精编立体几何中的建系设点.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -立 体 几 何 解 答 题 的 建 系 设 点 问 题在如今的立体几何解答题中， 有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段： 建系设点就显得更为重要， 建立合适的直角坐标系的原就有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容；一、基础学问：（一）建立直角坐标系的原就：如何选取坐 z标轴1、 z 轴的选取往往是比较简单的，依据的是线面垂直，即 z 轴要与坐标平面 xOy 垂直，在 O y几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上 x的即是，而坐标原点即为 z 轴与底面的交点2、x, y 轴的选取： 此为坐标是否易于写出的关键， 有这么几个原就值得参考：（ 1）尽可能的让底面上更多的点位于 x, y 轴上（ 2）找角：x, y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（ 3）找对称关系：查找底面上的点能否存在轴对称特点zD E CFA BJ3、常用的空间直角坐标系满意x, y, z 轴成右手 GO C y系，所以在标x, y 轴时要留意；Ix A H B4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -坐标也会对应不同；但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一样的；5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这个过程不能省略；6、与垂直相关的定理与结论：（ 1）线面垂直：① 假如一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，就这条直线与该平面垂直② 两条平行线，假如其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③ 两个平面垂直，就其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（ 2）线线垂直（相交垂直） ：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：如AB2AC 2BC 2 ，就 AB AC（二）坐标的书写：建系之后要能够快速精确的写出点的坐标，根据特点可以分为 3 类1、能够直接写出坐标的点（ 1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为 1）中的A,C, D 点，坐第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -标特点如下：x 轴：x,0,0y 轴： 0, y,0z 轴： 0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为 0（ 2）底面上的点：坐标均为x, y,0，即竖坐标 z0 ，由于底面在作立体图时往往失真， 所以要快速正确写出坐标， 剧烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：就可快速写出了H , I 点的坐标，位置关系清楚明 O C2、空间中在底面投影为特别位置的点： I假如 Ax , y , z 在底面的投影为 A x , y ,0 ，那么 x1 x2 ,1 1 2 2A H By1 y2 （即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律动身，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点， 坐标是否好写； 假如可以就直接确定了横纵坐标， 而竖坐标为该点到底面的距离；例如：正方体中的B 点，其投影为 B ，而 B1,1,0 所以B 1,1,z ，而其究竟面的距离为 1 ，故坐标为 B 1,1,1以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点， 但总仍有一些特别点，那么就要用到第三个方法：3、需要运算的点① 中 点 坐 标 公 式 ： A1x,1y,1z ,B 2 ,x2 ，,y2 就zAB 中 点M x1 x 2,2 y 1y2, z 2 z 21 ，图2 中的H , I , E, F 等中点坐标均可运算② 利用向量关系进行运算（先设再求） ：向量坐标化后，向量的关系第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -也可转化为坐标的关系， 进而可以求出一些位置不好的点的坐标， 方法通常是先设出所求点的坐标， 再选取向量， 利用向量关系解出变量的值，例如：求A 点的坐标，假如使用向量运算，就设A x, y, z ，可直接写出A 1,0,0 , B1,1,0 , B1,1,1，观看向量AB A B ，而 AB0,1,0 ，A Bx 1, y1,z 1x 1 0 x 1y 1 1 y 0z 1 0 z 1A 1,0,1二、典型例题：P例 1 ： 在 三 棱 锥 P ABC 中 ， PA 平 面 ABC ，BAC90 ，D, E , F 分 别 是 棱FAB, BC ,CD 的 中 点 ，AB AC1,PA2 ，试建立适当的空间直角坐标 A CDEB系并确定各点坐标例 2：在长方体ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是棱BC, CC1 上的点，CF AB2CE ， AB :AD :AA11: 2 : 4 ，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标 ；例 3：如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD ， FAD DC CB1, ABC60 ， CF 平 面A B C，D且 CF1，建立适当的直角坐标系并 DC确定各点坐标；A B小炼：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即 z 轴），对于 x, y 轴的选取，假如没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴；第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 4：已知四边形 ABCD 满意AD∥BC, BA AD DC1 BC a ， E 是 BC2中点，将 BAE 翻折成B1 AE ，使得平面BB1 AE 平面 AECD ， F 为 B1 D 中点 F思路：在处理翻折问题时， 第一要确定在 A D翻折的过程中哪些量与位置关系不变， 这E C些都是作为已知条件使用的；例 5：如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱形，对角线 AC, BD 交于点 O,OA4,OB3,OP4 ，且 OP 平面 ABCD ，点 M 为 PC 的三等分点（靠近 P ），建立适当的直角坐标系并求各点坐标小炼：（ 1）底面是菱形时要留意对角线相互垂直的性质（ 2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标运算出来第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -。