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全国高中数学联赛A卷及B卷试题及2 0 1 7 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 A 卷一试一、填空题1.设f ( x) 是定义在 R 上的函数，对任意实数 x 有 f ( x3) f ( x 4)1 . 又当 0 x 7 时，f ( x)log 2 (9 x) ，则 f ( 100) 的值为 __________.2.若实数 x, y 满足 x22 cos y 1 ，则 x cos y 的取值范围是 __________.3.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为 : x 2y 21，F 为 C的上焦点， A为C的右910极点， P 是 C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 __________.4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差不高出1，则称其为“平稳数” . 平稳数的个数是 5. 正三棱锥 P-ABC中，AB=1，AP=2，过 AB的平面α将其体积均分，则棱 PC与平面α所成角的余弦值为 ________.6.在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x, y1,0,1 . 在 K 中随机取出三个点， 则这三点中存在两点之间距离为5 的概率为 __________.7.在 ABC 中，M 是边 BC 的中点， N 是线段 BM 的中点 . 若 A， ABC 的面积为3 ，3则 AM AN 的最小值为 __________. / 8. 设两个严格递加的正整数数列an, bn满足：a10b102017，对任意正整数n ，有an 2an 1an ， bn 12bn ，则 a1b1 的所有可能值为__________.二、解答题9. 设 k, m 为实数，不等式 x 2kx m1对所有 x a, b 成立 . 证明： ba2 2 .10. 设 x1 , x2 , x3 是非负实数，满足 x1x2x3 1 ，求 ( x13x25x3 )( x1x2x3 ) 的最小值35和最大值 .11. 设复数z1 , z2 满足 Re(z1 )0 ，Re(z2 )2Re(z2（其中Re(z)表示复数 z0 ，且 Re(z1 )2 )2的实部） .（1）求 Re(z1 z2 ) 的最小值； （ 2）求 z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值 .2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试一 . 如图，在 ABC 中， ABAC，I 为ABC 的内心，以 A 为圆心， AB 为半径作圆1 ，以 I 为圆心， IB 为半径作圆2，过点 B,I的圆与 1 ,2 分别交于点 P, Q（不同样于点）3B .设 IP 与 BQ 交于点 R. 证明： BRCR二 . 设数列 an 定义为 a1 1 ，anann, ann,1,2, . 求满足 arr 32017 的正整1ann, annn,数 r 的个数 .三 . 将 33 33 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等 . 若相邻连个小方格的颜色不同样，则称它们的公共边为“分开边” . 试求分开边条数的最小值 .四 . 设 m, n 均是大于 1 的整数， m n ， a1, a2 ,, an 是 n 个不高出 m 的互不同样的正整数，且 a1 , a2, , an 互素 . 证明：对任意实数 x ，均存在一个 i (1 i2x ，n) ，使得 ai xm(m1)这里 y表示实数 y 到与它近来的整数的距离 .2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试答案一 .二 .三 .四 .2017 年全国高中数学结合竞赛一试（ B 卷）一、填空题：本大题共 8个小题,每题 8分,共 64分.1.在等比数列 { an } 中， a22 ， a3 3 3 ，则 a1a2011的值为.a7a20172.设复数 z 满足 z 9 10z22i ，则 | z |的值为.3.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，若 f ( x) x2 是奇函数， f ( x)2x 是偶函数，则 f (1) 的值为.4.在 ABC 中，若 sin A2sin C ，且三条边a,b,c 成等比数列，则 cos A的值为.5.在正周围体 ABCD 中，分别在棱AB, AC上，满足 BE3，EF4，且 EF 与平面 BCDE, F平行，则 DEF 的面积为.6.在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K{( x, y) | x, y1,0,1} ，在 K 中随机取出三个点， 则这三个点两两之间距离均不高出2 的概率为.7.设 a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线 x2ay 2a20 的焦距为 4，则 a的值为.8.若正整数 a,b, c 满足 201710a 100b1000c ，则数组 (a, b,c) 的个数为.二、解答题（本大题共 3 小题，共 56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）9.设不等式| 2xa | | 52x | 对所有 x[1,2] 成立，求实数 a 的取值范围 .10. 设数列 {an} 是等差数列，数列baaa2， n 1,2,L.{ bn } 满足 nn 1n 2n（ 1）证明：数列 { bn } 也是等差数列；（ 2）设数列 { a} 、{ b }的公差均是d0，并且存在正整数s, t，使得ab 是整数，求| a |nnst1的最小值 .11. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1: y24x ，曲线 C2 : ( x4) 2y28，经过 C1 上一点 P作一条倾斜角为45o 的直线 l ，与 C2 交于两个不同样的点 Q, R ，求 | PQ || PR | 的取值范围 .2017 年全国高中数学结合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40 分）设实数 a, b, c 满足 a bc 0 ，令 dmax{ a , b , c } ，证明： (1a)(1b)(1 c) 1 d 2二、（本题满分 40 分）给定正整数 m ，证明：存在正整数 k ，使得可将正整数集 N 分拆为 k 个互不订交的子集A1 , A2 ,L , Ak ，每个子集 Ai 中均不存在 4 个数 a, b, c, d （可以同样），满足 ab cd m .三、（本题满分 50 分）如图，点 D 是锐角 ABC 的外接圆 上弧 BC 的中点，直线 DA 与圆 过点 B, C 的切线分别订交于点 P,Q ， BQ 与 AC 的交点为 X ， CP与 AB 的交点为 Y ， BQ 与 CP 的交点为 T ，求证： AT 均分线段 XY .四、（本题满分 50 分）设 a1 , a2 ,L , a20{1,2,L ,5}， b1, b2 ,L ,b20{1,2,L,10} ，会集X {( i , j ) 1ij20,( aia j )(bibj )0} ，求X 的元素个数的最大值.一试一试卷答案1.答案： 8解：数列 { an} 的公比为 qa33 3 ，故 a1a2011a1a201118 .9a22a7a2017q6 (a1 a2011 )q692.答案： 5 。

解：设 za bi , a,bR ，由条件得 (a9)bi 10a(10b22)i ，比较两边实虚部可得a9。