两类曲面积分的关系及其应用.docx

两类曲面积分的关系及其应用学生姓名：陶其亮学号：20111054126所在院系：数学与统计学院专业：数学与应用数学指导教师：李艳梅老师1目录摘要3关键词3ABSTRACT3KEYWORDS3前言41 .预备知识41.1 两类曲面积分的定义与相关性质4(1)第一型曲面积分的定义4(2)第二型曲面积分的定义4(3)两类曲面积分的相关性质51.2 两类曲面积分的关系52 .两类曲面积分关系的应用52.1 将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分52.2 将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分103 .小结12参考文献11致谢12两类曲面积分的关系及其应用摘要：本文讨论了两类曲面积分的关系并给出了其应用^关键词：曲面，侧，第一型曲面积分，第二型曲面积分TherelationshipbetweenthetwokindsofsurfaceintegralsanditsapplicationAbstract:Inthispaper,therelationshipbetweenthetwokindsofsurfaceintegralsarediscussedandtheapplicationsaregiven.Keywords：Thecurvedsurface;side;thefirsttypeofsurfaceintegral;thesecondtypeofsurfaceintegral#0.前言在数学分析中第二型曲面积分的计算是一个重点也是一个难点问题[1].若空间区域V是由分片光滑的双侧封闭曲面S所围成，函数P,Q,R在V上具有一阶的连续偏导数，则可以利用高斯公式计算第二型曲面积分[2].若曲面S在xoy面上的投影为一条线，且被积函数P,Q,R及它们的一阶偏导数不连续的情况下，则通常用直接投影法来处理[3].当曲面的方程由参数形式给出时，可以用参数形式计算[4-7].当然第二型曲面积分还可以利用stokes公式化为第二型曲线积分来计算[5〜6].如果在上述方法都无法解决的情况下，我们可以考虑利用两类曲面积分之间的关系计算第二型曲面积分[8].下面将探讨两类曲面积分的关系以及这种关系的应用.1 .预备知识1.1 两类曲面积分的定义与相关性质(1)第一型曲面积分的定义定义1[9]设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数.对曲面S作分割T,它把S分成n个小曲面块§(i=1,2，…，n),以△§记小曲面块§的面积，分割T的细度|T||=max｛S的直径｝.在§上任取一点(1产/)(i=1,2，…，n),若极限n股；fi,i,「Si存在，且与分割T及仁产i,，i)(i=1,2，…，n)的取法无关,则称此极限为f(x,y,z)在S上的第一型曲面积分，记作fx,y,zdS.S(2)第二型曲面积分的定义定义2[9]设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数.在S所指定的一侧作分割T,它把S分为n个小曲面SS,…，Sn,分割T的细度『||=%需｛Si的直径｝，以ASiyzQSizxQSixy分别表示§在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由§的方向来确定.若§的法线正向与z轴正向成锐角时，Si在xy平面的投影区域的面积为正.反之，若§法线正向与z轴正向成钝角时，它在xy平面的投影区域的面积ASi为负.在各个小曲面Si上任取一xynnnlimZP(H4"+lim£Qg产i，G)△§+limZR鸽口工i)ASj■0i』yz口PyzxT>0xy存在，且与曲面S的分割T和(。

门i,0)在§上的取法无关，则不此极限为函数P,Q,R在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作11Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy.S(3)曲面积分的相关性质(i)若积分曲面S关于x,y,z具有轮换对称性，则fx,y,zdydzjjfy,z,xdzdx=fz,x,ydxdy.SSS(ii)[9]设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P,Q,R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则:P ；:Q R.x:yzZ.)dxdydz#=0JPdydz+Qdzdx+Rdxdy,S其中S取外侧.1.2曲面积分的关系定理1[9]：设曲面S为光滑曲面，正侧的法向量为(cosu,cosP,cos?),P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在S上连续，则有!!Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdyS=11(Px,y,zcos工二Qx,y,zcos:Rx,y,zcos)dS.S推论设光滑曲面S的方程为F(x,y,z)=0,而P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在S上连续，则11PdydzQdzdxRdxdyS—Fx Q2 F2 F2 x y zFy , R2 F2 F2x y zFzF2 F2 F2x y zdS.定理2[9]：设P,Q,R是定义在光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y产D上的连续函数,以S的上侧为正侧，则11Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy=S匚(-zx)_(-zy)—1口P(x,y,z)^22+Q(x,y,z22+R(x,y,z)-■f22dS.S1步+Zx+ZyJi+Zx+ZyJi+Zx+Zy]2.两类曲面积分关系的应用2.1 将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分例1把对坐标的曲面积分11Px,y,zdydZQx,y,zdZdxRx,y,zdxdyS化为对面积的曲面积分，其中：(1) S是平面3x十2y+2J3z=6在第一卦限的部分的上侧；(2) S是抛物面z=8-(x2+y2)在xOy面上方的部分的上侧.解(1)平面上侧的法向量为n=13,2,2J3},其方向余弦为cosa=3,cosP=-|,cosy=：V3\于是jjPdydz十Qdzdx+Rdxdy=1〕(Pcosa十QcosP十Rcos?)dSSS=13P2Q2-3RdSs55522(2)因S是抛物面z=8-(x+y)在xOy面上方的部分的上侧，所以其法线向量应取为n={2x,2y,1k其方向余弦为2x:2y1cos«=,cosP=—cos/,14x24y214x24y214x24y2于是11Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdyS=[[(Pcosct+QcosP+RcosJdSS=2xP2yQRdSs.14x24y2例2计算I=fx,y,zxdydz2fx,y,zydzdxfx,y,zzdxdyS面x—y+z=1在第IV象限部分的上侧，其中f(x,y,z)为S上的连续函数.解由于f(x,y,z声抽象函数，所以原曲面积分无法通过投影化为二重积分来计算；又因为函数f(x,y,z注连续函数，不一定有一阶连续偏导数，所以也不能应用高斯公式，因此可考虑转化为第一类曲面积分来计算.平面x—y+z=1的法向量二=(1,_1,1则Icos:=cos=,cos:1r1「cx,y,zx;二32fx,y,zy；—3fx,y,zzdSx-yzdSS1「3SdS=.11\'3dxdy3D1 =—.2例3计算曲面积分JJ(2x2+2y2+z)dydz+z2dxdy,其中S={(x,y,z)z=x2S+y2,zw10,1]},取上侧.解如果直接计算，需要把S分别投影到yoz和xoy平面上，且积分口(2x2+2y2+z)dydz需要分前侧与后侧，现在利用两类曲面积分的关系，先转化为第一S型曲面积分，再统一计算二重积分.zx=2x,zy=2y,一22Y211I=[(2x2+2y2+z)_zx_二+z2,—二^dSs[,1+z2+zy"+z2222222_222二।iH2x2yxy)i2x厂ixydxdyD=J«3(x2+y2X—2x)+(x2+y2)'dxdy=j「3r2《—2rcos日)+r4Irdrd日Di一4.5=11[6rcos1rdrdiDi2ni45=gde((-6rcose+r)dr国=—.3例4计算出积分jjxy2Jx2+z2dydz十(x2+z2Jdzdx+zy24xT^z2dxdy,其中SS为圆锥面x2+z2=y2介于0WyWh,取外侧.解S的方程为y=Jx2+z2,选取外侧，则yx=,x.y=z47^7令P=xy2,x2z2,Q=x2z2,Rtzy2x2z2.原式=P-―-yxQ--1R——-yzdSs,iy2y2-,iyxy2iy2y2222222=!!xx-z.1!yx「I.x-zzx-zII.yzdxdzD一=ff-|-(x2+z22(x2+z2)+x2+z2Idxdz=11i-r2r2r2rdrdDi= 0&0 -rr3 dr二h6二h4=32例5计算曲面积分jjyexyJi+x2+y2dydz-xexyJi+x2+y2dzdx-zdxdy,其中Si99S是旋转抛物面z=3(x2+y2)介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧.「122斛z=2(x+y),Zx=x,Zy=y，令P二yexy1x2y2,Q--xexy1x2y2,R--z.原式二HP,，N+Q_―Zy+RdS225] Jl+zx+Zyq1+Zx+ZyJ=yexy...1x2y2-x-xexy,1x2y2-yx2y2dxdyD_2.122=--xydxdyD21 2,,=-rrdrd二2D122 -• 2= /d