双曲线简单几何性质知识点总结.doc

四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数2a（0＜2a＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线 定点叫做双曲线的焦点；|F1F2|=2c，叫做焦距● 备注：① 当|PF1|-|PF2|=2a时，曲线仅表示右焦点F2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF2|-|PF1|=2a时，曲线仅表示左焦点F1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点的2条射线； ③ 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在双曲线与（a>0,b>0）的区别和联系标准方程（a>0,b>0） （a>0,b>0）图像性质范 围对称性顶点坐标焦点坐标实、虚轴渐近线准线方程离心率焦半径通径a，b，c之间的关系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程（a＞0，b＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大 x的取值范围________ ,y的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a叫做半实轴长虚轴：长为2b，b叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率．准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；6．渐近线过双曲线的两顶点，作x轴的垂线，经过作y轴的垂线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（），这两条直线就是双曲线的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

7．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 性质：（1）渐近线方程为：； （2）渐近线互相垂直； （3）离心率 8．共渐近线的双曲线系与双曲线（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可表示为(λ≠0且λ为待定常数)●备注：与双曲线 (a＞b＞0)共焦点的双曲线方程可表示为 (λ＜a2,且b2＞ - λ)例1 求与双曲线 - ＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.9．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 10.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线 ，是其左右焦点 则由第二定义：， 同理 11．通径 定义：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦 。