm设第一级（j1=1）光谱末端的衍射角为0 1， 有：dsin 0 1=j 1 入 1 解得：sin 0=j1 Wd=760/d第二级（j2=2）光谱始末端的衍射角为0 2，有：dsin 0 2=j 2 X 2 解得：sin 2=j2 ?2/d=800/d衍射角的扎：他-3=2.2920-2.1880 =0.11°~7 13用可见光（400nn— 760nm）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重 叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：从上题，一级谱线末端的衍射角：sin仁j1X/d=760/d二级谱线始端的衍射角：sin扫j2X/d=800/d因：sin 2=800/d > sin 1 =760/d所以，一级光谱和二级光谱不重叠。

二级谱线末端的衍射角：sin扫j2?i/d=1520/d三级谱线始端的衍射角：sin 4=j3^/d=1200/d因：sin 3=1520/d < sin 4 =1200/d所以，二级光谱和三级光谱重叠14用波长为589nm单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二 十级主最大之间的衍射角为15°10/,求该光栅1cm内的缝数是多少？解：从题中知道，第20级谱线的衍射角为：9 =15°10/已知波长：入=589nm,由光栅方程：ds in 9 =j入 解得光栅常数： d=0.0045cm1cm内的缝数为：N=1/d=222条/cm15用每毫米有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为 589nm的钠光谱， 试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？( 2)光以 300角入射 时，最多能观察到几级谱线？解：已知：光栅常数：d=1/400mm光波波长：入=589nm当谱线的衍射级数最大时，对应的衍射角： 9 =90°(1) 光垂照射光栅时，由光栅方程：dsin 9 =j入解得：j〜4,即最多能观察到4级谱线2) 光以9 0= 300角入射时，光栅方程为：d (sin 9 ±sin 9 0) =j入将：9 0= 300、9 =900、d=1/400mm、入=589nm 代入d (sin 9 + sin 9 0) =j 入解出最大的衍射级数： j=616 白光垂直照射到一个每毫米有 200 条刻痕的平面透射光栅上，试问在 衍射角为 300处会出现那些波长的光？其颜色如何？解：已知：光栅常数：d=1/200mm、衍射角：9 =300由光栅方程：ds in 9 =j入(j=0、。