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寻找最速降线,数学实验,上海交通大学 数学系,数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现直线真理之间的新的接触点. ── C.F.Guass,数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益. ── R.C.Buck,1696年John Bernoulli向他的兄弟和其他,数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:,一质量为m的质点，在重力作用下从定点A,沿曲线下滑到定点B，,试确定一条曲线，使得质,点由A到B下滑时间最短.,假定B比A低，不计摩擦力,和其他阻力等因素.,问题导致数学新分支的产生.,问 题,近似方法,如图建立坐标系,设A为原点,,B为(c,H),将带状区域0 y H,,用平行于x 轴的直线y=yk=kH/n,把这区域分成n个带状小区域,在带状域yk-1yyk ,可近似认为,而曲线段近似认为是直线段,其长度,于是质点从A到B所需时间近似为,(n -1元函数!),求这个函数的极小值, 就得到问题的近似解(为简单,计,取g =1000cm/s2),,In[1]:=,Out[1]:=,,In[3]:=,In[4]:=,Graphics,一个辅助结论,设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的,,显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点,OC=x 那么质点由A1到A2需时间,如图，若A1,A2到l 的垂足分,上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？,别为O,D, A1,A2 到l的距离分别,为a, b, OD =c, 质点经过l于C,何时越过l ？,惟一驻点满足,也即,这就是光学中的Snell折射定律,建立数学模型,分析；如图建坐标系，,AB 分割成小段, 考虑在第k,层与k+1层质点在曲线上的下,滑，依能量守恒律，可近似,认为质点在每层内的速度不,变，于是依辅助结论知,由于上式对任何k成立，,故导出,若用与x 轴平行的直线将,令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线,上任何一点,其中a为该点切线与铅垂线,的夹角,由于,其中y=y(x)为曲线函数，又因,于是得到,最速降线的方程：,另一种方法－变分法,设曲线为,满足 y(0)=0, y(c)=H,在曲线上P(x,y）处质点速度为,又设从A到P的弧长为s,则,,从而质点沿曲线由A到B需时间,设集合,那么我们的问题成为,求某个,使得,引进集合,显然若,是最速曲线函数,则,于是函数,在,,取得最小值,故得,为了计算,,记,那么对,依复合函数求导法,注意第二项,于是导出,由于,的任意性,得到,上式乘以,可化为,这里,代入方程且化简,得到,也就是说,满足方程,解方程,令 y’ = cott , 那么由方程导出,又因,从而,由x=0时,y=0,且注意,, 故C2 = 0, 于是令,由 x=c,y=H 得到,求出根,再确定 R,(旋轮线),下降所需时间,计算弧微分,从而下降时间,实验任务,1. 给定c和H,试用近似方法求出最速降线的曲线,和下降时间,再确定参数方程中的常数R(和,后得到曲线和时间,将两种结果比较.,2. 在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从,A 到B的曲线,使得这曲线绕l旋转所得的旋转面,的面积最小,3. 伽利略做过著名的单摆实验:长度l的单摆的摆动,周期与振幅无关, 试分析情况是否如此?,线上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所,4. 如果将坐标系的y轴向下,作出旋轮线,设质点从,需时间,5. 圆柱面方程为,用曲线连接面上A(0,0,1),B(a,b,c)两点,求使得,AB弧长最短的曲线(短程线),。