电子科大-材料力学-第三章扭转.pdf

第三章第三章扭转扭转 Torsion本本 章章 内内 容容?引言引言、、基本概念基本概念?动力传递与扭矩动力传递与扭矩?切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律?圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力?极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数?圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件?圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件?简单静不定轴简单静不定轴3.1 引言引言?扭转变形是材料的基本变形形式之一扭转变形是材料的基本变形形式之一实例实例1：：攻丝丝锥攻丝丝锥D力偶矩(moment of couple) PDM = =?实例实例2 汽车前后桥之间的传动轴汽车前后桥之间的传动轴?实例实例3 电动机与减速器之间的传动轴电动机与减速器之间的传动轴联轴器A、B之间的轴段只承受扭距实例实例4 对称扳手拧紧螺帽对称扳手拧紧螺帽钻床的钻杆钻床的钻杆扭转变形的特点扭转变形的特点?受力特点受力特点：：?在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相一对大小相 等等，，方向相反方向相反的外力偶的外力偶——扭转力偶扭转力偶其相应内力分其相应内力分 量称为量称为扭矩扭矩(torque)。

变形特点变形特点：：?横截面绕轴线发生相对转动横截面绕轴线发生相对转动，，出现扭转变形出现扭转变形横截面绕轴线的相对角位移称为扭转角横截面绕轴线的相对角位移称为扭转角 ABOmmO B’A?轴轴：：?工程中以扭转为主要变形的构件工程中以扭转为主要变形的构件如如：：机器中机器中 的传动轴的传动轴、、石油钻机中的钻杆等石油钻机中的钻杆等使轴产生扭转变形的外力称为力偶使轴产生扭转变形的外力称为力偶?本章研究本章研究：：?圆截面轴的扭转问题圆截面轴的扭转问题?轴的外力轴的外力、、内力内力、、应力与变形应力与变形?轴的强度与刚度计算轴的强度与刚度计算空心轴本本 章章 内内 容容?引言引言、、基本概念基本概念?动力传递与扭矩动力传递与扭矩?切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律?圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力?极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数?圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件?圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件?简单静不定轴简单静不定轴3.2 动力传递与扭距动力传递与扭距?动力传递动力传递－－受扭圆轴外力的计算受扭圆轴外力的计算?扭距扭距－－受扭圆轴内力的计算受扭圆轴内力的计算MP =rad/s602 n =602103nMP= 260103 = nPM一一、、动力传递动力传递物理量物理量代号代号单位单位力偶矩力偶矩MNm轴的转速轴的转速nr/min轴的功率轴的功率PkWmin]/ r []kW[9549nPM = 减速器的高速轴较细减速器的高速轴较细, ,而低速轴较粗而低速轴较粗。

为什么为什么？？例题例题 3-1?已知轴的转速已知轴的转速n＝＝1450r/min，，由电动机输入的功率由电动机输入的功率 P=10kW，，求电动机通过联轴器作用在轴求电动机通过联轴器作用在轴AB上的外上的外 力偶矩力偶矩电动机减速器ABmN9 .6514501095499549min]/ r []kW[×= = =nPM二二、、 扭距扭距（（Torque））与扭距图与扭距图－－内力分析内力分析?扭矩扭矩：：构件受扭时构件受扭时，，横截面上的内力偶矩横截面上的内力偶矩，，记记作作““T”单位单位：：Nm?截面法求扭矩截面法求扭矩MMMTxMTMTMx== =00按右手螺旋法则按右手螺旋法则扭矩矢量的指向与截面外法线的扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致指向一致，，为正为正；；反之为负反之为负正正正正负负负负求任意横截面上的扭矩时，采用设正法扭矩符号规定扭矩符号规定：：BMAM CM0= + CBAMMM１１１１２２２２多处受扭时多处受扭时整个轴上的外力偶矩平衡整个轴上的外力偶矩平衡用截面法求内力用截面法求内力：：CBAMMMT ==1截面截面1上的扭矩上的扭矩AM１１１１1TBM111TCMBMAM CM１１１１２２２２BMAM１１１１２２２２截面截面2-2上的内力上的内力：：2TCBAMMMT = =2CM２２２２2T?扭距图扭距图torque diagram?表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①①形象地表达扭矩变化规律形象地表达扭矩变化规律；；②②|T|max值及其截面位置值及其截面位置强度计算强度计算（（危险截面危险截面）x横截面位置T 扭 距(+)(-)例题例题3-2ABC1122MAMBMC图中所示传动轴图中所示传动轴，，转速转速n＝＝500r/min，，轮轮B为主动为主动 轮轮，，输入功率输入功率PB＝＝10kW，，轮轮A与轮与轮C为从动轮为从动轮，，输出输出 功率分别为功率分别为PA＝＝4kW，，PC＝＝6kW,计算轴各段的扭距计算轴各段的扭距，， 并绘制扭矩图并绘制扭矩图解题步骤解题步骤：：①①计算外力偶矩计算外力偶矩②②求各轴段扭矩求各轴段扭矩 ③③绘制扭矩图绘制扭矩图①①计算外力偶矩计算外力偶矩m4 .76500449599549×= ==NnPMA Am1915001049599549×= ==NnPMB Bm6 .114500649599549×= ==NnPMC CABC1122MAMBMC②②求各轴段扭矩求各轴段扭矩ABC1122MAMBMCMAT1m4 .761×==NMTA用截面法求1－1截面的扭矩MCT2ABC1122MAMBMC假设T2为正，用截面法求2－2截面的扭矩m6 .1142× = =NMTC③③绘制扭矩图绘制扭矩图xTABC1122MAMBMC114.6Nm76.4NmmNT×=6 .114maxABC1122MAMBMC改变功率输入轮的位置m4 .761×==NMTAMBT2m1912×==NMTBmNT×=191maxxT191Nm76.4Nm本本 章章 内内 容容?引言引言、、基本概念基本概念?动力传递与扭矩动力传递与扭矩?切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律?圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力?极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数?圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件?圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件?简单静不定轴简单静不定轴3.3 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律?薄壁圆筒的扭转应力薄壁圆筒的扭转应力（（stress in torsion ））?纯剪切与切应力互等定理纯剪切与切应力互等定理?剪切胡克定律剪切胡克定律（（Hook’s law for shear ））主要知识点薄壁圆筒薄壁圆筒：：壁厚0101R （R0：为平均半径）1 1、、实验实验：：实验前实验前：：①①绘纵向线绘纵向线，，圆周线圆周线；；②②施加一对外力偶施加一对外力偶 M。

一一、、薄壁圆筒的扭转应力薄壁圆筒的扭转应力R0实验后观察到的现象实验后观察到的现象：：①①变形很小时变形很小时，，各圆周线的大小和间距不变各圆周线的大小和间距不变；；②②纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线所有矩形网格均歪斜成同样大小的平所有矩形网格均歪斜成同样大小的平 行四边形行四边形MMb d 由于管壁很薄由于管壁很薄，，可以认为管内外表面的变形相同可以认为管内外表面的变形相同结论结论：：①①周向和轴向无正应变周向和轴向无正应变②②沿圆周沿圆周，，所有微体的剪切变形相同所有微体的剪切变形相同（（切应变相同切应变相同）dd③③在圆管横截面上在圆管横截面上，，存在垂直于半径方向的切应力存在垂直于半径方向的切应力切应力的方向？b d 2. 横截面上扭转切应力的分布情况横截面上扭转切应力的分布情况垂直于半径垂直于半径，，与扭矩与扭矩 作用方向一致作用方向一致由于管壁由于管壁 很薄很薄，，切应力沿壁厚可近切应力沿壁厚可近 似视为均匀分布似视为均匀分布TAA放大放大3.薄壁圆筒切应力薄壁圆筒切应力 大小的计算大小的计算00002 0dd2 2 AAA RTRARRTT R× ×× × = R0对圆筒中心取合力矩①①无正应力无正应力（（单元体各边长不变单元体各边长不变））②②横截面上各点处横截面上各点处，，只有剪应力只有剪应力③③左右两侧面上分别作用有由切应左右两侧面上分别作用有由切应 力力 引起的剪力引起的剪力dy构成力偶构成力偶：：dydx微小矩形单元体如图所示微小矩形单元体如图所示：：二二、、 纯剪切与切应力互等定理纯剪切与切应力互等定理acddxbdyacddxbdy= =× ×× × = =× ×× ×故故dxdydxdy在上下两横截面上存在 ’上式称为切应力互等定理上式称为切应力互等定理。

该定理表明该定理表明：：在单元体相互垂直的两个平面上在单元体相互垂直的两个平面上，，切应切应 力必然成对出现力必然成对出现，，且数值相等且数值相等，，两者都垂直于两平面的交两者都垂直于两平面的交 线线，，方向则共同指向或共同背离该交线方向则共同指向或共同背离该交线仅存在切应力而无正应力的应力状态称为纯剪切仅存在切应力而无正应力的应力状态称为纯剪切由单元体的平衡条件：单元体平衡吗？切应力互等定理切应力互等定理轴向拉压杆件的45°斜截面上切应力大 小相等，同时指向或背离两斜截面的交线例如：三三、、剪切胡克定律剪切胡克定律?剪切虎克定律剪切虎克定律：：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时时（（τ ≤τp)，，剪应力与剪应变成正比关系剪应力与剪应变成正比关系×= G式中式中：：G是材料的一个弹性常数是材料的一个弹性常数，，称为称为剪切弹性模量剪切弹性模量（（切变切变 模量模量）），，因因 无量纲无量纲，，故故G的量纲与的量纲与 相同相同，，不同材料的不同材料的G 值可通过实验确定值可通过实验确定，，钢材的钢材的G值约为值约为75～～80GPa剪切弹性模量剪切弹性模量、、弹性模量和泊松比是表明材料弹弹性模量和泊松比是表明材料弹 性性质的三个常数性性质的三个常数。

对各向同性材料对各向同性材料，，这三个弹性常这三个弹性常 数之间存在下列关系数之间存在下列关系可见可见，，在三个弹性常数中在三个弹性常数中，，只要知道任意两个只要知道任意两个，， 第三个量就可以推算出来第三个量就可以推算出来)1 ( 2 +=EG本本 章章 内内 容容?引言引言、、基本概念基本概念?动力传递与扭矩动力传递与扭矩?切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律?圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力?极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数?圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件?圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件?简单静不定轴简单静不定轴①①各圆周线形状不变各圆周线形状不变，，仅绕轴线相对转动仅绕轴线相对转动；；②②变形很小时变形很小时，，各周线的大小与间距均不改变各周线的大小与间距均不改变③③各纵向线变为相互平行的斜直线各纵向线变为相互平行的斜直线等直圆杆扭转实验观察等直圆杆扭转实验观察：：1.扭转实验现象 MM一一、、扭转切应力的一般公式扭转切应力的一般公式3.4 圆周扭转横截面上的应力圆周扭转横截面上的应力圆轴扭转的平面假设圆轴扭转的平面假设?变形后变形后，，横截面仍然保持平面横截面仍然保持平面，，其形状其形状、、大小与间大小与间 距均不改变距均不改变，，半径仍为直线半径仍为直线。

各横截面如刚性圆片各横截面如刚性圆片，，仅绕轴线作相对转动仅绕轴线作相对转动结论结论：：?圆轴扭转时圆轴扭转时，，轴向和周向均无正应变轴向和周向均无正应变，，即不产生正应力即不产生正应力横截面上的点横截面上的点，，在垂直于。