串并联电路的可靠性问题.doc

串并联电路的可靠性 问题乐安县第二中学 何小英随着科学技术的发展，串、并联电路在日常生活及生产中时常可见下面我们用概率知识来研究串、并电路工作的可靠性问题一、简单串、并联电路正常工作的概率例 1 如图 1，用 A、B、C三种不同 (N 1) A B C 的元件连接成两个系统：串联系统 N1 和并联系统 N2，当元件 A、B、C 正常工作的概A率分别为、、0. 9 时，分别求出 N、 (N2)B1N 正常工作的概率C2分析与解 系统 N1 是串联， A、B、C图 1相互独立，只有同时工作 N1 才会正常工作，记其为事件A·B·C，根据相互独立事件同时发生的概率计算公式，所以1）=P（A·B·C）=P（A）·PP（N（B）·P（C）=×× 0. 9=系统 N2 是并联电路， A、B、C 只要至少有一个正常工作，则系统 N2 就能正常工作，正常工作的事件有： A·B·C，A·B·C，A·B·C，A·B·C，A·B·C，A·B·C，A·B·C 共七种，它们彼此为互斥事件 P（N2）就等于这七种事件的概率之和，而这七种事件的对立事件有A·B·C一种∴ P（N2）=1－P（A·B·C）=1－P（A）·P（B）·P（C）=1－（ 1－）（ 1－）（1－）=1－=可见并联电路比串联电路工作可靠性要大得多，譬如收音机或电视机电路里的桥式整流电源电路及推挽输出电路等都是比较可靠的工作电路。

对于多个元件组成的串联电路或并联电路的可靠性问题，仿照例1 的计算方法类似地可计算出其正常工作的概率因此例1 给我们解决串、并联电路正常工作的概率问题提供了一种解题模式：就是串联电路正常工作．．．．．．．．的概率等于各元件正常工作的概率之积 ；并联电路正常工作的概率等于 1．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．． ．．减去各元件不能正常工作的概率之积的差 ，这样两个电路可靠性简单模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．是我们今后研究复杂电路可靠性的基础二、串、并联混合电路正常工作的概率例 2 用 4 个相同的元件连接成A C如图 2 所示的两种电路系统 N3，N4， (N 3)每个元件正常工作的概率都为B DP（0＜P＜1＝，分别求出这两种A C电路系统正常工作的概率，并比 (N 4)较它们的大小BD分析与解对于该例我们必图 2须先整体考虑，看整体上是属于例 1 中的两种类型的哪种类型，不难得出整体上 N3 是由部分电路 A、B 与 C、D 组成的串联型电路， N4 整体上是由部分电路 A、C与 B、D组成的并联型电路对于电路系统 N3，部分电路 A 与 B 及 C与 D各自组成并联电路，于是电路 A 与 B 正常工作的概率为 1－P（A·B），部分电路 C与 D正常工作的概率为 1－P（C·D）。

∴ P （N3）=[1 －P（A·B）] [1 －P（C·D）]=[1 －P（A）·P（B） ][1 －P（C）·P（D）]=[1 －（ 1－P2）] 2=P2（2－P）2对于电路 N4，A 与 C不能正常工作的概率为 1－P（A·C），B 与 D 不能正常工作的概率为 1－P（B·D），∴ P （N4）=1－[1 －P（A·C）][ 1 －P（B·D）]=1 －[1 －P（A）·P（C）][ 1 －P（B）·P（D）]=1 －（ 1－P2）2 = P2（2－P2）∵ P （N3）－ P（N4）= P 2（2－P2）－ P2（2－P2）=2 P2（1－P2）＞ 0，∴ 系统电路 N3 正常工作的概率大上面可得出处理串并联混合电路的规律：理解掌握两个串、并联电路的基本类型是关键，整体识别类型，分部计算概率例 3 如图 3 为继电器接点电路，13假设每个接点闭合的概率为，CC212各接点闭合否相互独立，求A 至 B4是通路的概率ABDD12分析与解设每个继电器接点56闭合的概率为 P，则 P=，A 至 BE1E2由 C1 至 C2， D1 至 D2，E1至 E2 三条图 3线路并联而成，设该三条线路通路的概率分别为P1、P2、P3。

C1 至 C2 通路的概率是P1=[1 －（ 1－P）（1－P）] ·P=P－P（1－P）2=－P3＋2P2D1 至 D2 通路的概率是 P2=P，E1 至 E2 通路的概率中 P3=P， A 至 B不通的概率是（1－P1）（1－P2）（1－P3）3 2 2=（1＋P －2P）（1－P）（1－P ）∴ A 至 B 通路的概率是1－（ 1－P1）（1－P2）（1－P3）6 5 4 3 2=－P ＋3P－P －4P÷3 P ＋P。