中职数学314函数的_奇偶性.ppt

函数函数函数函数3.1.4 函数的奇偶性鱼台二中：鱼台二中： 高二数学组高二数学组 李合会李合会大家动手画一下n画函数画函数f (x) = x3 f (x) = x2中心对称图形中心对称图形11yxf (x) = x3O- -1- -1轴对称图形轴对称图形yxOf (x) = x21- -11- -1yxO中心对称图形中心对称图形y1- -11- -1xOf (x) = x3则则 f (2) = ；；f (- -2) = ；； f (1) = ；；f (- -1) = ；；求值并观察总结规律求值并观察总结规律则则 f (2) = ；；f (- -2) = ；； f (1) = ；；f (- -1) = ；；y1- -11- -1xOf (x) = 2x1. 已知已知 f (x) = 2x，，2. 已知已知 f (x) = x3，，=- - f (x)f (- -x) = 4- -42- -2- -2x=- - f (x)f (- -x) = - -x38- -81- -1图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 如果如果对于函数于函数 y = f (x)的定的定义域域 A内的内的任意任意一个一个 x,都有都有 f (- -x) = - -f (x)，，则这个函数叫做个函数叫做奇函数奇函数.y1- -11- -1xOy=f(x)(- -x，，f(- -x))(x，，f(x))f (- -x) = - -f (x) 奇函数的定义：奇函数的定义：奇函数奇函数图象是中心图象是中心对称图形对称图形奇函数的定义域对应的区间关于奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点坐标原点对称．对称． 改变函数的定义域，它还是奇函数吗？改变函数的定义域，它还是奇函数吗？y1- -11- -1xOy = x3 (x≠0)y1- -11- -1xOy = x3 (x≠1)y1- -11- -1xOy = x3 (x≥0)y1- -11- -1xOy=x3 (－－1≤x≤1)是是否否否否是是奇函数的定义域对应的区间关于奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点坐标原点对称．对称． 判断下列函数是奇函数吗？判断下列函数是奇函数吗？（（1）） f (x) = x3，，x [－－1，，3]；；（（2）） f (x) = x，，x (－－1，，1]．．否否否否 解解: （（1）函数）函数 f（（x））= 的定义域为的定义域为A = { x | x ≠ 0} ，，所以当所以当 x   A 时，时，- -x   A．．因为因为 f（（- -x））= = - - = - - f（（x），），所以函数所以函数 f（（x））= 是奇函数．是奇函数．x1x1x1- - x1例例1 判断下列函数是不是奇函数：判断下列函数是不是奇函数：（（1））f（（x））= ；； （（2））f（（x））= - -x3 ；；（（3））f（（x））= x +1 ；； （（4））f（（x））= x + x3 + x5 + x7．．x1解解: （（2）函数）函数 f（（x））= - -x3 的定义域为的定义域为R，，因为因为 f（（- -x））= - -(- -x)3 = x3 = - - f（（x），），所以函数所以函数 f（（x））= - -x3 是奇函数．是奇函数．例例1 判断下列函数是不是奇函数：判断下列函数是不是奇函数：（（1））f（（x））= ；； （（2））f（（x））= - -x3 ；；（（3））f（（x））= x +1 ；； （（4））f（（x））= x + x3 + x5 + x7．．x1解解: （（3）函数）函数 f（（x））= x+1 的定义域为的定义域为R，，因为因为f（（- -x））= - -x +1- - f（（x））= - -（（ x + 1 ）） = - - x - - 1 ≠ f（（ - - x），），所以函数所以函数 f（（x））= x+1 不是奇函数．不是奇函数．例例1 判断下列函数是不是奇函数：判断下列函数是不是奇函数：（（1））f（（x））= ；； （（2））f（（x））= - -x3 ；；（（3））f（（x））= x +1 ；； （（4））f（（x））= x + x3 + x5 + x7．．x1解解: （（4）函数）函数 f（（x））= x + x3 + x5 + x7的定义域为的定义域为R，，f（（- -x））= - - x + (- - x)3 + (- - x)5 + (- - x)7 = - - (x + x3 + x5 + x7) = - - f（（x）） ．．所以函数所以函数 f（（x））= x + x3 + x5 + x7是奇函数．是奇函数．例例1 判断下列函数是不是奇函数：判断下列函数是不是奇函数：（（1））f（（x））= ；； （（2））f（（x））= - -x3 ；；（（3））f（（x））= x +1 ；； （（4））f（（x））= x + x3 + x5 + x7．．x1不是不是是是是是不是不是探究： 若奇函数在原若奇函数在原点有定义，点有定义， 则则f(0)=?f(0)=?？？？？？？？？？？？？偶函数的定义偶函数的定义 如果如果对于函数于函数 y = f (x)的定的定义域域A内的内的任意任意一个一个 x, 都有都有 f (- -x) = f (x)，，则这个函数叫做个函数叫做偶函数偶函数.偶函数的图象特征：偶函数的图象特征： 以以y 轴为对称轴的轴为对称轴的轴轴对称图形．对称图形．定义域对应的区间关于坐标原点对称．定义域对应的区间关于坐标原点对称． 偶函数偶函数图象是图象是以以y 轴为对称轴的轴轴为对称轴的轴对称图形对称图形y1- -11- -1xOy=f(x)(- -x，，f(- -x))(x，，f(x))解：解： （（1）函数）函数 f（（x））= x2 + x4 的定义域为的定义域为R,因为因为 f（（- -x））= (- -x)2 +(- - x)4 = x2 + x4 = f（（x），），所以函数所以函数 f（（x））= x2 + x4 是偶函数．是偶函数．例例2 判断下列函数是不是偶函数：判断下列函数是不是偶函数：（（1））f（（x））= x2 + x4 ；； （（2））f（（x））= x2 + 1；； （（3））f（（x））= x2 + x3 ；； （（4））f（（x））= x2 + 1 ，，x [- -1，， 3]．．解：解： （（2）函数）函数 f（（x））= x2 + 1的定义域为的定义域为R，，因为因为 f（（- -x））= (- -x)2 +1 = x2 + 1 = f（（x）） ，，所以函数所以函数 f（（x））= x2 + 1 是偶函数．是偶函数．例例2 判断下列函数是不是偶函数：判断下列函数是不是偶函数：（（1））f（（x））= x2 + x4 ；； （（2））f（（x））= x2 + 1；； （（3））f（（x））= x2 + x3 ；； （（4））f（（x））= x2 + 1 ，，x [- -1，， 3]．．解：解： （（3）函数）函数 f（（x））= x2 + x3 的定义域为的定义域为R，，因为因为 f（（- -x））= (- -x)2 +(- - x)3 = x2 –– x3 ，，所以当所以当 x ≠ 0时，时， f（（- -x））≠ f（（x））函数函数 f（（x）＝）＝ x2 + x3 不是偶函数．不是偶函数．例例2 判断下列函数是不是偶函数：判断下列函数是不是偶函数：（（1））f（（x））= x2 + x4 ；； （（2））f（（x））= x2 + 1；； （（3））f（（x））= x2 + x3 ；； （（4））f（（x））= x2 + 1 ，，x [- -1，， 3]．．解：解： （（4）函数）函数f（（x））= x2 + 1 ，，x [- -1, 3] 的定义域为的定义域为A=[- -1, 3] ，， 因为因为 2   A，而，而- -2  A ．． 所以函数所以函数 f（（x））= x2 + 1 ，，x [- -1, 3] 不是偶函数．不是偶函数．例例2 判断下列函数是不是偶函数：判断下列函数是不是偶函数：（（1））f（（x））= x2 + x4 ；； （（2））f（（x））= x2 + 1；； （（3））f（（x））= x2 + x3 ；； （（4））f（（x））= x2 + 1 ，，x [- -1, 3]．．123-1xyO-2-3练习练习2 判断下列函数是不是偶函数：判断下列函数是不是偶函数：（（1））f（（x））= (x +1) (x - -1) ；；（（2））f（（x））= x2+1，，x  （（- -1，，1] ；；（（3））f（（x））= ．．你能小结判断函数奇偶性的你能小结判断函数奇偶性的方法步骤吗？方法步骤吗？3、判断下列函数的奇偶性：函数奇偶性分为四类：函数奇偶性分为四类：（（1）奇函数（不是偶函数））奇函数（不是偶函数）（（2）偶函数（不是奇函数））偶函数（不是奇函数） （（3）既不是奇函数也不是偶函数）既不是奇函数也不是偶函数（（4）既是奇函数又是偶函数）既是奇函数又是偶函数结论：对于形如结论：对于形如 f(x)=x n 的函数，的函数， 若若n为偶数，则它为偶函数。

为偶数，则它为偶函数 若若n为奇数，则它为奇函数为奇数，则它为奇函数探究：判断探究：判断 的奇偶性的奇偶性答：定义域是答：定义域是{0}，，f(x)=0,是既奇又偶函数是既奇又偶函数x0yx0yx0yx0y1-11-1ACDB4、、观察观察这些这些函数函数图像，图像，判断判断奇偶奇偶性：性：13-1-3-1-3135、动动手：、动动手：已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象.xy0相等相等xy0相等相等若函数y=f(x)是奇函数是奇函数课堂练习：课堂练习：1.若奇函数若奇函数f(x)当当x<0时时f(x)=x2-5，则，则f(6)= .2.若奇函数若奇函数f(x)在在[-7,-3]上是增函数且最小值为上是增函数且最小值为5，， 那么那么f(x)在在[3,7]上是上是 函数且最函数且最 值为值为 3.若定义域为若定义域为(-∞,0)∪∪(0,+∞)的奇函的奇函数数f(x)的一部分图象的一部分图象(如图如图)，则不等，则不等式式f(x)>0的解集为的解集为 .xyo-1-1○-31增增大大-5{x|x<-1或或0

的大小 3.在公共定义域上，有在公共定义域上，有奇奇·奇奇= ，， 偶偶·偶偶= ，， 奇奇·偶偶= 奇奇±奇奇= ，， 偶偶±偶偶= ，， 奇奇±偶偶= 课后思考后思考。