运用天球模型画太阳周日视运动轨迹并研判.doc

1载于《数学通报》2014 年第 2 期运用天球模型画太阳周日视运动轨迹并研判汪和平 （安徽省潜山野寨中学 246309）太阳周日视运动轨迹通常运用定性画法，难以准确研判太阳与地球的相对运动规 律．笔者运用不同天球模型及其转换画出太阳周日视运动轨迹，从图中能准确研判极昼极 夜、日出日落方位角、日出日落日刻、日照时间、正午太阳高度角等自然现象． 1 1 天球模型的数学分析天球模型的数学分析 1.11.1 天球天球 以空间中某一定点为球心，一般情况下天体与该球心之间的距离是无穷远的，故以足 够远的距离为半径作一个球面，天体的位置可用天体投影在这个球面上的图像表示．为了 精确表达天体的位置，人们通常取定该球中一个大圆为基本大圆，并取与之垂直的直径为 轴，用天体在该球中所对应的半径与基本大圆所成线面角（如太阳高度角），及与基本大 圆都垂直的两相交大圆所成的二面角（如太阳方位角）来表示天体的位置，天文学上称这 样一个球面为天球．常见的天球模型有：(1)黄道坐标系天球：以地心或日心为球心，黄道 面（即地球公转面）为基本大圆的天球；(2)赤道坐标系天球：以地心为球心、赤道为基本 大圆、地球自转轴NS为轴的天球；(3)地平坐标系天球：人们仰望天空时，直观感觉到与地 平线相接的称之为“天穹”的半个球面就是天球的一部分，该天球的球心是地球球面上的 观测点，基本大圆是地平圈，也就是与地球球面相切于观测地的一个平面，地平圈的铅垂 线为轴，轴与天球的交点为天顶和天底，地平圈以上的半球称为日半球，以下的半球称为 夜半球，一般地，不同纬度观测地的地平坐标系天球是不同的． 我们是用角度而不是距离来度量天体的在天球上的位置，天体在天球中的位置与所画 天球半径大小无关，因此度量同一天体在不同天球中的位置及它们之间的关系时，可将两 天球半径画成相等，且若两个天球球心之间的距离相对于天球足够大的半径来说很小时， 可将天球球心画成重合，也就是说球心位置的小距离移动并不改变天体在该天球中的位 置．如地心赤道坐标系天球与北极地平坐标系天球，基本轴重合、基本大圆互相平行，由 于太阳距离地球很远，太阳照射到地球的光线是平行，因此同一时刻太阳在这两个坐标系 天球中位置（角度）是相同，可认为两天球是相同的． 1.21.2 太阳与地球相对运动在天球中的表示太阳与地球相对运动在天球中的表示 地球与太阳之间的位置关系与地球的运动有关．地球的运动主要有两种：绕过南北两 极的地轴NS的自转运动和绕太阳的公转运动．地球自转从北往下看是逆时针（自西向东） 方向，这导致太阳周日运动．由于黄赤交角的存在，地球公转运动使太阳直射点在地球上 南北来回移动，移动范围为[-23º26 12 ，23º26 12 ]，一年一个周期，即太阳的周年运'“'“ 动，导致地球上出现一年四季变更现象．如图1所示的赤道坐标系天球中，太阳周年运动轨 迹在此天球中表示为黄道大圆，黄道大圆与赤道大圆相交于春分点P和秋分点Q，夹角为23º26 12 ．当太阳在黄道大圆上运动到与PQ垂直的直径的两端点时，太阳分别在赤'“12Z Z道坐标系天球的北、南回归线上，为地球上的二至（夏至与冬至）日．当某日太阳运动到 黄道大圆上的B点，则赤道坐标系天球中过B点的纬线圆是该日太阳周日运动轨迹(的近似)，表示太阳一天24小时的运动，其纬度为太阳直射纬度，若B地位于北半球，取正值，2若B在南半球，取负值，该圆半径，该圆与赤道圆的距'cosO BR离．'sinOOR图1 图2 1.31.3 两运动轨迹在两个天球中的转化两运动轨迹在两个天球中的转化 由于地球球面上的人习惯于凭自己的感官判断太阳在天空中的位置，太阳在不同的观 测地A的地平坐标系天球中的运动轨迹称为该地太阳周日视运动轨迹．设观测地A的纬度为，若A点在北半球，，若A点在南半球，．在地平坐标系天球中，除两极外，00 其基本大圆和轴与赤道坐标系天球的赤道和地轴的夹角均为；由于周日运动轨迹90 与赤道重合或平行，所以太阳周日运动轨迹也与地平圈成．90 过A地的经线指示南（S）北（N），纬线指示东（E）西（W），赤道面、太阳周日运动 轨迹、A地地平圈都与过A地的经线面垂直．如图2，以NS为直径、A为圆心的水平大圆为A地 地平圈，将赤道坐标系天球的球心移至A点（或将A点移至地球球心），使赤道坐标系天球 与A地地平坐标系天球球心重合，半球相等．设平移后赤道坐标系天球中的太阳周日运动轨迹圆与地平圈交于FH；UV为太阳周日运动轨迹与FH垂直的直径，也是太阳周日运动轨迹'O 与A地经线面的交线；UV与NS均在A地经线面内，它们所成的角为太阳周日运动轨迹与A地地平圈交角的平面角，为．若将A地经线面直立横向放置，由作图习惯知：面内几何90 元素的位置与度量关系与实际一致．设UV与NS交于J，则= =，由于SJV90'O JA平移球心、半径不变，所以，（），''sinAOOORsin cosRAJ 90 ．2'2 cosUVO BR图2中以为圆心、UV为半径的圆是太阳周日运动轨迹在A地地平坐标系天球中的图像，'O所以它就是太阳直射纬度、观测地纬度为的A处的太阳周日视运动轨迹．2 2 太阳周日视运动轨迹画法太阳周日视运动轨迹画法 2.12.1 画法画法 结合以上数学分析，可按下列步骤画太阳周日视运动轨迹，如图2： (1) 画地平圈：画出半径为R的半球A（也可只画圆A）的直观图，直径NS水平放置，EW与NS夹角为，表示EW与NS垂直，水平放置的圆A表示观测地A的地平圈．45(2) 画两圆交线（点）：由太阳直射纬度及观测地纬度，按公式（）计算出点J的位置，若，太阳直射北半球，则点在sin cosRAJ 90 0AJ J射线AN上，若，太阳直射南半球，则点在射线AS上；若J在直径NS上，则过J作0AJ J FH//EW，交地平圈于F、H两点．(3) 画太阳视动轨迹直径：过J点画直线UV相对于NS的倾斜角为，V在直线UV903向上的方向上．若观测点在北半球，，直线UV倾斜角为锐角、斜率为9090SJV 正，若观测点在南半球，，直线UV倾斜角为钝角、斜率为负；过A点向9090SJVUV作垂线，垂足为，以为中点，在直线UV上截取，UV为太阳'O'O''cosO UO VR周日视运动轨迹的直径． (4) 成图：画出过U、F、V、H四的点圆的直观图，为太阳周日视运动轨迹，地平圈上 方部分画成实线，表示太阳可见，地平圈下方部分画成虚线或不画，表示太阳不可见． 2.22.2 几个示例：几个示例：（1）北半球夏至日北极圈上的太阳周日视运动轨迹：此时，=23 26'12“，如图3，作地平圈，直径为2R，，即J点与N点重合，过J点作直线66 33'48'AJ R0UV与直线NS成=，作垂足为，9023 26'12“'AOUV'O''cosO UO VR， N、J、U三点重合，出现极昼现象．cosAJ（（2 2）） 北半球夏至日南极圈上的太阳周日视运动轨迹：此时，=23 26'12“，如图4，作地平圈，直径为2R，，即J点与N点重合，过J点作直66 33'48'AJ R0 线UV与直线NS成=，作垂足为，90156 33'48“'AOUV'O， N、J、V三点重合，但太阳周日视运动轨迹在地平圈''cosO UO VRcosAJ以下，出现极夜现象．图3 图4（（3 3）） 南回归线上夏至日的太阳周日视运动轨迹：此时，如图23 26'12“ 5，作地平圈，直径为2R，，点J在AS上，作倾斜角为的直AJ0.43R 0113 26'12“ 线UV，作垂足为，．'AOUV'O''0.92O UO VR （（4 4）） 两极点（）太阳周日视运动轨迹：两极点处太阳周日视运动轨迹与地90 平圈平行，它的直径为，与地平圈的距离为．如图6，圆表示太阳直2 cosRsinR1O射点与极点在赤道同侧时的太阳周日视运动轨迹，太阳始终在北极点南面或南极点北面的天空上，出现极昼现象；圆表示太阳直射点与极点在赤道异侧时的太阳周日视运动轨迹，2O太阳始终在地平线下，出现极夜现象．4图 5 图 6 3 3 太阳周日视运动轨迹的研判太阳周日视运动轨迹的研判 3.13.1 极昼、极夜现象极昼、极夜现象当，即太阳周日视运动轨迹与地平圈相切或无交点，观测地 Asin|| ||cosAJRR 出现极昼或极夜现象．具体地:当，观测地 A 在北半球，直线 UV 的倾斜角为锐角．若太阳直射北半球，0 90，因为两直径所在直线交点 J 在 AN 的延长线上，过 A 作的垂足在0 'AOUV'O地平圈上方，太阳周日视运动轨迹在地平圈上方且与地平圈至多有一个交点，出现极昼现象；由得，，故纬度以北的地区sincoscos(90)cos9090出现极昼现象．若太阳直射南半球，，J 点在 AS 的延长线上，在地平圈下方，0 'O太阳周日视运动轨迹在地平圈下方且与地平圈至多只有一个交点，出现极夜现象；又得：，，故纬度以北的地区出sincoscos(90)cos9090现极夜现象．同理可讨论的情况．0  3.23.2 日出方位角日出方位角如图 2，为日出时太阳相对于正东方向的方位角，正值表示东偏北，负值表EAF示东偏南．==，在直角中，．EAFJFAJFAsinsinAJJFAAFsin cos （（1 1））赤道地区，，，，日出方位与太阳直射纬度相0 cos1sinsin同． （（2 2））二分日，太阳直射赤道地区，β=0º，sinδ=0º，δ=0º，日出方位角为 0º，二 分日地球上除两极外的任意地区太阳都是正东升起，正西落下．（（3 3））当，即非二分日，对于地球上赤道以外地区，α≠0º，0|sinβ|，|δ|>|β|，日出方向相对于正东方向的偏角的绝对值均大于太阳直线点纬度数，且观测点越靠近两极，|α|越大，cosα 越小，||越大，|sinδ|越大，sin cos  |δ|越大，即观测点距赤道地区越远，日出偏角的绝对值越大． 对于南、北半球非极昼极夜且纬度绝对值相同的地区，同一天的日出方位相同．（（4 4））若 β>0º，即太阳直射北半球，sinδ=>0，δ>0º，即除两极外的任意有sin cos  日出地区太阳均从东偏北方向升起．5同理若 β<0º，除两极外的任意有日出地区太阳均从东偏南方向升起． 3.33.3 昼夜长短分析昼夜长短分析当，太阳直射点与观测点在同一半球．0 若，，太阳直射点与观测点同在北半球，J 点在 N 侧，为锐角；0 0 90太阳周日视运动轨迹圆心在地平圈上方，地平圈上方的太阳周日视运动轨迹为优弧，昼'O 长大于夜长．若，，太阳直射点与观测点同在南半球，J 点在 S 侧，直线的倾斜角0 0 为钝角；太阳周日视运动轨迹圆心在地平圈上方，地平圈上方的周日视运动轨90'O 迹为优弧，昼长大于夜长．同理，当，太阳直射点与观测点分别在两个半球时，阳周日视运动轨迹圆心0 在地平圈下方，地平圈上方的太阳周日视运动轨迹为劣弧，昼长小于夜长．'O当，观测地为赤道地区，直线 UV 与地平圈垂直，太阳周日视运动轨迹圆心0  在地平圈内，太阳周日视运动轨迹被地平圈平分，全年昼夜等长．'O 3.43.4 日照时间、日出日落时刻日照时间、日出日落时刻 如图 2，日照时间为太阳周日视运动轨迹在地平圈上方部分的弧所对的圆心角与周角的比值乘以 24，设弦 FH 所对的圆心角 2，，，在直角'FO J 'cosO。