高一数学必修一函数及其表示-函数的概念2.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -1.2 函数及其表示§ 1.2.1 函数的概念【教学目的】1、使同学懂得函数的概念，明确打算函数的定义域、值域和对应法就三个要素；2、懂得函数符号的含义，能依据函数表达式求出定义域、值域；3、使同学能够正确使用“区间” 、“无穷大”的记号；4、使同学明白静与动的辩证关系，激发同学学习数学的爱好和积极性；【教学重点】在对应的基础上懂得函数的概念【教学难点】函数概念的懂得【教学过程】一、复习引入〖提问〗 中学学习的（传统）的函数的定义是什么？中学学过哪些函数？〖回答〗 设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，假如对于 x 的每一个值， y 都有唯独的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数， 并将自变量 x 取值的集合叫做函数的定义域， 和自变量 x 的值对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量表达的函数定义我们称之为函数的传统定义；〖表达〗 中学已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等；〖提问〗 问题 1： y =1（ x ∈ R ）是函数吗？2问题 2： y = x 与 y = xx〖投影〗 观看对应：是同一函数吗？〖分析 〗 观看分析集合 A 与 B 之间的元素有什么对应关系？二、讲授新课 函数的概念（一）函数与映射 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -〖投影〗函数： 设 A ， B 是非空的数集，假如按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯独确定的数f 〔 x〕 和它对应，那么就称 f ：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y =f 〔x〕 ， x ∈A ；其中 x 叫自变量， x 的取值范畴 A 叫做函数 y =f 〔 x〕 的定义域；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合 {f 〔 x〕 | x ∈ A} ，叫做函数 y =f 〔 x〕 的值域；函数符号 y =f 〔 x〕 表示“ y 是 x 的函数”，有时简记作函数f 〔x〕 ；函数的三要素： 对应法就 f 、定义域 A 、值域 { f 〔x〕 | x ∈A}注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数；映射： 设A, B 是两个非空的集合 ,假如按某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应 , 那么就称对应 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.假如集合 A 中的元素 x 对应集合 B 中元素 y ,那么集合 A 中的元素 x 叫集合 B 中元素 y 的原象 ,集合 B 中元素 y 叫合 A 中的元素 x 的象 .映射概念的懂得〔1〕映射f : AB 包含三个要素 :原像集合 A,像集合 B〔 或 B 的子集 〕以及从集合 A 到集合 B 的对应法就 f .两个集合 A,B 可以是数集 ,也可以是点集或其他集合 .对应法就 f 可用文字表述 ,也可以用符号表示.映射是一种特别的对应关系 ,它具有 : 〔1〕方向性 :映射是有次序的 ,一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的 ; 〔2〕任意性 :集合 A 中的任意一个元素都有像 ,但不要求 B 中的每一个元素都有原像 ; 〔3〕唯独性 :集合 A 中元素的像是唯独的 ,即不答应 “一对多 ”,但可以 “多对一 ”.函数与映射的关系函数是一种特别的映射 .映射与函数概念间的关系可由下表给出 .映 射 f : A B函数 yf 〔 x〕, xA, y B集合 A,B 可为任何集合 ,其元素可以是物 ,人,数等对于集合 A 中任一元素 a ,在集合 B 中都有唯独确定的像对集合 B 中任一元素 b ,在集合 A 中不肯定有原像函数的定义域和值域均为非空的数集对函数的定义域中每一个 x ,值域中都有唯独确定的值与之对应对值域中每一个函数值 ,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应函数是特别的映射 ,映射是函数的推广 .〖留意〗（ 1）函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特别对应 f ： A →B ；这里 A ，B 为非空的数集；（2）A ：定义域，原象的集合； {对应法就， x ∈A ， y ∈Bf 〔 x〕 | x ∈A} ：值域，象的集合，其中 {f 〔 x〕 | x ∈A} B； f ：（3） 函数符号 ： y =f 〔 x〕 ， y 是 x 的函数，简记f 〔x〕〖回忆〗（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数f 〔x〕 = ax ＋ b 〔 a ≠ 0〕：定义域 R ，值域 R2、反比例函数f 〔 x〕 =k〔 k ≠ 0〕：定义域 { x | x ≠ 0} ，值域 { y | y≠ 0}x 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -3、二次函数f 〔x〕 = ax2＋ bx ＋ c 〔 a ≠ 0〕：定义域 R ，值域：当 a ＞0 时，｛ y | y ≥4 ac b 2｝；4 a当 a ＜ 0 时，｛ y | y ≤4 ac b 2｝；4 a（三）函数的值： 关于函数值f 〔a〕例析：如f 〔x〕 = x 2＋ 3 x ＋ 1，求f 〔2〕 ；解： f 〔 2〕 =22 ＋3× 2＋ 1=11〖留意〗（ 1）在 y = f 〔x〕 中 f 表示对应法就，不同的函数其含义不一样；（ 2）f 〔 x〕 不肯定是解析式，有时可能是“列表” 、“图象”；（ 3）f 〔 x〕 与f 〔 a〕 是不同的，前者为变数，后者为常数，f 〔a 〕 是f 〔 x〕的一个特别值；（四）区间的概念〖投影〗 设 a 、 b 是两个实数，而且 a ＜ b ，我们规定：（ 1）满意不等式 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 [ a , b ]；（ 2）满意不等式 a ＜ x ＜ b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为（ a , b ）；（ 3）满意不等式 a ≤ x ＜ b 或者 a ＜ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，表示为〔a,b ] ；[a ,b〕 、（ 4）实数集 R 可以用区间表示为（－∞ ,＋∞）；满意不等式 x ≥ a ， x ＞ a ， x ≤ b ， x ＜ b 的实数 x 的集合可以分别表示为 [ a ,＋∞ 〕 ，（ a ,＋∞），（－∞ , b ] ，（－∞ , b ）；〖留意〗 留意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如 a ≤ x ≤ a ；三、实例提升〖例析〗 例 1、设集合 M={ x |0≤x ≤2} ，N={ y |0≤y ≤2} ，从 M 到 N 有 4 种对应如下图所示：其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有 ② ③ ；〖解析〗依据对应的含义和函数的概念，可以看出②③能表示 M 到 N 的函数关系；〖例析〗 例 2、求以下函数的定义域：① f 〔 x〕1 ； ② f x 2〔 x〕 = 3x2 ； ③f 〔x〕 =x 1 ＋ 12 x〖解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，假如只给出解析式 y =义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 x 的集合；f 〔x〕 ，而没有指明它的定解：①∵ x － 2=0 ，即 x =2 时，分式1 无意义，x 2而 x ≠ 2 时，分式1 有意义x 2∴这个函数的定义域是 { x | x ≠2} ；2②∵ 3 x ＋ 2<0，即 x ＜时，根式33x 2 无意义而 3 x ＋ 2≥ 0，即 x ≥2时，根式33x 2 才有意义∴这个函数的定义域是 { x | x ≥ 2 } ；3 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -③∵当 x ＋ 1≥ 0 且 2－ x ≠ 0， 即 x ≥－ 1 且 x ≠ 2 时，根式 x1 和分式1 同时有意义2 x∴这个函数的定义域是 { x | x ≥－ 1 且 x ≠2}另解：要使函数有意义，必需： x ＋ 1≥ 0 且 2－ x ≠0 x ≥－ 1 且 x ≠2∴这个函数的定义域是： { x | x ≥－ 1 且 x ≠ 2}〖强调〗 解题时要留意书写过程， 留意紧扣函数定义域的含义； 由本例可知， 求函数的定义域就是依据使函数式有意义的条件， 布列自变量应满意的不等式或不等式组， 解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域；求函数的定义域的常见类型：（ 1）当（ 2）当（ 3）当f 〔 x〕 为整式时，定义域为 R ；f 〔 x〕 为分式时，定义域为使分母不为 0 的 x 的集合；f 〔 x〕 为 n 次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的 x 的集合；（ 4）当f 〔 x〕 是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的 x 的取值的集合；〖例析〗 例 3、已知函数f 〔 x〕 =3 x 2 －5 x ＋ 2，求f 〔3〕 ， f 〔2〕 ，f 〔a1〕 ；〖解析〗解： f 〔3〕=3 × 32－ 5× 3＋2=14 ；f 〔f 〔a2 〕 =3× 〔－ 2 〕2－ 5× 〔－ 2 〕＋ 2=8 ＋ 5 2 ；1〕 =3〔 a ＋ 1〕2－ 5〔 a ＋1〕+2=3 a 2＋ a ；〖例析〗 例 4、以下函数中哪个与函数 y = x 是同一个函数？（ 1） y。