2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南）.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的______A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=___ D ____A.9 B.10 C.12 D.134.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于____ A.4 B.3 C.2 D.15.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2sinB=b，则角A等于______A. B. C. D. 6.函数f（x）=㏑x的图像与函数g（x）=x2-4x+4的图像的交点个数为______A.0 B.1 C.2 D.37.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于______A． B.1 C. D.8.已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ____A. B. C. D.9.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=____A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知集合,则_____ 11.在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为_____12.执行如图1所示的程序框图，如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为____9___13.若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为______14.设F1，F2是双曲线C， (a>0,b>0)的两个焦点若在C上存在一点P使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为___________.15.对于E={a1，a2,….a100}的子集X={a1，a2,…,an},定义X的“特征数列”为x1,x2…,x100,其中x1=x10=…xn=1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，0，0，…,0 (1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于____ _______;(2) 若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…,P100 满足P1+Pi+1=1, 1≤i≤99;E 的子集Q的“特征数列” q1，q2，q100 满足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为_________.三、解答题；本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分12分） 已知函数f(x)=（1） 求的值；（2） 求使 成立的x的取值集合17.(本小题满分12分) 如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在菱BB1上运动I） 证明：AD⊥C1E；（II） 当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三菱子C1-A2B1E的体积18.（本小题满分12分）某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量(单位：kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.19.（本小题满分13分）设为数列{}的前项和，已知，2，N（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；(Ⅱ)求数列｛｝的前项和20.（本小题满分13分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。

Ⅰ）求圆的方程；(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，当最大时，求直线的方程21.（本小题满分13分）已知函数f（x）=.（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0.参考答案一、选择题1．B 2．A 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10． 11．4 12．4 13．6 14． 15．（1） 2 （2）17 16．解： (1) 2）由（1）知，17．解： (Ⅰ) ..(证毕)（Ⅱ）..18．解： (Ⅰ) 由图知，三角形中共有15个格点,与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1)如下表所示：Y51484542频数2463平均年收获量.（Ⅱ）在15株中，年收获量至少为48kg的作物共有2+4=6个.所以，15株中任选一个，它的年收获量至少为48k的概率P=.19．解： (Ⅰ) -（Ⅱ） 上式左右错位相减：。

20．解： (Ⅰ) 先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D，由题知圆D的直径为直线对称.（Ⅱ）由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意.圆C:到直线的距离由椭圆的焦半径公式得：.所以当21．解： (Ⅰ) .所以， （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(-x)即可。