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文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 主编：费允杰 主编：费允杰 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 1第一章 随机事件和概率 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 第一节 基本概念 1、概念网络图 1、概念网络图 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ −+→ ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件 随机试验BCCBCBCBAP AEω2、重要公式和结论 2、重要公式和结论 （1）排列 组合公式 )!(! nmmPn m−= 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数 )!( !! nmnmCn m−= 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数 （2）加法 和 乘 法 原 理 加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成 （3）一些 常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机 试 验 和 随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验 试验的可能结果称为随机事件 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 2（5）基本 事件、样本 空 间 和 事 件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。

Ω为必然事件，Ø 为不可能事件 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件 （6）事件 的 关 系 与 运算 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生） ： BA ⊂ 如果同时有BA ⊂，AB ⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B： A=B A、B中至少有一个发生的事件：A∪B，或者A+B 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件 A、B同时发生：A∩B，或者ABA∩B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生， 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥基本事件是互不相容的 Ω-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A它表示 A 不发生 的事件互斥未必对立 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：∪∩∞=∞==11iiiiAABABA∩∪=，BABA∪∩= （7）概率 的 公 理 化 定义 设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件1A，2A，…有 ∑∞=∞==⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛11)(iiiiAPAP∪常称为可列（完全）可加性。

则称 P(A)为事件A的概率 （8）古典 概型 1° {}nωωω?21,=Ω， 2° nPPPn1)()()(21===ωωω? 设任一事件A，它是由mωωω?21,组成的，则有 P(A)={})()()(21mωωω∪?∪∪ =)()()(21mPPPωωω+++? nm=基本事件总数所包含的基本事件数A= （9）几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何 概型对任一事件 A， 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 3)()()(Ω=LALAP其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） （10）加法 公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法 公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B⊂A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P(B)=1- P(B) （12）条件 概率 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称)()( APABP为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为=)/(ABP)()( APABP。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率 例如 P(Ω/B)=1⇒P(B/A)=1-P(B/A) （13）乘法 公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP= 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有 21(AAP…)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP=……21|(AAAPn… )1−nA （14）独立 性 ①两个事件的独立性 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP=， 则称事件A、B是相互独立的若事件A、B相互独立，且0)(>AP，则有 )()()()( )()()|(BPAPBPAP APABPABP===若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独 立 必然事件Ω和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立 Ø 与任何事件都互斥 ②多个事件的独立性 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。

对于 n 个事件类似 （15）全概 公式 设事件nBBB,,,21?满足 1°nBBB,,,21?两两互不相容，),, 2 , 1(0)(niBPi?=>， 2°∪niiBA1=⊂ ， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+++=? （16）贝叶 斯公式 设事件1B，2B，…，nB及A满足 1° 1B，2B，…，nB两两互不相容，)(BiP>0，=i1，2，…，n， 2° ∪niiBA1=⊂ ，0)(>AP， 则 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 4∑ ==njjjii i BAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n 此公式即为贝叶斯公式 )(iBP， （1=i，2，…，n） ，通常叫先验概率)/(ABPi， （1=i，2，…， n） ，通常称为后验概率贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断 （17）伯努 利概型 我们作了n次试验，且满足 ? 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； ? n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp =−1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk≤≤次的概率， knkknnqpkPC−=)(，nk,, 2 , 1 , 0?= 例 1．1：有 5 个队伍参加了甲 A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问 总共输的场次是多少？ 例 1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有 小鹰号和 Titanic 号，问有多少种走法？ 例 1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和 Titanic 号，问有多少种走法？ 例 1．4：10 人中有 6 人是男性，问组成 4 人组，三男一女的组合数 例 1．5：3 封不同的信，有 4 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 例 1．6：某市共有 10000 辆自行车，其牌照号码从 00001 到 10000，求有数字 8 的牌照号码的个数 例 1．7：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的种数？（有序） 151 51 3=•CC 211 21 21 51 5=•−•CCCC 例 1．8：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的种数？（有序） 121 41 3=•CC 181 11 21 41 5=•−•CCCC 例 1．9：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的种数？（无序） 121 41 3=•CC 92 22 5=−CC 例 1．10：化简 (A+B)(A+B)(A+B) 例 1．11：)()()(CBCACBA∪∪= 成立的充分条件为： (1)CA⊂ (2) CB⊂ 例 1．12：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的概率？ 例 1．13：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的概率？ 例 1．14：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的概率？ 例 1．15：袋中装有α个白球及β个黑球。

①从袋中任取 a+b 个球，试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率（a≤α，b≤β） 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 5②从袋中任意地接连取出 k+1（k+1≤α+β）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率 ③上两题改成“放回” 例 1．16：有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问其中至少有 1 个是黑色的概率？ 例 1．17：设 O 为正方形 ABCD[坐标为（1，1） ， （1，-1） ， （-1，1） ， （-1，-1）]中的一点，求其落在 x2+y2≤1 的概率 例 1．18：一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色现从袋中取球两次，每次一只，取出后不 再放回试求：①两只球都是白色的概率；②两只球颜色不同的概率；③至少有一只白球的概率 例 1．19：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ 1
一次打开；②第二次打开；③第三次打开 例 1．20：某工厂生产的产品以 100 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过 3 件，并具有如下的概 率： 一批产品中的次品 数 0 1 2 3 概 率 0.10.20.30.4 现在进行抽样检验，从每批中抽取 10 件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求一 批产品通过检验的概率。

例 1．21：某工厂生产的产品以 100 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过 3 件，并具有如下的概 率： 一批产品中的次品 数 0 1 2 3 概 率 0.10.20.30.4 现在进行抽样检验，从每批中抽取 10 件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求通过检验的一批产品中，恰有)4。