2022年江西省吉安市沂江中学高三数学理测试题含解析.docx

2022年江西省吉安市沂江中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在三棱锥D-ABC中，已知AD⊥平面ABC，且△ABC为正三角形，，点O为三棱锥D-ABC的外接球的球心，则点O到棱DB的距离为（    ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】题中要求点O到棱DB的距离，需要借助于外接圆直径和棱DB计算设法构造三角形，使得棱DB和直径都在这个三角形中，使得待求的O到棱DB的垂线段构造的三角形另一条边的中位线这个三角形就是三角形(其中F点是延长线与球的交点)恰恰点在平面上，那就作平面ODA和平面截外接球得到的截面圆.【详解】作平面ODA交平面BC于E，交于F，设平面ODA截得外接球面为，D,A,F是圆周上的点，又平面ABC，，DF是的直径，因此球心O在DF上，AF是的直径，连结BD,BF，，，平面DAB，，，，又DO=OF，OH是 的中位线，故.故选D.【点睛】本题是三棱锥外接球的典型问题，是有难度的一类问题一般这类问题需要用平面截外接球所得的外接圆，将立体问题转化为平面问题2. 已知等差数列的前n项和为，且=             （    ）A．18            B．36            C．54            D．72参考答案：D3. 已知双曲线（）的右支与抛物线交于A，B两点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，且，则双曲线的离心率为（  ）A.        B.         C.          D. 参考答案：A4. （5分）（2013?河东区二模）函数图象的一个对称轴方程是（　　）　 A． B． C． D． x=π参考答案：考点： 二倍角的正弦；正弦函数的对称性．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 将函数解析式最后一个因式中的角变形后，利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，最后利用诱导公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的图象与性质即可得出函数y的对称轴方程，进而确定出正确的选项．解答： y=2sin（x+）cos（﹣x）=2sin（x+）cos[﹣（x+）]=2sin2（x+）=1﹣cos（2x+）=1+sin2x，令2x=2kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，则k=1时，x=为函数的一个对称轴方程．故选A点评： 此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．5. 在锐角△ABC中，“”是“sinA=”成立的                               (    ）A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件C．充要条件                         D．既不充分也不必要条件参考答案：C6. 已知集合A={x|0≤x≤5}，B={x∈N*|x﹣1≤2}则A∩B=（　　）A．{x|1≤x≤3} B．{x|0≤x≤3} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】容易求出B={1，2，3}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={1，2，3}，且A={x|0≤x≤5}；∴A∩B={1，2，3}．故选C．【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．7. 在一次赠书活动中，将2本不同的小说与2本不同的诗集赠给2名学生，每名学生2本书，则每人分别得到1本小说与1本诗集的概率为（　　）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==6，再求出每人分别得到1本小说与1本诗集包含的基本事件个数m=（）×=4，由此能示出每人分别得到1本小说与1本诗集的概率．【解答】解：在一次赠书活动中，将2本不同的小说与2本不同的诗集赠给2名学生，每名学生2本书，基本事件总数n==6，每人分别得到1本小说与1本诗集包含的基本事件个数m=（）×=4，∴每人分别得到1本小说与1本诗集的概率p=．故选：D．8. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序则输出的K和S值分别为(     ) A．9， B．11， C．13， D．15，参考答案：B考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，K的值，当K=11时，满足条件K＞10，退出循环，输出K的值为11，s的值为．解答： 解：模拟执行程序框图，可得s=0，K=1不满足条件K＞10，s=，K=3不满足条件K＞10，s=，K=5不满足条件K＞10，s=，K=7不满足条件K＞10，s=，K=9不满足条件K＞10，s=，K=11满足条件K＞10，退出循环，输出K的值为11，s的值为．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，K的值是解题的关键，属于基本知识的考查．9. 若函数为增函数，则实数a的取值范围为(    )A.[－1,+∞) B. [1,+∞) C. (－1,+∞) D. (1,+∞)参考答案：B【分析】求得函数的导数，把函数为增函数，转化为恒成立，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，则，因为函数为增函数，所以恒成立，即恒成立，又由，所以，即实数a的取值范围是[1,+∞).故选：B.【点睛】本题主要考查了利用函数单调性求解参数问题，其中解答熟记函数的导数与原函数的关系，合理转化是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10. 如图，中，，若其顶点在轴上运动，顶点在轴的非负半轴上运动.设顶点的横坐标非负，纵坐标为，且直线的倾斜角为，则函数的图象大致是 （    ）A．        B．      C.         D．参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列的通项公式，其前项和为，则=   ▲    ．参考答案：－100812. 已知函数将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．参考答案：13. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.参考答案：1614. 已知________.参考答案：略15. （几何证明选讲选做题）是圆的直径，切圆于，于，，，则的长为          ．参考答案：略16. 下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数上的点，如图1；将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3.图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作.     下列说法中正确命题的序号是           .(填出所有正确命题的序号)①方程的解是；           ②；     ③是奇函数；                      ④在定义域上单调递增；    ⑤的图象关于点 对称．参考答案：①④17. 假设在10秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等第进入同一部，若这两条短信进入的时间之差大于3秒，就会不受到干扰，则不受到干扰的概率为　　．参考答案：【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤10，0≤y≤10．由题目得，如果受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤3．则该事件即为x﹣y=3和y﹣x=3在0≤x≤10，0≤y≤10的正方形中围起来的图形，即图中阴影区域，而所有事件的集合即为正方型面积102=100，阴影部分的面积2×（10﹣3）2=49，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为不受到干扰的概率为．故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用．【分析】（1）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x转化为≥b．构造函数g（x）=，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．（2）函数f（x）在定义域上是单调函数，需f′（x）在定义域上恒非负或恒非正．考查f′（x）的取值情况，进行解答．【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴a=1，f（x）=x2+x﹣xlnx．由f（x）≥bx2+2x?≥b．令g（x）=，可得g（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0．（2）f′（x）=2ax﹣lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥，   令h（x）=，当x=e时，h（x）max=∴当时，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此时．函数f（x）在定义域上单调递增．若，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣由g′（x）=0，得出x=，，g′（x）＜0，，g′（x）＞0，∴x=时，g（x）取得极小值也是最小值．而当时，g（）=1﹣ln＜0，f′（x）=0必有根．f（x）必有极值，在定义域上不单调．综上所述，．【点评】此题考查函数单调性与导数的关系的应用，考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．19. （本题满分15分）已知函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）求函数的单调区间；（3）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为{且}       ∴为偶函数 ----3分  （Ⅱ）当时， 若，则，递减；   若，   则，递增． 再由是偶函数，得的递增区间是和；递减区间是和． ---------------9分（Ⅲ）由，得：     令当，     显然时，，      时，，∴时， ∴若方程有实数解，则实数的取值范围是[1，＋∞）．------------------------15分20. 已知函数(为自然对数的底数，).(1)求的单调区间和极值；(2)求证：当，且时，.参考答案：(1)解：由，知，，令，得，于是当变化时，，的变化情况如下表：-0+↘↗故的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，极小值为.(2)证明：待证不等式等价于，设，，于是，，由(1)及知：的最小值为，于是对任意，都有，所以在内单调递增，于是当时，对任意，都有，而，从而对任意，，即，故.21. 设椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，坐标原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上的一点，,连接QN。