椭圆离心率求法总结.doc

椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=②e=③e=④e=⑤e=DBFOBBBAPQ评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= ∴有③题目1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？BAF2F1思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=cc+c=2a ∴e= = -1 变形1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2 F2F22解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=-1 变形2: 椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？BAF2F1PO 解：∵｜PF1｜= ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=aPF2 ∥AB ∴= 又 ∵b= ∴a2=5c2 e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆 +=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?FBAO 解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)变形：椭圆 +=1(a>b >0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题答案：90°引申：此类e=的椭圆为优美椭圆性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式题目3：椭圆 +=1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：两式相除 =e=题目4：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

解：由正弦定理： = = 根据和比性质：= 变形得： == ==e∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e= =点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=变形1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-αe===≥ ∴≤e<1变形2：已知椭圆+ =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,-1)共线，求e?B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2= y1+y2=-2c= +=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e= 法二：设AB的中点N，则2=+ ① -② 得：=- ∴1=- (-3) 既a2=3b2 e=四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。

题目6：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足1·2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？F2MF1O分析：∵1·2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点解：∴c2c2 ∴0b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？MPF2F1O分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 则1 =-( +c, y0 ) 2 =-( -c, ) 1·2 =0 ( +c, y0 ) ·( -c, )=0 ( +c)·( -c)+ =0a2-3c2≤0 ∴≤e<1解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c ｜PF2｜≥-c 则2c≥-c 3c≥3c2≥a2 则≤e<1设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。