
5-3 全同粒子系统波函数的交换对称性.pdf
3页1 5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性 5.3.1 多粒子体系的描写 假设我们有N个粒子组成的体系,那么体系的波函数应该和所有粒子的坐标以及时间有关,即 12 ( ,,,; ) N q t ,其中的“坐标”q包括了粒子的空间坐标r 和其它一些内部的量子数(比如 自旋) 体系的 Hamiltonian 是 2 2 1 1 ˆ ( )( ,,), 2 N iiiN ii HU qV m 其中包括了各个粒子的动能、在外场中的势能以及粒子和粒子之间的相互作用,由此即可写下体系的 Schr dinger 方程 5.3.2 全同粒子的不可区别性 现在假设多粒子体系中的N个粒子是全同粒子 全同粒子就是质量、电荷、自旋等内在性内在性质质完全相同的粒子全同粒子体系例如多电子原子中的电 子、固体中的公用电子、原子核中的核子、处在同一个势中的许多原子、等等显然,对于全同粒子体 系,Hamiltonian 中的 i m都相同, i q也都有相同的组成但是在量子力学中,全同粒子体系与非全同粒 子体系有更深刻的区别 在经典力学中,即使两个粒子是全同的,它们也仍然是可区别的,因为它们各有自己的轨道。
但是 在量子力学中,轨道失去了意义,粒子的状态用波函数描写当两个粒子的波函数在空间中发生重叠的 时候,我们无法区分哪个是“第一个”粒子,哪个是“第二个”粒子所以在量子理论中有全同粒子不全同粒子不 可区别性原理可区别性原理: 当一个全同粒子体系中各粒子的波函数有重叠的时候,这些全同粒子是不可区别的当一个全同粒子体系中各粒子的波函数有重叠的时候,这些全同粒子是不可区别的 5.3.3 波函数的交换对称性和粒子的统计性质 对全同粒子体系的波函数引入交换算符 ij P ˆ ,它的作用是把第i个粒子和第j个粒子交换位置: ˆ (,,,,; )(,,,,; ),() ijijji Pttij 那么全同粒子的不可区别性告诉我们:这样交换以后的状态与原来的状态是不可区分的,所以 ˆ ,() ij PCC 是常数 而 , ˆˆ ijijP P 所以, , 1 2 C 解得 11,C 或者 也就是说, ˆ .() ij Pij 或者对任何 假如 ˆ , ij P 则称为交换对称波函数;假如 ˆ , ij P 则称为交换反对称波函数。
交换对称或反对称是全同粒子体系波函数的特殊的、固有的性质,因此也是微观粒子的特殊的、固 有的性质它决定了粒子所服从的统计实验表明,粒子的统计性和它的自旋有完全确定的关系 自旋为整数的粒子,波函数是交换对称的,服从 Bose-Einstein 统计,称为玻色子(boson)例如光子 (自旋为 1) 、介子(自旋为 0) 自旋为半整数的粒子,波函数是交换反对称的,服从 Fermi-Dirac 统计,称为费米子(fermion)例如 电子、质子、中子(自旋都是2/1) 原子核、原子、分子这样的粒子是由质子、中子、电子这些更基本的粒子组成的,称为复合粒子 决定复合粒子的统计性质的规则是:如果一个复合粒子包含偶数个费米子,那么它是玻色子;如果它包 含奇数个费米子,那么它还是费米子;它包含的玻色子的数目对此没有影响这个规则从交换对称性的 2 角度来看是不难理解的,而且,偶数个费米子的总自旋一定是整数,而奇数个费米子的总自旋一定是半 整数,所以这个规则也和自旋-统计性关系一致 对于全同粒子体系,它的 Hamiltonian 变成了 2 2 1 1 ˆ ( )( ,,), 2 N iiN i HU qV m 其中的m和( )U q对所有的粒子都一样, 1 ( ,,) N V 对任何两个粒子的交换也不变, 所以交换算符 ij P ˆ 和这个 ˆ H是对易的: ˆˆ [,]0. ij P H 这意味着 ij P ˆ 是守恒量,也就是说,只要在初始时刻波函数具有某种交换对称性,那么在此后的任何时 刻它永远保持同样的交换对称性。
所以,波函数的交换对称性是与量子力学的基本动力学相容的 5.3.4 交换对称或反对称波函数的构成 泡利(Pauli)不相容原理 一般地说,一个全同粒子体系的波函数是解 Schr dinger 方程得到的,原始的解未必有确定的交换 对称性所以我们要对它进行对称化或反对称化这里我们只考虑比较简单的情形:无耦合体系,即体 系的总波函数是单个粒子波函数的乘积: ).()(),,( 111NNN 这称为独立粒子近似以二粒子体系为例,未进行对称化或反对称化的波函数是 I121122 ( ,)()(),q q 假设 1 和 2 是不同的函数,那么对称化的波函数是: S1211221221 1 ( ,)()()()() , 2 q q 而反对称化的波函数是: A1211221221 1 ( ,)()()()() . 2 q q 所以,对于不可区别的粒子,我们只能说体系中“有一个粒子处在状态 1 ,一个粒子处在状态 2 ” , 而不能说“第一个粒子处在状态 1 ,第二个粒子处在状态 2 ” 类似的方法可以推广到N个粒子的体系。
特别是,N个费米子的反对称化波函数是: . )()()( )()()( )()()( ! 1 ),,( 21 22212 12111 1A NNNN N N N q q q N 这称为 Slater 行列式从这个表达式很容易看出:如果在 N ,, 1 当中有任何两个是相同的函数,那 么0),,( 1A N 所以我们有 Pauli 不相容原理不相容原理:不可能有两个或更多的费米子处于完全相同的量子状态中不可能有两个或更多的费米子处于完全相同的量子状态中 要注意这是一个纯量子力学的原理,在经典力学中不存在对应的概念多粒子体系的对称化波函数的构 成要复杂得多,它强烈地依赖于 N ,, 1 当中有多少个是相同的,这里不再细讲 波函数的对称化或者反对称化会对系统的性质产生重要的影响假设q是粒子的空间坐标,让我们 考虑一个双粒子体系的两个粒子的位置互相重合( 12 rrr)的几率对于波函数 I12 ( ,)r r,这个几 率是 2 12 |( )( )|rr,对于交换对称波函数 S12 ( ,)r r,它是 2 12 2|( )( )|rr,而对于交换反对称波函 数 A12 ( ,)r r,它是0。
所以,空间波函数的对称化使得粒子趋向于互相靠拢,而反对称化使得粒子趋 向于互相远离注意,这完全是统计的规律统计的规律在起作用,实际上并不存在粒子之间“实在的”相互作用, 但是它显然也有物理上可观察的效应比如:所谓 Bose-Einstein 凝聚,就是全同玻色子系统在统计规律 的作用下在温度接近绝对零度时发生的大量粒子凝聚在基态的现象,而在白矮星和中子星中因统计规律 产生的费米压强抵抗了万有引力产生的引力坍缩而使星体保持平衡 Pauli 不相容原理在解释多电子原子 中的电子壳层、固体中的能带填充、化学中的两电子共价键等等现象方面起了决定性的作用在自然界 3 这个大厦中,费米子起着砖块的作用,而玻色子起着粘合剂的作用,它们合一起构建出了我们所看到的 如此丰富多彩的宇宙世界,二者缺一不可 *5.3.5 自由电子气 费米面 考虑由N个无相互作用的电子构成的系统,这样的系统称为自由电子气假设系统占有的体积是 V,系统中的电子都处在动量本征态根据动量本征函数的箱归一化方法,在动量空间中,动量本征值 都出现在以/h L为晶格常数的立方晶格上, 所以一个量子态平均占有的体积是 33 /()hV VL(只考虑 粒子的空间运动) 。
电子的能量是 2 /2pm,在温度0KT 的时候,由于电子是费米子,所以系统 中的电子将从0的能级开始填充,一直填充到某个 F (称为费米能量)的能级,对应的电子动 量是 FF 2pm动量空间的体积元 2 p dpd对方向积分以后成为 2 4 p dp,所以有关系 F 2 FF 3 0 8,(2) pV p dpNpm h 其中4变为8的原因是每一个空间运动状态可以容纳自旋向上和向下的两个电子,这就决定了系统 的费米能量为 2/3 2 F 3 , 28 hN mV 对应的电子动量为 1/3 F 3 . 8 N ph V 在动量空间中以 F p为半径的球面称为费米面所以,在0T 时,系统中的电子将填满被费米面包围的 一个球体,当温度升高时,将首先是靠近费米面的那些电子被激发到费米面之外这个图像能够说明自 由电子气的许多性质费米面是固体物理中的一个重要概念 。












