2020版高中数学 第三章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率学案（含解析）北师大版选修1 -1.docx

§1　变化的快慢与变化率学习目标　1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．知识点一　函数的平均变化率1．定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.2．作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．知识点二　瞬时变化率1．定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．2．作用：刻画函数在一点处变化的快慢．对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则1．Δx可正，可负，可为零．(　×　)2．函数y＝f(x)的平均变化率为＝＝.(　√　)3．函数y＝f(x)的平均变化率为＝＝.(　√　)4．当Δx趋于0时，就趋于函数在x1处的瞬时变化率．(　√　)题型一　函数的平均变化率例1　求函数y＝f(x)＝x2在x分别从1到1＋Δx,2到2＋Δx,3到3＋Δx的平均变化率，当Δx都为时，哪一点附近的平均变化率最大？考点　平均变化率的概念题点　求平均变化率解　在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx.当Δx＝时，k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.由于k10)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在t0时刻处的瞬时速度．考点　瞬时变化率的概念题点　瞬时速度解　因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，所以＝v0－gt0－gΔt.当Δt趋于0时，趋于v0－gt0，故物体在t0时刻处的瞬时速度为v0－gt0.反思感悟　1.求瞬时速度的步骤(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝.(3)当Δt趋于0时，平均速度趋于瞬时速度．2．求当Δx无限趋近于0时，的值(1)在表达式中，可把Δx作为一个数来参加运算．(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0，就是令Δx＝0，求出结果即可．跟踪训练2　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．考点　瞬时变化率的概念题点　瞬时速度解　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数s(t)在t＝2处的瞬时变化率．∵质点M在t＝2附近的平均变化率＝＝＝4a＋aΔt，当Δt趋于0时，趋于4a，∴4a＝8，得a＝2.1．已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数(　　)A．在x0处的变化率B．在区间[x0，x1]上的平均变化率C．在x1处的变化率D．以上结论都不对考点　平均变化率的概念题点　平均变化率概念的理解答案　B解析　＝，由平均变化率的定义可知，故选B.2．一物体的运动方程是s(t)＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　)A．0.4 B．2C．0.3 D．0.2考点　平均变化率的概念题点　求平均速度答案　B解析　＝＝2.3．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s(t)＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为(　　)A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4考点　瞬时变化率的概念题点　瞬时速度答案　B解析　设此物体在t0时刻的瞬时速度为0，＝＝－8t0＋16－4Δt，当Δt趋于0时，趋于－8t0＋16，令－8t0＋16＝0，解得t0＝2.4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．考点　平均变化率的概念题点　平均变化率的应用答案　解析　∵Δy＝π×23－π×13＝，∴球的体积平均膨胀率为＝.5．设函数f(x)＝3x2＋2在x0＝1,2,3附近Δx取时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小．考点　平均变化率的概念题点　求平均变化率解　函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝1，Δx＝时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x0＝2，Δx＝时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x0＝3，Δx＝时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k1k2C．k1＝k2 D．无法确定考点　平均变化率的概念题点　平均变化率概念的理解答案　D解析　k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可负，故k1，k2大小关系不确定．7．如果函数y＝f(x)＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则(　　)A．a＝－3 B．a＝3C．a＝2 D．a的值不能确定考点　平均变化率的概念题点　平均变化率的应用答案　B解析　＝＝a＝3.8．一个物体的运动方程是s＝2t2＋at＋1，该物体在t＝1时的瞬时速度为3，则a等于(　　)A．－1 B．0C．1 D．7考点　瞬时变化率的概念题点　瞬时速度答案　A解析　＝＝＝a＋4＋2Δt，当Δt趋于0时，a＋4＋2Δt趋于a＋4，由题意知a＋4＝3，得a＝－1.二、填空题9．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________________．考点　平均变化率的概念题点　平均变化率的应用答案　1<2<3解析　1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，由图像知，kOA。