第6讲 双曲线 考纲要求考点分布考情风向标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).2.理解数形结合的思想.3.了解双曲线的简单应用2011年大纲第16题考查双曲线的定义及角平分线定理；2012年新课标第10题考查双曲线与抛物线的方程及几何性质；2013年新课标Ⅰ第4题考查双曲线的离心率与渐近线；2014年新课标Ⅰ第4题考查双曲线的离心率；2015年新课标Ⅰ第16题以求三角形周长的最小值为背景，考查双曲线的几何性质；2016年新课标Ⅰ第5题考查双曲线的方程及几何意义；2017年新课标Ⅰ第15题考查双曲线的离心率； 新课标Ⅱ第9题考查双曲线的离心率；新课标Ⅲ第14题考查双曲线的渐近线本节复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质.通过分析近几年的高考试题可以看出，高考对双曲线的要求比椭圆要低.以选择题、填空题为主 1.双曲线的概念平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.ac 时，点 M 不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质a－a (续表)a2＋b2 3.等轴双曲线实轴和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程为 y＝±x，离心率为 . 5 1 的焦距是________.m＝_______.2 12 考点 1 双曲线的定义及应用 的一条渐近线方程为 2x＋3y＝0，F1，F2 分别是双曲线 C 的左、右焦点， 点 P 在双曲线 C 上， 且|PF1|＝7, 则|PF2|＝()A.1B.13C.4 或 10D.1 或 13点 P 在双曲线的左支时，有|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF2|＝13；当点 P 在双曲线的右支时，有|PF1|－|PF2|＝2a，解得|PF2|＝1.故选 D.答案：D (2)(2012 年大纲)已知 F1，F2 为双曲线 x2－y2 ＝2 的左、右焦点，点 P 在双曲线上， |PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2 ＝()答案：C 的左、右焦点，点 A∈C，点 M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝_______.∴|AF1|＝2|AF2|.又点 A∈C，由双曲线的定义，得|AF1|－|AF2|＝2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a＝6.答案：6 考点 2 求双曲线的标准方程 答案：D 答案：A 【规律方法】求双曲线方程的关键是确定a，b 的值，常利用双曲线的定义或待定系数法解题.若已知双曲线的渐近线方程为 ax±by＝0，可设双曲线系方程为a2x2－b2y2 ＝λ(λ≠0).与双 答案：A考点 3 双曲线的几何性质 曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是() 解析：由题意知双曲线的焦点在 x 轴上，所以 m2＋n＋3m2－n＝4，解得 m2 ＝1.因为方程x21＋n－y23－n＝1 表示双曲线，所以 n 的取值范围是(－1,3).故选 A.答案：A 的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于 M，N 两点.若∠MAN＝60°，则 C 的离心率为________.解析：如图 D45，作 AP⊥MN，因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点.图 D45 【规律方法】离心率是双曲线几何性质中的一个重点问题.求离心率的常用方法有两种：①求得 a，c 的值，直接代入公式＝c2－a2 消去 b，转化成 e 的方程(或不等式)求解.当已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令 【互动探究】D 易错、易混、易漏⊙判断直线与双曲线的位置关系时忽略二次项系数致误右焦点分别是 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点.(1)求双曲线 C2 的方程； 。
