1.3函数的连续性医学高等数学课件.ppt

§ 1.3 函数的连续性,Part 1 函数的连续性Part 2 连续函数的运算与 初等函数的连续性Part 3 闭区间上连续函数 的性质,Part 1 函数的连续性,一、连续函数的概念 二、间断点及其分类三、实例分析,一、连续函数的概念1、函数的增量,增量可能是正值也可能是负值,注意,2.函数连续性的定义,3.左连续与右连续,证明：根据极限理论可知，函数 f(x)在点x0处极限存在的充分必要条件是函数 f(x)在点x0处的左、右极限存在而且相等将极限值换成函数值 f(x0）即得上述定理的结论强调：根据函数连续的定义，即有 在连续函数中，极限符号可与函数符号任意交换4.连续函数,注意,连续函数的图象称为连续曲线注意：定理 1主要用来解决分段函数在分段点处的连续性例1 证明函数 y=x2 在（-，+）内连续 证明：令函数 f(x)=x2 ，则 f(x)在任意点 x0处的函数值为 x02, 而f(x)在点x0处的极限是 所以 由 x0的任意性可知，函数 y=x2 在（-，+）内连续。

例2 确定常数A、B，使函数 在（-，+）内连续证明：当 x<0 时， f(x)=ex ,对于任意的x0以及x0+x ，有,从而有极限 所以函数 f(x)在（-,0 ）内连续同理，对于任意的常数A、B，函数 f(x)=Ax+B 在（0, +）内也连续 现在我们来讨论函数 f(x) 在x=0处的连续性由定义可知f(0) =1，在x=0处的左、右极限分别,因此，对于任意的常数 A，只要 B =1，即可使得函数 f(x)在x=0处左连续和右连续，由定理1可知，这时函数 f(x)在x=0处连续综上所述，当A任意， B =1时，函数 f(x)在（-，+）内连续它的几何意义如图所示二、函数的间断点1.定义,2.间断点的分类,第一类间断点 若x0是f(x)的间断点,且在x0处的左、右 极限都存在,则点x0是f(x)的第一类间断点.,(2) 第二类间断点 若x0不是f(x)的第一类间断点,则点x0是f(x)的第二类间断点.,在第一类间断点中，即函数 f(x)在x0的左、右极限存在，再细分可有如下两种间断点： (1)当函数 f(x)在x0的左、右极限存在且相等 时，称x0为函数 f(x) 的可去间断点。

(2)当函数 f(x)在x0的左、右极限存在但不相等时，称x0为函数 f(x) 的跳跃间断点例1 讨论函数 的间断点类型 解：当 x<1 时， f(x)=x2 , 此时函数没有间断点；同理，当 x>1 时， f(x)=2x2 +1 , 此时函数也没有间断点 现在我们着重分析函数在 x=1 时的连续情况，由函数的定义有 f(1)=3 另外容易求得，函数 f(x)在 x=1处的左极限为1，右极限为3 显然， 此时函数不连续，即x=1是函数的间断点，而且是一个跳跃间断点这种间断点称为振荡间断点，属于第？类间断点,例3 讨论函数 y=ln |x | 在x=0处的连续性.解：显然，函数在x=0是不连续的，它在该点的左右极限都是无穷大，我们称这样的间断点为无穷间断点三、实例分析,例4. 讨论函数 在x=处的连续性解：由重要极限 可知，在x时，具有极限 由连续的定义可知，函数在x=处连续。

例5 讨论函数 的连续性解：根据函数的定义，当 x=±1时，f(±1)=0; 当 |x |<1时，f(x)=x; 当 |x |>1时，f(x)=-x；即 显然，当 |x |<1时，函数f(x)=x 是连续的;,当 |x |>1时，函数 f(x)= -x也是连续的当 x=±1时，函数的左右极限存在但不相等，所以函数是间断的，并且是跳跃间断点如图,,例6 指出下列函数的间断点，并说明间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变该点的定义，使它变为连续点解：（1）因为 所以 x=1, x=2是函数的间断点，并且x=1是函数的可去间断点，补充定义 f(1)=-2 即可连续 , x=2是函数的无穷间断点2）函数 在 处没有定义，从而这些点都是函数的间断点其中 x=0 以及 是函数的可去间断点，补充定义 f(0)=1 以及 即可连续， 而在 点处是函数的无穷间断点。

3） x=0 是函数的振荡间断点4） x=0 是函数的可去间断点，补充定义 f(0)=1 即可连续 5） 是函数的无穷间断点6） x=0 是函数的跳跃间断点Part 2 连续函数的运算与初等函数的连续性,一、连续函数的四则运算 二、反函数的连续性三、复合函数的连续性四、初等函数的连续性,一、连续函数的四则运算,定理 1. 如果函数 f(x) , g(x)都在x=x0处连续 , 则有如下结论 (1) f(x) g(x)在x=x0处连续 ； (2) f(x)  g(x)在x=x0处连续 (3)如果函数 f(x) , g(x)都在x=x0处连续 , 且g(x0)  0 ，则它们的商 f(x) / g(x) 在x=x0处连续 注意：上述定理的结论可以推广到任意有限个 函数的情况定理2 一切基本初等函数在其定义域内都 是连续的。

二、反函数的连续性,定理 3. 严格单调连续函数的反函数是严格单调连续函数根据上述定理，由函数 y=sinx在闭区 间 上严格单调增加且连续， 可 知其反函数 y=arcsinx 在闭区间[-1,1]上也是严格单调增加且连续的三、复合函数的连续性,定理4. 设函数 u=(x) 在xx0时的极限为a ,即 而函数 y=f(u)在点 u=a 处连续，则复合函数f[(x)] 当xx0时的极限也存在且等于f(a), 即,定理5 . 设函数 u=(x) 在点x=x0时连续 ,且(x0)=u0，而函数 y=f(u)在点 u= u0处连续，则复合函数f[(x)] 在点x=x0时也连续 即,例 讨论函数 的连续性 解：已知该函数在x=0处为振荡间断点，现在我们来讨论x 0时的连续性 该函数可看作是由函数 y=sinx 和函数y=1/x 复合而成的复合函数，而函数y=sinx 是(-,+)内的连续函数，函数y=1/x 是(-,0) 和 (0,+) 内的连续函数，于是由定理5 可知，本例中的函数在(-,0) 和 (0,+) 内是连续的。

四、初等函数的连续性,通过前面的讨论已经知道，所有基本初等函数在其定义域内都是连续的，由它们进行有限次的四则运算和有限次的复合所形成的函数仍然是连续的即定理 6 初等函数在其定义域的任何区间内都是连续的注意：如果初等函数的定义域中含有孤立点，则初等函数在这些孤立点处是不连续的不过这种情况是不多见的，一般被忽略例如 ,其定义域中只有一个点x=0 练习：指出下列函数中那些是初等函数，并讨论它们的连续性,Part 3 闭区间上连续函数的性质,一、最大值最小值定理 二、介值定理三、实例分析,一、 最大值最小值定理,定理1. 如果函数 y=f(x)在闭区间[a ,b]上连续, 则在闭区间[a,b] 上必存在x1 ，x2，使得对任意的x[a ,b]，恒有,,,,x,y,o,,,x1,x2,,,a,b,f(x),通俗地说就是：闭区间上的连续函数在该区间上必有最大值和最小值它的几何意义如图所示推论：闭区间上的连续函数在该 区间上必有界但反之不真)注意：在上述定理以及推论中， 区间为闭，函数为连续是两个 必不可少条件，否则其结论可 能不真。

例1 对于下列函数，讨论应用最大值与最小值定理的正确性解：（1）应用定理正确，最大值为1，最小值为 0.5； （2）函数在[-1，2]上不连续，不能应用该定理； （3）区间为开区间，不能应用该定理； （4）函数在[1，2]上不连续，不能应用该定理例2 函数 虽然在[-1，1]上不满足最大值与最小值定理的条件，但在 [-1，1]上确实存在最大值-1和最小值1由此可以看出，函数在闭区间上连续只是存在最大值和最小值的充分条件，而不是必要条件二、介值定理,定理2. 设函数 y=f(x)在闭区间[a ,b]上连续, m和M为函数在闭区间[a,b] 上的最小值和最大值，且m

如图所示推论：（零点定理）若 y=f(x)在 [a ,b]上连续, 且f(a)•f(b)<0, 则至 少存在一个 （a ,b），使得 f()=0这样的 称为函数的零点 该推论的几何意义是，当一条连续曲线的两端分别位于x轴的两侧时，该曲线至少穿过x 轴一次例,练习：1、证明方程 x5-3x= -1 在区间[0，1]内至少存在一个根 2、证明方程 x5-3x= -1 在区间[0，2]内至少存在两个根。