大地测量学课件 地球椭球与测量计算.ppt

第五章第五章 地球椭球地球椭球与测量计算与测量计算中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院 应用大地测量学应用大地测量学应用大地测量学应用大地测量学 本章解决的主要问题1、基础知识、基础知识椭球的几何特征；地球椭球的几何特征；地球椭球及其定位；椭球面椭球及其定位；椭球面上的弧长计算上的弧长计算2、地面观测元素化算、地面观测元素化算至椭球面至椭球面3、椭球面上大地坐标、椭球面上大地坐标的计算问题的计算问题12345A1NA2S S(B1,L1)平面坐标计算平面坐标计算球面坐标计算球面坐标计算β(x1,y1)第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点）第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点）§5.1 §5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学 测测量量的的外外业业工工作作主主要要是是在在地地球球表表面面进进行行的的，，或或者者说说主主要要是是对对地地球球表表面面进进行行观观测测的的，，由由于于地地球球表表面面不不是是一一个个规规则则的的数数学学曲曲面面，，在在其其上上面面无无法法进进行行严严密密的的测测量量计计算算。

因因此此，，需需要要寻寻求求一一个个大大小小和和形形状状最最接接近近于于地地球球的的规规则则形形体体————地地球球椭椭球球，，在在其其表表面面完完成成测测量量计计算算工工作作用用椭椭球球来表示地球必须解决来表示地球必须解决2 2个问题：个问题：一是椭球一是椭球参数参数的选择的选择( (椭球的大小和形状椭球的大小和形状) )；； 二二是是确确定定椭椭球球与与地地球球的的相相关关位位置置，，即即椭椭球球的的定定位位( (椭椭球球与大地水准面包围的大地体应当最密合与大地水准面包围的大地体应当最密合) )§5.1 §5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学 具具有有一一定定几几何何参参数数，，经经过过定定位位，，在在全全球球范范围围内内与与大大地体最为接近、密合最好的椭球称为地体最为接近、密合最好的椭球称为地球椭球地球椭球 在在某某一一地地区区与与大大地地水水准准面面密密合合最最好好的的椭椭球球，，称称为为参参考椭球考椭球§5.1 §5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学§5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系§5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式§5.1.3 椭球定位椭球定位§5.1 §5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学§5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系§5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式§5.1.3 椭球定位椭球定位§5.1.1 §5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系 应用大地测量学应用大地测量学 应用大地测量学应用大地测量学偏心距：偏心距： 第一偏心率：第一偏心率： （（5-15-1））第二偏心率：第二偏心率： 扁率：扁率： （（5-25-2））椭球长半径椭球长半径a a，短半径，短半径b b §5.1.1 §5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系 应用大地测量学应用大地测量学a a、、b b、、e e、、e’e’之间的关系：之间的关系： （（5-35-3）） （（5-45-4）） （（5-55-5））§5.1.1 §5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系 应用大地测量学应用大地测量学克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球19801980国家大地坐标系国家大地坐标系WGS-84WGS-84a a637824563782456378140637814063781376378137b b6356863.018776356863.018776356755.288166356755.288166356752.31426356752.3142e2e20.006693421622970.006693421622970.006694384999590.006694384999590.006694379990130.00669437999013e′2e′20.00673852544680.00673852544680.006739501819470.006739501819470.006739496742270.00673949674227f f1:298.31:298.31:298.2571:298.2571:298.2572235631:298.257223563几种椭球几何参数几种椭球几何参数 §5.1.1 §5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系§5.1 §5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学§5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系§5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式§5.1.3 椭球定位椭球定位§5.1.2 §5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学应用大地测量学垂线偏差垂线偏差————地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角线方向之间的夹角u 。

垂线偏差垂线偏差u u的分量的分量————子午圈分量子午圈分量ξ ξ 和卯酉圈分量和卯酉圈分量ηη计算公式：计算公式： （（5-75-7）） （（5-85-8））§5.1.2 §5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学应用大地测量学 天文方位角与大地方位角之间的关系式：天文方位角与大地方位角之间的关系式： （（5-145-14）） （（5-155-15）） 以上公式称为以上公式称为拉普拉斯方程式拉普拉斯方程式。

§5.1.2 §5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学应用大地测量学 椭球短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大椭球短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生欧拉角欧拉角，设，设为为 此时垂线偏差公式（此时垂线偏差公式（5-85-8）及拉普拉斯方）及拉普拉斯方程式（程式（5-155-15）扩展为：）扩展为：（（5-165-16）） 上式称为广义垂线偏差和拉普拉斯方程上式称为广义垂线偏差和拉普拉斯方程§5.1 §5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学§5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系§5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式§5.1.3 椭球定位椭球定位§5.1.3 §5.1.3 椭球定位椭球定位 应用大地测量学应用大地测量学 椭椭球球定定位位————将将一一定定参参数数的的椭椭球球与与大大地地体体的的相相关关位位置置固固定定下下来来，，确确定定测测量量计计算算基基准准面面的的具具体体位位置置和和大大地地测测量量起起算数据。

算数据 包包括括：：定定位位和和定定向向两两方方面面定定位位是是指指确确定定椭椭球球中中心心的的位位置置，，定定向向是是指指确确定定该该椭椭球球坐坐标标轴轴的的指指向向从从数数学学上上讲讲就就是是要要确确定定三三个个平平移移参参数数 和和三三个个旋旋转转角角度度 椭球定位三个条件：椭球定位三个条件：（（1 1）椭球短轴与某一指定历元的地球椭球自转轴平行；）椭球短轴与某一指定历元的地球椭球自转轴平行；（（2 2）起始大地子午面与起始天文子午面相平行；）起始大地子午面与起始天文子午面相平行；（（3 3））在在一一定定区区域域范范围围内内，，椭椭球球面面与与大大地地水水准准面面（（或或似似大大地水准面）最为密合地水准面）最为密合§5.1.3 §5.1.3 椭球定位椭球定位 应用大地测量学应用大地测量学 椭球定位通过大地原点的天文观测实现对于大地原点：椭球定位通过大地原点的天文观测实现对于大地原点：B0= ψ0-ξ0B0= ψ0-ξ0L0= λ0-η0·secψ0L0= λ0-η0·secψ0A0= α0-η0·tanψ0A0= α0-η0·tanψ0H0= H0H0= H0常常+ζ0+ζ0 初期定位时，初期定位时，ξ0ξ0，，η0η0，，ζ0ζ0未知，可取为未知，可取为0 0。

称为称为一点定位一点定位 根根据据大大地地测测量量和和天天文文测测量量数数据据，，在在 条条件件下下，，求求出出原点的原点的ξ0ξ0，，η0η0，，ζ0ζ0值称为多点定位多点定位第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学基本概念基本概念基本概念基本概念法截面法截面——包含曲面一点法线的平面包含曲面一点法线的平面法截线法截线——法截面与曲面的截线法截面与曲面的截线斜截线斜截线——不包含法线的平面与椭球面的截线不包含法线的平面与椭球面的截线子午圈子午圈——包含短轴的平面与椭球面的交线。

包含短轴的平面与椭球面的交线卯酉圈卯酉圈——与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该点的卯酉圈点的卯酉圈平行圈平行圈——垂直于短轴的平面与椭球面的交线垂直于短轴的平面与椭球面的交线 应用大地测量学应用大地测量学§5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径§5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径§5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径§5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径§5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式§5.2 §5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学§5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径§5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径§5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径§5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径§5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式§5.2 §5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径§5.2.1 §5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学 应用大地测量学应用大地测量学§5.2.1 §5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 微分几何中麦尼厄定理：微分几何中麦尼厄定理： （（5-19）） （（5-26）） （（5-23）） W又称第一基本纬度函数，又称第一基本纬度函数，V称为第二基本维度函数。

称为第二基本维度函数 应用大地测量学应用大地测量学§5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径§5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径§5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径§5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径§5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式§5.2 §5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径§5.2.2 §5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学（（5-30））§5.2.2 §5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学表表 M M、、N N随随B B变化的规律变化的规律 B BN NM M说明说明B=0°B=0°N N0 0=a=aM M0 0= a(1-e= a(1-e2 2) )在赤道上，在赤道上，N N为赤为赤道半径道半径a a，，M M小于小于赤道半径赤道半径a a0°

因此，任一点的卯酉圈因此，任一点的卯酉圈和子午圈的切线方向，就是椭球面在该点的和子午圈的切线方向，就是椭球面在该点的主方向主方向，其曲，其曲率半径率半径N和和M称为该点的主曲率半径由于椭球面上任一称为该点的主曲率半径由于椭球面上任一点处的平行圈与卯酉圈有公共切线，所以，点处的平行圈与卯酉圈有公共切线，所以，经线和纬线经线和纬线上上每一点的切线也都是椭球面在该点主方向每一点的切线也都是椭球面在该点主方向 应用大地测量学应用大地测量学§5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径§5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径§5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径§5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径§5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式§5.2 §5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径§5.2.3 §5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学微分几何中的欧拉公式：微分几何中的欧拉公式：微分几何中的欧拉公式：微分几何中的欧拉公式： （（（（5-315-31）））） （（（（5-325-32）））） （（（（5-335-33））））§5.2.3 §5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学 公式（公式（5-33）可以看出，任意方向）可以看出，任意方向A的法截线的法截线曲率半径曲率半径RA，不仅与纬度，不仅与纬度B有关，还与该点的法有关，还与该点的法截线的大地方位角截线的大地方位角A有关。

法截线的特性：有关法截线的特性： （（1）相对于主方向对称位置的法截线具有相同）相对于主方向对称位置的法截线具有相同的曲率半径的曲率半径 （（2）椭球面上任一点相互垂直的两个法截线曲）椭球面上任一点相互垂直的两个法截线曲率之和为固定值，且等于两个主方向曲率之和率之和为固定值，且等于两个主方向曲率之和 应用大地测量学应用大地测量学§5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径§5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径§5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径§5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径§5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式§5.2 §5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径§5.2.4 §5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学 在测量工作中，常常根据一定的精度要求，在测量工作中，常常根据一定的精度要求，在测量工作中，常常根据一定的精度要求，在测量工作中，常常根据一定的精度要求，将某一范围内的椭球面视为圆球面来处理，为此将某一范围内的椭球面视为圆球面来处理，为此将某一范围内的椭球面视为圆球面来处理，为此将某一范围内的椭球面视为圆球面来处理，为此就要求出这个圆球面的半径就要求出这个圆球面的半径就要求出这个圆球面的半径就要求出这个圆球面的半径————平均曲率半径。

平均曲率半径平均曲率半径平均曲率半径 平均曲率半径：过椭球面上一点的所有法截平均曲率半径：过椭球面上一点的所有法截平均曲率半径：过椭球面上一点的所有法截平均曲率半径：过椭球面上一点的所有法截线（线（线（线（A A从从从从0 0～～～～2 2π π），当其数目趋于无穷时，它们的），当其数目趋于无穷时，它们的），当其数目趋于无穷时，它们的），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限曲率半径的算术平均值的极限曲率半径的算术平均值的极限曲率半径的算术平均值的极限 （（（（5-355-35）））） （（（（5-365-36）））） 关系：关系：关系：关系： N > R > M N > R > M 应用大地测量学应用大地测量学§5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径§5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径§5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径§5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径§5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式§5.2 §5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径§5.2.5 §5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式 应用大地测量学应用大地测量学 将将将将N N、、、、MM、、、、R R的计算的计算的计算的计算公式（公式（公式（公式（5-265-26）、（）、（）、（）、（5-305-30）、）、）、）、（（（（5-365-36）展开成微小参数的幂级数，取其前几项）展开成微小参数的幂级数，取其前几项）展开成微小参数的幂级数，取其前几项）展开成微小参数的幂级数，取其前几项数值。

数值 克拉索夫斯基椭球参数代入得到（克拉索夫斯基椭球参数代入得到（克拉索夫斯基椭球参数代入得到（克拉索夫斯基椭球参数代入得到（5-385-38） 1975 1975年国际椭球参数代入得到（年国际椭球参数代入得到（年国际椭球参数代入得到（年国际椭球参数代入得到（5-395-39）第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点） 应用大地测量学应用大地测量学（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）§5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算§5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算§5.3 §5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学§5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算§5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算§5.3 §5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学1 1、计算、计算B=0B=0到到B B的子午圈弧长的子午圈弧长X X由由M=dX/dBM=dX/dB（（5-275-27）得：）得： 将（将（5-375-37）） 代入上式，从代入上式，从0 0到到B B积分，可得积分，可得X X。

可知，可知，X X是是B B的函数见的函数见公式公式(5-41)(5-41) 注意注意：：将不同的椭球参数代入得相应的子午圈弧长计将不同的椭球参数代入得相应的子午圈弧长计算式§5.3.1 §5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学2 2、计算已知纬度、计算已知纬度B1B1和和B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长△X△X（（1 1）分别计算）分别计算0 0到到B1B1和和0 0到到B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X1X1和和X2X2，，然后求然后求△X=X2-X1△X=X2-X1；；（（2 2）用上述积分式求）用上述积分式求B1B1～～B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长△X△X§5.3.1 §5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学§5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算§5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算§5.3 §5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算§5.3.2 §5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学 平行圈是一个半径等于平行圈是一个半径等于 r=N·COSB r=N·COSB的圆，纬度的圆，纬度B B处经度处经度L1L1～～L2L2之间的平行圈弧长之间的平行圈弧长 经度差相同，纬度不同的平行圈，弧长不同。

纬度越经度差相同，纬度不同的平行圈，弧长不同纬度越高，单位经度差点平行圈弧长越短高，单位经度差点平行圈弧长越短 用于计算中、小比例尺地形图中两条子午圈和两条平用于计算中、小比例尺地形图中两条子午圈和两条平行圈所包围的椭球面面积行圈所包围的椭球面面积 第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点） 应用大地测量学应用大地测量学§5.4.1 相对法截线相对法截线§5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征§5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程§5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面§5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面§5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算§5.4 §5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学§5.4.1 相对法截线相对法截线§5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征§5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程§5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面§5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面§5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算§5.4 §5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面§5.4.1 §5.4.1 相对法截线相对法截线 应用大地测量学应用大地测量学 CK=NsinB CK=NsinB，， （（5-225-22）代入（）代入（5-215-21）得：）得：所以：所以： （（5-435-43）） 上式说点的纬度不同，其法线与短轴的交点到椭球中心之上式说点的纬度不同，其法线与短轴的交点到椭球中心之间的距离不等，纬度越高，交点到椭球中心的距离越长。

间的距离不等，纬度越高，交点到椭球中心的距离越长§5.4.1 §5.4.1 相对法截线相对法截线 应用大地测量学应用大地测量学 设设Q1Q1和和Q2Q2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线圈上，它们的法线Q1n1Q1n1和和Q2n2Q2n2不相交法截线不相交法截线Q1m1Q2Q1m1Q2和和Q2m2Q1Q2m2Q1称为两点间的称为两点间的相对法截线相对法截线 正法截线正法截线与与反法截线一般不重合反法截线一般不重合 应用大地测量学应用大地测量学正反法截线之间的夹角正反法截线之间的夹角正反法截线之间的夹角正反法截线之间的夹角△△△△近似公式：近似公式：近似公式：近似公式：令令Bm=45°Bm=45°，，A=45°A=45°，不同距离，不同距离S S求得的求得的△△值为：值为：    S                   S               △△  100km          0.042″  100km          0.042″  60km           0.015″  60km           0.015″  30km           0.004″  30km           0.004″ 在在长长距距离离的的测测量量中中，，对对向向观观测测所所得得3 3个个内内角角不不能能组组成成闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线————大地线。

大地线§5.4.1 §5.4.1 相对法截线相对法截线 应用大地测量学应用大地测量学§5.4.1 相对法截线相对法截线§5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征§5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程§5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面§5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面§5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算§5.4 §5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面§5.4.2 §5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征 应用大地测量学应用大地测量学1 1、、大地线大地线————曲面上两点间的最短曲线或：大地线曲面上两点间的最短曲线或：大地线是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线含曲面在该点的法线§5.4.2 §5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征 应用大地测量学应用大地测量学2 2、大地线几何特征、大地线几何特征（（1 1））一一般般情情况况下下，，曲曲面面上上的的曲曲线线并并不不是是大大地地线线（（如如球球面面上的小圆）。

大地线相当于椭球面上两点间的最短程曲线上的小圆）大地线相当于椭球面上两点间的最短程曲线2 2）大地线与相对法截线间的夹角为）大地线与相对法截线间的夹角为δ=△/3δ=△/33 3））大大地地线线与与相相对对法法截截线线间间的的长长度度之之差差甚甚微微，，600km600km时时二二者之差仅为者之差仅为4 4））两两点点位位于于同同一一条条子子午午圈圈上上或或赤赤道道上上，，则则大大地地线线与与子子午圈、赤道重合午圈、赤道重合 应用大地测量学应用大地测量学§5.4.1 相对法截线相对法截线§5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征§5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程§5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面§5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面§5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算§5.4 §5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面§5.4.3 §5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程 应用大地测量学应用大地测量学大地线的解析特性大地线的解析特性————表述表述dBdB、、dLdL、、dAdA与与dSdS的关系：的关系： 大地线的三个微分方程：大地线的三个微分方程： 应用大地测量学应用大地测量学大地线的解析特性大地线的解析特性————表述表述dBdB、、dLdL、、dAdA与与dSdS的关系：的关系： 大地线的大地线的克莱劳方程克莱劳方程 ：： r·sinA=Cr·sinA=C（（C C为常数）为常数） 对于椭球面上一大地对于椭球面上一大地线而言，每点处平行圈线而言，每点处平行圈半径与该点处大地线方半径与该点处大地线方位角正弦的乘积是一个位角正弦的乘积是一个常数（常数（大地线常数大地线常数）。

————克劳莱定理克劳莱定理§5.4.3 §5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程 应用大地测量学应用大地测量学§5.4.1 相对法截线相对法截线§5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征§5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程§5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面§5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面§5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算§5.4 §5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面§5.4.4 §5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：（（（（1 1 1 1）将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球）将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球）将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球）将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球面上以法线为基准的观测方向。

面上以法线为基准的观测方向面上以法线为基准的观测方向面上以法线为基准的观测方向垂线偏差改正）（垂线偏差改正）（垂线偏差改正）（垂线偏差改正）（（（（2 2 2 2）将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两）将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两）将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两）将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向点间的法截线方向点间的法截线方向点间的法截线方向标高差改正）（标高差改正）（标高差改正）（标高差改正）（（（（3 3 3 3）将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向截（截（截（截面差改正）面差改正）面差改正）面差改正）§5.4.4 §5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学1 1、垂线偏差改正、垂线偏差改正δ1δ1 将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数上以法线为准的观测方向，其改正数δ1δ1为：为： （（5-515-51））例：例：A=0°A=0°，，tanαtanα，，ξ=η=5″ξ=η=5″，则，则δ1=0.05″δ1=0.05″。

垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）仅在国家一、二等三和观测方向的天顶距（或垂直角）仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正角测量计算中，才规定加入此项改正  应用大地测量学应用大地测量学2 2 2 2、标高差改正、标高差改正、标高差改正、标高差改正δ2δ2δ2δ2 椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不共椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不共面，照准点面，照准点 B B高出椭球面某一高度高出椭球面某一高度 H2 H2，使得在，使得在A A点照准点照准B B点的法截线点的法截线Ab′Ab′与与AbAb之间有一夹角之间有一夹角δ2δ2 （（5-525-52））B2 B2 照准点的大地纬度；照准点的大地纬度；A1 A1 测站点至照准点的大地方位角；测站点至照准点的大地方位角；H2 H2 照准点高出椭球面的高程；照准点高出椭球面的高程；M1 M1 测站点子午圈曲率半径。

测站点子午圈曲率半径例：例：A1=45°A1=45°，，B2=45°B2=45°，，H2=2000mH2=2000m，，δ1=0.1″δ1=0.1″局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正 §5.4.4 §5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学3 3 3 3、截面差改正、截面差改正、截面差改正、截面差改正δ3δ3δ3δ3 将椭球面上法截线方向换算为大地线方向将椭球面上法截线方向换算为大地线方向所加的为截面差改正数所加的为截面差改正数δ3δ3例：例：A1=45°A1=45°，，Bm=45°Bm=45°，，S=30km δ3=0.001″S=30km δ3=0.001″ 截面差改正主要与测站点至照准点间的距截面差改正主要与测站点至照准点间的距离有关只有在国家一等三角测量计算中，才离有关只有在国家一等三角测量计算中，才进行改正进行改正 §5.4.4 §5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学§5.4.1 相对法截线相对法截线§5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征§5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程§5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面§5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面§5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算§5.4 §5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面§5.4.5 §5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学设设A A、、B B两点的大地高分别为两点的大地高分别为H1H1为为H2H2，，h=H2-H1h=H2-H1，，d d为空间直线长。

为空间直线长由三角形由三角形AOBAOB按余弦公式可得：按余弦公式可得： 弦长弦长 （（5-555-55）） （（4-284-28）（）（4-314-31））弧长弧长 应用大地测量学应用大地测量学§5.4.1 相对法截线相对法截线§5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征§5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程§5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面§5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面§5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算§5.4 §5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面§5.4.6 §5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算 应用大地测量学应用大地测量学目的目的————将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解算未知边长。

算未知边长方法一：按球面三角形解算公式：方法一：按球面三角形解算公式： 方法二：方法二：（勒让德定理）（勒让德定理）将球面三角形改化为对应边相等的平面三角将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长球面三角形球面角超球面三角形球面角超 ε= ε=（（A0+B0+C0A0+B0+C0））-180°=-180°=△/R△/R2 2·ρ″·ρ″，，△△为三为三角形面积角形面积        A1=A0-ε/3A1=A0-ε/3，， B1=B0-ε/3 B1=B0-ε/3，，C1=C0-ε/3C1=C0-ε/3 第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节 地球椭球及其定位（基础）地球椭球及其定位（基础）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础）椭球面上法截线曲率半径（基础）第三节第三节 椭球面上弧长计算（基础）椭球面上弧长计算（基础）第四节第四节 地面观测值归算至椭球面（重点）地面观测值归算至椭球面（重点）第五节第五节 椭球面上大地问题解算（重点）椭球面上大地问题解算（重点） 应用大地测量学应用大地测量学§5.5.1 概述概述§5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式§5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式§5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式§5.5 §5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 应用大地测量学应用大地测量学§5.5.1 概述概述§5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式§5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式§5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式§5.5 §5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算§5.5.1 §5.5.1 概述概述 应用大地测量学应用大地测量学（一）解算内容（一）解算内容（一）解算内容（一）解算内容 大大地地问问题题正正解解————已已知知P1P1点点大大地地坐坐标标（（B1B1，，L1L1））、、P1P2P1P2大大地地线线长长S S和和大大地地方方位位角角A1A1，，推推求求P2P2点点大大地地坐坐标标（（B2B2，，L2L2））和大地方位角和大地方位角A2A2。

大大地地问问题题反反解解————已已知知P1P2P1P2两两点点的的大大地地坐坐标标（（B1B1，，L1L1））、、（（B2B2，，L2L2））反反算算P1P2P1P2的的大大地地线线长长S S和和大大地地方方位位角角A1A1、、A2A2 应用大地测量学应用大地测量学（二）解算方法（二）解算方法（二）解算方法（二）解算方法 1 1、、按按解解算算的的距距离离分分为为：：短短距距离离（（<400km)<400km)、、中中距距离离（（400400～～1000km)1000km)和长距离（和长距离（10001000～～2000km)2000km)的解算 2 2、按、按解算形式解算形式分为：直接解法和间接解法分为：直接解法和间接解法 直直接接解解法法————直直接接解解求求点点B B、、A A和和相相邻邻起起算算点点的的大大地经差 间间接接解解法法————先先求求大大地地经经差差、、纬纬差差和和大大地地方方位位角角差差，，再再加加入入到到已已知知点点的的相相应应大大地地数数据据中中主主要要用用于于短短距离大地问题的解算距离大地问题的解算 §5.5.1 §5.5.1 概述概述 应用大地测量学应用大地测量学（二）解算方法（二）解算方法（二）解算方法（二）解算方法 3 3、、高高斯斯平平均均引引数数大大地地问问题题解解算算公公式式（（间间接接解解法法，，适适用用于短距离）。

于短距离） 基本思路：基本思路： a a、、按按照照平平均均引引数数展展开开的的泰泰勒勒级级数数把把大大地地线线两两端端点点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长S S的幂级数；的幂级数； b b、、利利用用大大地地线线微微分分方方程程推推求求幂幂级级数数中中各各阶阶导导数数，，最终得到大地问题解算公式最终得到大地问题解算公式 §5.5.1 §5.5.1 概述概述 应用大地测量学应用大地测量学§5.5.1 概述概述§5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式§5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式§5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式§5.5 §5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 应用大地测量学应用大地测量学 按照泰勒级数将按照泰勒级数将P1P1和和P2P2两点的纬差两点的纬差b b、经差、经差l l和方位和方位角差角差αα展开成为大地线长度展开成为大地线长度S S的幂级数，成为的幂级数，成为勒让德级勒让德级数式数式 公式（公式（5-635-63）） 公式（公式（5-695-69）） 公式（公式（5-705-70）） 公式（公式（5-715-71））§5.5.2 §5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式 应用大地测量学应用大地测量学§5.5.1 概述概述§5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式§5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式§5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式§5.5 §5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算§5.5.3 §5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式 应用大地测量学应用大地测量学（一）基本思想（一）基本思想（一）基本思想（一）基本思想 首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在P1P1点展开改为在点展开改为在大地线长度中大地线长度中点点M M展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高；展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高； 其次，考虑到求定中点其次，考虑到求定中点M M的复杂性，将的复杂性，将M M点用大地线点用大地线两端的两端的平均纬度及平均方位角相对应的平均纬度及平均方位角相对应的m m点点来代替，并来代替，并借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解。

借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解 应用大地测量学应用大地测量学（二）高斯平均引数正解公式（二）高斯平均引数正解公式（二）高斯平均引数正解公式（二）高斯平均引数正解公式推求步骤：推求步骤：推求步骤：推求步骤：1 1、经差、经差l l、纬差、纬差b b、方位角差、方位角差a a是是S S的函数，故可以将其的函数，故可以将其展为展为S S的泰勒级数（按平均引数在的泰勒级数（按平均引数在 S/2 S/2处展为处展为S S的幂级的幂级数）2 2、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将dL/dSdL/dS以以BmBm、、AmAm按泰勒级数展开按泰勒级数展开3 3、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数4 4、将系数代入平均引数公式将系数代入平均引数公式5 5、由于、由于B2B2、、A2A2未知，未知，BmBm、、AmAm精确值未知，可通过逐次精确值未知，可通过逐次趋近法求出一般三次即可趋近法求出一般三次即可 §5.5.3 §5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式 应用大地测量学应用大地测量学（三）计算公式（三）计算公式（三）计算公式（三）计算公式一般公式：一般公式： 公式（公式（5-895-89））实用公式：实用公式：距离小于距离小于70km70km时，采用简化公式：时，采用简化公式：公式（公式（5-905-90）） §5.5.3 §5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式 应用大地测量学应用大地测量学§5.5.1 概述概述§5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式§5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式§5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式§5.5 §5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算§5.5.4 §5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式 应用大地测量学应用大地测量学高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式推求步骤：推求步骤：推求步骤：推求步骤：1 1、已知两点间的纬差、已知两点间的纬差b b、经差、经差l l和平均纬度和平均纬度BmBm，导出，导出 SsinAmSsinAm和和 ScosAm ScosAm，求，求a″a″。

2 2、由、由SsinAmSsinAm、、ScosAmScosAm和和 a a计算计算S S和和A1A1、、A2A2计算公式：计算公式：计算公式：计算公式： 公式公式（（5-935-93）、（）、（5-965-96））第五章 复习思考题1名词定义：地球椭球、椭球定位、法截线、名词定义：地球椭球、椭球定位、法截线、子午圈、卯酉圈、相对法截线、大地线、垂线子午圈、卯酉圈、相对法截线、大地线、垂线偏差改正、标高差改正、截面差改正、大地问偏差改正、标高差改正、截面差改正、大地问题正解、大地问题反解题正解、大地问题反解写出N、、M、、R及子午圈弧长、平行圈弧长及子午圈弧长、平行圈弧长的计算公式，说明式中符号的意义的计算公式，说明式中符号的意义大地线微分方程的意义大地线微分方程的意义地面观测值（方向、距离）归算至椭球面地面观测值（方向、距离）归算至椭球面应加哪些改正？应加哪些改正？第五章第五章 习题习题1已知图幅已知图幅I-50-67中中A、、B点的大地纬度点的大地纬度B=34°20′、、34°，求相应的，求相应的M、、N、、R计算图幅计算图幅I-50-67图廓长度图廓长度。

117°00′117°30′34°00′34°20′34°20′117°00′117°30′34°00′I-50-67ABCD。