实验三解线性方程组的迭代法.pdf

实验三解线性方程组的迭代法3.1 实验目的①掌握解线性方程组的雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法；②培养编程与上机调试能力. 3.2 算法描述3.2.1 迭代法的基本思想根据方程组Axb设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一初始向量(0)x代入迭代公式，求出(1)x， 再以(1)x代入同一迭代公式， 求出(2)x， 如此反复进行， 得到向量序列(){}kx.当(){}kx收敛时，其极限即为原方程组的解. 3.2.2 雅可比（ Jacobi）迭代法解方程组设方程组Axb的系数矩阵对角线元素0(1,2,...,)iiain，M为最大迭代次数，为容许误差 . 雅可比（ Jacobi）迭代法解方程组算法步骤如下：① 取初始向量(0)(0)(0) 12(,,...,)T nxxxx，令0k. ② 对1,2,...,in，计算(1)()11()n kkiiijjjii jixba xa. ③ 如果(1)( )1n kkii ixx，则输出(1)kx，结束；否则执行④④ 如果kM，则不收敛，终止程序；否则1kk，转②3.2.3 高斯 -塞德尔 (Gauss-Seidel)迭代法在雅可比（ Jacobi）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解.基于这种设想构造的迭代公式称为高斯 - 塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 . 算法可相应地从雅可比（Jacobi）迭代法改造得到. 3.3 实验题目及参考结果：题目应用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法解线性方程组12312312352828321361xxxxxxxxx参考结果：雅可比迭代法迭代次数20 次，结果如下：[0]1.000000[1]2.000000[2]1.000000xxx3.4 实验要求：（ 1）设计出雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德尔 (Gauss-Seidel)迭代法的算法程序，在 达到相同精度的情况下， 比较其迭代次数和CPU时间；反复选取不同的初 值，比较并分析其结果。

2）利用 Matlab 求方程组的解步骤如下：调用格式：A b%得到线性方程组的解向量Matlab6.1 环境下操作如下：>>[5 2 1;2 83;1 36]A; %输入系数矩阵>>[8;21;1;]b; %输入常数项>>xA b%方程组求解 代码：A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6] ；b=[8;21;1] ；x=A\b 输出结果： x = 1 2 -1 雅可比（ Jacobi）迭代法：function[x,n] =jacobi(A,b,x0)eps=1.0e-6;D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D\(L+U);f=D\b;x=x0;n=0;tol=1;while tol>=epsx=B*x0+f; n=n+1;tol= norm(x-x0);x0=x; endend输出结果： A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6]; b=[8;21;1];x0=[1,1,1];[x,n] =jacobi(A,b,x0') x = 1.0000 2.0000 -1.0000 n = 19 高斯 -塞德尔 (Gauss-Seidel)迭代法function [ x,n ] = gaussseidel(A,b,x0 )D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=x0;n=0;for i=1:20x=G*x0+f;n=n+1; x0=x;endend 输出结果： A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6]; b=[8;21;1];x0=[1,1,1];[ x,n ] = gaussseidel(A,b,x0' ) x = 1.0000 2.0000 -1.0000 n = 10 选取同样的初值，在同样的精度要求下得到最终的结果雅克比迭代法迭代了19 次，而高斯 -塞德尔 (Gauss-Seidel)迭代法迭代了10 次，效率明显高于雅克比迭代法。