题型1 基本不等式正用 a+b>2^/ab例1：⑴函数f (x) = x + X(x>0)值域为；函数f (x) = x+；(xC R)值域为一..01⑵函数f⑶=x2+n的值域为解析:(1) - x >0 , x+->2Rx x=2,1- f(x)( x >0)值域为[2 , + 00)；当 xCR时，f(x)值域为(—8, — 2] U[2 , +8)；小、2 1 , 2 /、 1 /(2)x+) fx+D+xvr ”x2+11 ，1，，1-=1,当且仅当x =0时等号成立.1x = ?即x=1时取等号・x2 23函数y==(x>1)的最小值是答案：(1)[2 , +8)( —8, — 2]U[2, +8) (2)[1, +8) 4. (2013 ・镇江期中)若x>1,则x + x41的最小值为 解析：x + —4- = x—1+—4^+1>4+ 1 = 5.当且仅当x-1=—4-,即x= 3时等号成立.答案： 5 x—1x-1x-14[例1](1)已知x<0,则f(x) = 2 + —+x的最大值为x(1) 1. x<0,x>0,f(x) =2 + 4+x = 2—-x . ・.• —：+( —x) >2也=4,当且仅当一 x=-4^, IP x=一2 时等号成立.f(x)=2 — 十 — x w2—4= - 2,二. f (x)的最大值为- 2.- x例：当X>°时，则f(x)=J的最大值为解析：(1) -. x>0,••.f(x) =^277 = -27<2-= 1,当且仅当x + 11 2x + 2解析：. x>1, • . x- 1>0. ..y= -x- 1x2—2x+2x+2 x2—2x+1 + 2 x—1+3x— 1 2+2 x—1+3x— 1x— 1x — 11 + ^— + 2>2 A / x-1 -^― + 2=243 + 2.当且仅当 x-1=^—,即 x= 1+J3时，取等号.答案： 2J3+2 x-1\]x- 1Vx-1**, 1 ，一一10.已知x>0, a为大于2x的常数，求y=一不一x的最小值.a a-2x… 1 a故丫=——x的取小值为4—3解：y=A +宁―|>2a=<2 —a.当且仅当x=i时取等号 a —2x22 丫22 丁 22a— a+ b题型2基本不等式反用vab<—1例：(1)函数 f(x)=x(1 — x)(0< x<1)的值域为 ; (2)函数 f(x)=x(1 - 2x) 0Vx<2 的值域为 解析：(1)「。
今々，.•・ 1 —x>0,x(1-x)0. x(1—2x)=5><2x(1 -2x)<2 - 2 =、，.(x)值域为8. .244-11答案：⑴ 0, 4(2) 0, 83.(教材习题改编)已知00. x(3 - 3x) = 3x(1 -x) < 3 —2—.当 x=1—x,即 x=2时取等号.答案 B10.已知x>0, a为大于2x的常数，求函数 y = x( a—2x)的最大值；112x + a 2x2解：〈x〉。
a>2x, •- y = x(a-2x) =-x 2 x(a-2x) < -x 2=^-,当且仅当 x=；时取等号，故函数222842的最大值为—.8题型三：利用基本不等式求最值t — 4t + 12.已知t>0,则函数y=——t的最小值为 .…t2 — 4t +11一， …〜一，一解析 .••t>0,y =——t= t+--4>2- 4=-2,且在 t=1 时取等号.答案 —2......2x例：当x>0时，则f(x) =/+ 1的取大值为.解析:例1:x>0, f(x) = x2x7=^73)的最小值；(2)求函数f (x) = (x>3)的最小值;x — 3 x — 3思维突破：(1) “添项”，可通过减 3再加3,利用基本不等式后可出现定值.(2) “拆项”，把函数式变为y = M^(1) 1. x>3, .-.x-3>0.1• - f (x) =x_ 3 + (x— 3) + 3>2，，，1r,+ 3= 5.当且仅当口 = x-3,即x= 4时取等号，，f(x)的最小值是5.t+3— 3 t+3 +11/1(2)令 x-3=t ,贝 U x=t + 3,且 t >0.，f(x) =1= t + t + 3>2、/t ・ f+3=5.一，，1当且仅当t=:即t = 1时取等号，此时x = 4, .•.当x = 4时，f(x)有最小值为5.一. .—cx dx+ f技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如v=(aw0，kg的函数,一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y=t +p(p为常数)型函数，要注意t的取值范围；4例：设x>-1,求函数y=x+u^ +6的最小值；解：x> —1,x+1>0. .,.y = x+x^Y + 6 = x+ 1 + x^ +5>2x+ 1x+ 1+ 5= 9,当且仅当x+1即x=1时，取等号.，当 x=1时，函数y的最小值是9.1.若x>0, y>0,且x+y=18,贝U xy的最大值是 p_x+ y 2解析 由于x>0, y>0,则x+y>2yxy,所以xy< —5— =81,当且仅当x=y=9时，xy取到最大值81.答案 815.已知x, yCR卡,且满足.+[=1,则xy的最大值为 .3 4解析 -.^>0, y>0且1=x + y>2、/xy,「.xyw3.当且仅当x = J时取等号.答案 3 3 4. 1 123 46. （2013 •大连期中）已知x, y为正实数，且满足 4x+3y= 12,则xy的最大值为 .d4x=3y,x=解析：.. 12=4x+3y42x/4xx3y,xyw3.当且仅当即 2 时xy取得最大值3.答案：344x+3y=12,y=22.已知m>0, n>0,且 mn= 81,则 n的最小值为 .解析：: m>0, n>0,n>2^/mn= 18.当且仅当 m= n=9时，等号成立.答案：185.已知 x>0, y>0, lg x + lg y= 1,则 z=?+]的最小值为 .x y解析：由已知条件lg x+lg y=1,可得xy=10.则2+5>2、/10=2,故2 + 5 min = 2,当且仅当2y=5x时取等号.又 x y 工 xyx yxy=10,即x=2, y= 5时等号成立.答案： 2（2012 •天津高考）已知log 2a + log 2b>1,则3a+ 9b的最小值为 . a +2b解析：由 log 2a + log 2b >1 得 log2（ab）>1,即 ab>2,3a+9b = 3a+32b>2x 3 :（当且仅当 3a=32b,即 a = 2b 时取 等号）.a+2bA2。
2ab>4（当且仅当 a= 2b 时取等号），，3a+9b>2X3 2=18.即当 a=2b 时，3a+9b 有最小值 18.3.设 x, yCR,a>1, b>1,若ax=by=3, a+b=2^/3,则」的最大值为x y1 1 a+ b-+-= log 3a + log 3b = log sab1, b>1 知 x>0, y>02=1,当且仅当a=b=m时"=”成立，则1+1的最大值为1.答案x y6. （2011 •湖南）设*, yC R,且 xyw0,则 x2+^2 • L+4y2 的最小值为 y x ■解析x2+B4y2 =5+/1;2+4x2y2>5+2\/击• 4x2y2=9,当且仅当 x2y2 = 1 时“=”成立.答案 9y xx y, x y2例：若正数x, y满足x+3y= 5xy,求xy的最小值.解：x>0, y >0,则 5xy = x+ 3y>2 3• 3 y,12 xy>2?当且仅当x=3y时取等号.12 xy的最小值为25.4.若正实数x, y满足2x + y+6=xy,则xy的最小值是 答案 18解析 由 x>0, y>0,2 x + y+ 6= xy,得xy * >/2xy + 6（当且仅当 2x=y 时，取"="）,IP C\/xy）2— 2yj2y[xy - 6>0,. .(而-3小)•(而+p>0.又 '\fXy>0,-^xy>3-^2,即 xy>18.，xy的最小值为18.例：已知x>0, y>0, x + 2y+2xy = 8,贝U x+2y的最小值是A. 3B. 4解析依题意，得(x+1)(2 y+1) = 9,x+1 2y+1 =6,「.( x + 1) + (2 y+ 1) >2 J即 x + 2y >4.x+1 = 2y+ 1, 当且仅当x+2y+ 2xy = 8x+ 2y的最小值是4.3.若 x, yC (0 , +oo),(1)求xy的取值范围；(2)求x+y的取值范围.解：由x= 2,即 时等号成立y=1x+ 2y+xy= 30.x+2y+xy = 30, (2+x)y = 30 —xw 30-x则 2 + xw0, y=-——>0,0 b>0,则 a +的最小值是解析：:a>b>0, • •b(a-b)a2+£=a2+?“ W16,当且仅当a=2 ,：2时等号成立.。
