线性代数：第三章 释疑解难.ppt

释释 疑疑 解解 难难 1. 1. 一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵有何异同阵、标准形矩阵有何异同? ? 答答 它们的共同点是它们的共同点是: : 1) 阶梯数相等,且等于矩阵的秩; 2) 每个阶梯上只有一行, 每条竖线后的第一个元素不等于零; 3) 阶梯线以下的所有元素都是零.它们的不同点是它们的不同点是: : 行最简形矩阵要求每个阶梯上的第一个非零元为 1 , 且第一个非零元所在的列上的所有元素全都为零;标准形要求所有的非零元都为1. 如. 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 其特点是：阶梯线以下的元素全是，台阶数即为非零行数, 竖线后面的第一个元素为非零元 . 行最简形矩阵行最简形矩阵 其特点是：非零行的第一个非零元为，且这些非零元所在的列的其它元素都为. 标准形矩阵标准形矩阵 其特点是：左上角为一单位矩阵,其它位置上的元素全都为 0 . 2. 2. 一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明. . 答答 矩阵的行阶梯形矩阵不唯一, 而其行最简形矩阵和标准形矩阵是唯一的. 如则 A1, A2 都是 A 的行阶梯形矩阵, A3 是 A 的行最简形矩阵, A4 是 A 的标准形矩阵. 3. 3. 如果一个如果一个 mm n n 矩阵矩阵 A A 的秩是的秩是 r r , ,试问是试问是否有否有: : (1) (1) A A 的任何阶数不超过的任何阶数不超过 r r 的子式都不等于的子式都不等于零零? ? (2) (2) A A 的任何阶数大于的任何阶数大于 r r 的子式都等于零的子式都等于零? ? 答答 (1) (1) 按矩阵秩的定义, 此时 A 中存在一个不为零的 r 阶子式, 再注意到行列式按一行(列)展开的定理, 可知 A 中必有不为零的 1, 2, . , r-1 阶子式存在,但未必 A 中一切 1, 2, . , r 阶子式都不为零. 例如易知 R(A) = 3 , 而 A 等于零的 1, 2, 3 阶子式都是存在的. (2)(2) 结论是肯定的. 否则 R(A) r. 4. 4. 若可逆矩阵若可逆矩阵 A A 作下列变化作下列变化, , 则则 A A-1-1 相应地相应地有怎样的变化有怎样的变化? ? (1) (1) A A 中中 i i 行与行与 j j 行互换行互换; ; (2) (2) A A 中中 i i 行乘以非零数行乘以非零数 k k; ; (3) (3) A A 中第中第 i i 行乘以数行乘以数 k k 加到第加到第 j j 行行. . 答答 (1) (1) 因为 (P(i, j)A)-1 = A-1P(i, j)-1 = A-1P(i, j), 所以,对 A交换 i, j 两行后的逆,等于 A-1 交换 i, j 两列. (2)(2) 因为 P(i(k)A-1 = A-1P(i(1/k),所以 A 的第 i 行乘以 k 以后的逆, 等于 A 的逆的第 i 列乘以 1/k. (3)(3) 因为 P(ij(k)A-1 = A-1P(ji(-k),所以 A 的第 j 行乘以数 k 加到第 i 行后的逆, 等于A-1 的第 j 列乘以 (-k) 加到第 i 列. 5. 5. 求矩阵求矩阵 A A 的秩时的秩时, , 是否可对是否可对 A A 同时施行同时施行初等行变换和初等列变换初等行变换和初等列变换? ? 答答 可以.因为初等变换不改变矩阵的秩. 6. 6. 能否用初等列变换求矩阵能否用初等列变换求矩阵 A A 的逆阵的逆阵? ? 答答 可以. 其方法是: 把 A 和 E 构成 2nn 矩阵然后对其进行初等列变换, 使上面的 n 阶方阵变成单位方阵, 则下面的 n 阶方阵即为 A 的逆阵 A-1, 即初等列变换 7. 7. 用初等行变换法求矩阵用初等行变换法求矩阵 A A 的逆阵时的逆阵时, , 如何如何判断判断 A A 是否可逆是否可逆? ? 答答 若 n2n 矩阵 ( A E) 经有限次初等行变换后, 左边的 n 阶矩阵能化成单位矩阵, 则表示 A 可逆, 否则表示 A 不可逆.但在求逆时, 不能同时使用两种初等变换, 即不能交叉使用初等行变换和初等列变换.一般我们习惯用初等行变换法求逆. 8. 8. 如何用初等行变换法求解非齐次线性方程如何用初等行变换法求解非齐次线性方程组组? 答答 用初等行变换法求解非齐次线性方程组时, 先把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵. 由行阶梯形矩阵容易得出它的系数矩阵和增广矩阵的秩, 若它们不等, 则方程组无解; 若它们相等,则方程组有解,这时, 需把增广 矩阵进一步化成行最简形矩阵; 其次,写出行最简形矩阵所对应的方程组,并把行最简形矩阵中每个阶梯上的第一个1所对应的变量保留在左边,其余变量移到右边作为自由变量; 最后令自由变量等于任意常数,即可得方程组的解. 9. 9. 从矩阵从矩阵 A A 中划去一行得到矩阵中划去一行得到矩阵 B B, , 问问 A A、B B 的秩的关系怎样的秩的关系怎样? ? 答答 R(A) R(B) R(A) - 1 . 当划掉的这一行可由其它行通过运算得到时, 不改变矩阵的秩, 即 R(A) = R(B),这时划掉的这一行为矩阵 A 的行阶梯形矩阵中的零行; 否则秩会改变, 且 R(B) = R(A) - 1.这时划掉的这一行为矩阵A 的行阶梯形矩阵中的非零行. 如划掉第 3 行此时 R(A) = R(B) = 2. 因为r3 + r1 - r2显然, R(A1) = R(B), 而 R(A) = R(A1), 故 R(A) = R(B). 又如划掉第 3 行 行 变 换因为 R(A) = 3, 而 R(B) = 2, 故 R(A) R(B) . 10. 10. 如何利用矩阵的初等行变换解矩阵方程如何利用矩阵的初等行变换解矩阵方程 AX = BAX = B其中其中 A A 为可逆方阵为可逆方阵. . 解解 因 A 可逆, 所以 X = A-1B. 又由 A-1(A B) = (E A-1B)而 A-1 为可逆矩阵, 故有 A-1 = P1P2 . Pl , 其中 Pi (i=1, 2, . l) 为初等矩阵, 则 A-1(A B) = P1P2 . Pl(A B) = (E A-1B)这说明若对矩阵 (A B) 施行初等行变换, 当把 A 变为 E 时, B 就变为 A-1B, 也即为所求的矩阵 X.本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! !若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .。