2012年全国各地高中数学竞赛试题(不含答案).pdf

2012 年高中数学竞赛试题 2012 年北京市高中数学初赛（高一） ...................................................................... 2 2012 年北京市高中数学复赛（高一） ...................................................................... 4 2012 年湖北省高中数学预赛（高一） ...................................................................... 5 2012 年湖北省高中数学预赛（高二） ...................................................................... 6 2012 年福建省高中数学预赛（高一） ...................................................................... 7 2012 年河南省高中数学预赛（高一） ...................................................................... 9 2012 年江苏高中数学竞赛（初赛） ........................................................................ 11 2012 年上海市高中数学竞赛（新知杯） ................................................................ 12 2012 年四川省高中数学预赛 .................................................................................... 13 2012 年陕西省高中数学预赛 .................................................................................... 15 2012 年河北省高中数学预赛 .................................................................................... 17 2012 年甘肃省高中数学预赛 .................................................................................... 19 2012 年安徽省高中数学预赛 .................................................................................... 20 2012 年山东省高中数学预赛 .................................................................................... 21 2012 年浙江省高中数学预赛 .................................................................................... 23 PNMCAB2012 年北京市年北京市高中高中数学数学初赛（初赛（高高一一）） 一、 选择题（满分 36 分=6×6 分） 1． 𝑓(𝑥) = �2 + 𝑥,𝑥 > 0 5, 𝑥 = 0 2𝑥, 𝑥 0.若𝑃 = 𝑓�14� + 𝑓�15�,𝑄 = 𝑓�16�,𝑅 = 𝑓(0)； 则𝑃,𝑄,𝑅的大小关系为 （A）𝑅 > 𝑃 > 𝑄（B）𝑅 > 𝑄 > 𝑃（C）𝑃 > 𝑅 > 𝑄（D）𝑄 > 𝑃 > 𝑅 二、 填空题（满分 64 分=8×8 分） 1. 求log2sin𝜋3+ log2tan𝜋6+ log2cos𝜋4的值. 2. 已知𝑓(𝑥)是四次多项式，且满足𝑓(𝑖) =1𝑖,𝑖 =1,2,3,4,5，求𝑓(6)的值. 3. 若[𝑥]表示不超过 x 的最大整数，求满足方程 [𝑛lg2] + [𝑛lg5] = 2012的自然数 n 的值. 4. 如图， 半径为 1 的两个等圆相交，在两圆的公共 部分作一内接正方形 ABCD.如果圆心距𝑂1𝑂等于 1， 试求正方形 ABCD 的面积. CDBAO1O5. 求1212−1×2012+12×20122+3232−3×2012+12×20122+5252−5×2012+12×20122+7272−7×2012+12×20122+ ⋯+2011220112−2011×2012+12×20122的值. 6. 在单位正方形ABCD 中， 分别以A,B,C,D四点为圆心， 以 1 为半径画弧，如图所示，交点为 M,N,L,K，求阴影部分 的面积. 7. 已 知 二 次 函 数 𝑓(𝑥) 满 足 𝑓(−10) = 9,𝑓(−6) = 7,𝑓(2) = −9，求𝑓(100)的值. 8. 上底 BC=2， 下底 AD=3 的梯形 ABCD 的对角线相交于 点 O，彼此外切于点 O 的两个圆分别切直线 AD 于点 A 和 点 D，交 BC 分别于点 K,L，求𝐴𝐴2+ 𝐷𝐷2的值. NMLKCDAB2012 年北京市年北京市高中高中数学数学复赛（复赛（高一高一）） 一、 填空题（本题共 5 个小题，每小题 8 分，满分 40 分） 1. 函数𝑦 =𝑥4−13𝑥2+36(𝑥−3)(𝑥+2)的图像与平行于 x 轴的直线𝑦 = 𝑐恰有一个交点，则 c 能取到的所有值的乘积等于________. 2. 如图，锐角△ABC 内接于半径为 R 的⊙O，H 是△ABC 的垂心， AO 的延长线与 BC 交于点 M，若𝑂𝑂 ⊥ 𝐴𝑂,𝐵𝐶 = 10,𝑂𝐴 = 6，则OM=___________. 3. 二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐的图像与 x 轴有两个交点 A 和 B，顶 点为 C，如果△ACB 恰是直角三角形，那么判别式𝛥的值是______. 4. 如图，半圆 O 的半径为 1，𝐴𝐶 ⊥ 𝐴𝐵于 A，𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐵于 B，且 𝐴𝐶 = 2,𝐵𝐷 = 3，P 是半圆上任意一点，则封闭图形 ABDPC 的面积 的最大值为___________. 5. 和为111的两个自然数x和y， 使得等式√𝑥𝑐𝑐𝑐𝜋𝑦2𝑥+ �𝑦𝑐𝑖𝑛𝜋𝑥2𝑦= 0成立，满足这个条件的一组自然数(𝑥,𝑦)是_____________. 二、 （本题满分 15 分） 如图， 在△ABC 中， ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°,𝐴𝐶 = 3,𝐵𝐶 = 4以 B 为中心， 将△ABC 顺时针旋转， 使点 A 落在 CB 延长线上的点𝐴1处， 此时点C 落在点𝐶1的位置.连接𝐴𝐴1,𝐶𝐶1相交于O， 𝐶𝐶1交 AB 于 D， 𝐴𝐴1交𝐵𝐶1于 E， 求四边形 BDOE 的面积. 三、 （本题满分 15 分） （1） 如 果 整 数 𝑎、𝑏 和 𝑐 满 足 关 系 式𝑎2+ 𝑏2= 2𝑐2− 2，求证：144|𝑎𝑏𝑐. （2） 试写出不定方程𝑎2+ 𝑏2= 2𝑐2− 2的一组正整数解，并对这组正整数解验证144|𝑎𝑏𝑐. 四、 （本题满分 15 分） 在边长都是正整数的三角形中， 周长是 2009 的三角形与周长是 2012 的三角形哪一种数量多？ 说明理由. 五、 （本题满分 15 分） 在锐角△ABC 中，O 是外心，I 是内心，连接 AI，BI 和 CI 的直线交△ABC 的外接圆分别于点𝐴1，𝐵1和𝐶1.求证：𝑆△𝐴𝐵𝐶𝑆△𝐴1𝐵1𝐶1=2𝑟𝑅. （其中 R 是外接圆的半径，r 是内切圆的半径） MHOABCDCAOBPEODC1A1BAC2012 年湖北省高中数学预赛（高一）年湖北省高中数学预赛（高一） 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分.直接将答案写在横线上.） 1 ． 已 知 集 合 𝐴 = {𝑥|𝑥 ≤ 𝑎},𝐵 = {𝑥|𝑥 > 𝑏},𝑎,𝑏 ∈ 𝐴 ， 且 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐴 = {1} ， 则 𝑎 + 𝑏 =___________． 2．已知正项等比数列{𝑎𝑛}的公比𝑞 ≠ 1，且𝑎2,𝑎4,𝑎5成等差数列，则𝑎1+𝑎4+𝑎7𝑎3+𝑎6+𝑎9=_________． 3．函数𝑓(𝑥) = �𝑥+1𝑥2+4𝑥+7的值域为__________． 4．已知3sin2𝛼 + 2sin2𝛽 = 1，3(sin𝛼 + cos𝛼)2− 2(sin𝛽 + cos𝛽)2= 1，则cos2(𝛼 + 𝛽) =_________． 5．已知数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1为正整数， 𝑎𝑛+1= �𝑎𝑛 2, 𝑎𝑛为偶数3𝑎𝑛+ 1, 𝑎𝑛为奇数如果𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3= 29，则𝑎1=_________． 6． 在△ 𝐴𝐵𝐶中， 角𝐴,𝐵,𝐶的对边长𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎 + 𝑐 = 2𝑏， 且𝐶 = 2𝐴， 则sin𝐴 =___________． 7．在△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 2,𝐴𝐶 = 3．设𝑂是△ 𝐴𝐵𝐶的内心，若𝐴𝑂�����⃗= 𝑝𝐴𝐵�����⃗+ 𝑞𝐴𝐶�����⃗，则𝑝 𝑞的值为___________． 8．设𝑥1,𝑥2,𝑥3是方程𝑥3− 𝑥 + 1 = 0的三个根，则𝑥15+ 𝑥25+ 𝑥35的值为____________． 二、解答题（本大题满分 56 分，第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，第 11 题 20 分） 9 ． 已 知 正 项 数 列 {𝑎𝑛} 满 足 �𝑎𝑛𝑎𝑛+1+ 𝑎𝑛𝑎𝑛+2= 4�𝑎𝑛𝑎𝑛+1+ 𝑎𝑛+12+ 3�𝑎𝑛𝑎𝑛+1且𝑎1= 1,𝑎2= 8，求{𝑎𝑛}的通项公式． 10．已知正实数𝑎,𝑏满足𝑎2+ 𝑏2= 1，且𝑎3+ 𝑏3+ 1 = 𝑚(𝑎 + 𝑏 + 1)3，求𝑚的最小值． 11．设𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥 − 2𝑎) + log𝑎(𝑥 − 3𝑎)，其中𝑎 > 0且𝑎 ≠ 1．若在区间[𝑎 + 3,𝑎 + 4]上 𝑓(𝑥) ≤ 1恒成立，求𝑎的取值范围． 2012 年湖北省高中数学预赛（高二）年湖北省高中数学预赛（高二） 一、 填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分.直接将答案写在横线上.） 1． 函数𝑓(𝑥) = �𝑥+1𝑥2+4𝑥+7的值域为__________． 2． 已 知 3sin2𝛼 + 2sin2𝛽 = 1 ， 3(sin𝛼 + cos𝛼)2− 2(sin𝛽 + cos𝛽)2= 1 ， 则cos2(𝛼 + 𝛽) =_________． 3． 已知数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1为正整数， 𝑎𝑛+1= �𝑎𝑛 2, 𝑎𝑛为偶数3𝑎𝑛+ 1, 𝑎𝑛为奇数如果𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3= 29，则𝑎1=_________． 4． 设集合𝑆 = {1,2,3,⋯。