2014级高二上中期数学(理)-教师.doc

重庆中山外国语学校高2014级2012－2013学年度（上）期中期考试数学试题（理科）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分每题只有一个正确答案）1．直线x－y＋1＝0的倾斜角为 ( 　 )A.60º B.120º C.150º 　　　　 D.30º【答案】A2．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A． B． C． D． 都不对【答案】B3．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于 ( ）A． B．2 C．－1 D．2或－1【答案】D4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）20 20 正视图20 侧视图101020 俯视图Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【答案】B5．光线从点A（―3，5）射向直线l：x－y＝0，经过直线l反射后过点B（1，5），则光线从A点经反射点到B点的距离为（　　　）　A．2　　　　　　　　B．10　　　　　　C．2　　　　　　D．4【答案】　D6. 已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是　（　　　）A．3　　　　　B．2　　　　　C．1　　　　　　D．0【答案】　C7．点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为 ( ）A．（1，2） B．（2，1）　　　C．(1,2)或(2,－1)　　　 D．(2,1)或(－2,1)【答案】C8．如图，正方形SGGG中，E，F分别是GG，GG的中点，D是EF的　　中点，现在沿SE及EF把这个正方形折成一个四面体，使G，G，G三点　重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有（　　）A．SG⊥△EFG所在平面　　 　B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面　　 D．GD⊥△SEF所在平面【答案】　A9．若动点A、B分别在直线l1:x＋y－7＝0和l2:x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A.5 B.7 C. D.2【答案】C10．如图，若D、E、F分别是三棱锥S－ABC的侧棱SA、SB、SC上的点，且SD：DA＝SE：EB＝CF：FS＝2：1，那么平面DEF截三棱锥S－ABC所得的上下两部分的体积之比为（ ）A.4：31 B.6：23 　　C. 2：25 D. 4：23【答案】D　　（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S－ABC是棱长为3的正三棱锥，K是FC的中点，分别表示上下两部分的体积则，，选D二、填空题:请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）.11．直线y＝－1的斜率k＝ ．【答案】012．已知直线（3a＋2）x＋（1－4a）y＋8＝0与（5a－2）x＋（a＋4）y－7＝0垂直，则a的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】　0　or 113．四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V－AB－C的度数是 .【答案】60°14．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标是（1，－1），则直线l的倾斜角的正切值是　　　　　 . 【答案】 －15．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一饭粒，则这只蚂蚁取得饭粒所需经过的最短路程为　　 　． 【答案】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）.16．（13分）设直线的方程为（m2－2m－3）x＋(2m2＋m－1)y－2m－8＝0，根据下列条件求的值.(1)　直线的斜率为1；（2）直线经过点.　解：（1）由＝1　且2m2＋m－1≠0得　　　　得　m＝……7分　　　　　 （2）将P（－1,1）代入得　－（m－2m－3）＋（2m＋m－1）－2m－8＝0 ……10分　　　　　即：　m＋m－6＝0　　　∴　m＝2或m＝－3.　　　……13分17．（13分）如图，∩＝CD，∩＝EF，∩＝AB，AB∥，求证：CD∥EF .证明：∵　AB∥，∩＝CD，AB,∴　AB∥CD，………6分　　　同理　AB∥EF，∴　CD∥EF .　………………13分18．（13分）已知两直线：l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0交于点P.（1）求过P点，且和直线3x＋4y－20＝0平行的直线l的斜截式方程；（2）求过P点，且和直线x－y＋1＝0垂直的直线l的截距式方程 .【答案】解方程组得l1与l2的交点P（1，2）.（1）∵　l和直线3x＋4y－20＝0平行，∴可设l的方程为3x＋4y＋m＝0　………3分又直线l过P（1，2），∴　3×1＋4×2＋m＝0，　∴　m＝－11　　……5分∴　直线l的方程为3x＋4y－11＝0　化成斜截式方程为 y＝；………7分　（2）∵　l和直线x－y＋1＝0垂直，∴可设l的方程为x＋y＋n＝0　　…　…9分又直线l过P（1，2），∴　1＋2＋n＝0，　∴　n＝－3　　………11分∴　直线l的方程为x＋y－3＝0　　　化成截距式方程为 .…………13分222222正视图侧视图俯视图19. （12分）一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别是AB，BC的中点 . 　（1）求该多面体的表面积；（2）求证：MN∥平面ACCA；（3）求证：MN⊥平面ABC .解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC＝BC＝AA＝2，（1）S＝2S＋S＝2××2×2＋2×2×2＋2×＝12＋4（2）证明：连接AC，AB . 由直三棱柱的性质得AA⊥平面ABC，所以　AA⊥AB，则四边形ABBA为矩形，　由矩形的性质得，AB过AB的中点M.在△ABC中，由中位线性质，得MN∥AC，　又AC平面ACCA，MN平面ACCA，所以MN∥平面ACCA .　　………8分（3）因为CC⊥平面ABC，BC平面ABC，所以BC⊥CC. 又BC⊥AC，AC∩CC＝C，所以BC⊥平面ACCA，AC平面ACCA，　所以　BC⊥AC，在正方形ACCA中，AC⊥CA，又因为　AC∩CA＝C，所以AC⊥平面ABC. 由MN∥CA，得MN⊥平面ABC. 　……………………12分20．（12分）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）.（1）直线l过定点，请你求出该定点的坐标；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时l的方程.解：解：(1)法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．　　　　……………4分法二：设直线l过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是k≥0.　　　………………8分(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A(－，0)，B(0,1＋2k)，又－<0且1＋2k>0，∴k>0，故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)＝(4k＋＋4)≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.　　………………　12分21. （12分）如图边长为4的正方形所在平面与正所在平面互相垂直，分别为的中点.（1）求证：平面PQB⊥平面ABCD；（2）求：二面角的余弦值；（3）试问：段上是否存在一点使得平面平面若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.22. （1）证明：略　　……………4分（2）二面角的余弦值为　　………………8分（3）解，存在点当为中点时，平面四边形是正方形，为的中点，由（1）知，平面又　………12分。