正规子群与商群.ppt
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§2.2 正规子群与商群正规子群与商群( 2.2 Normal Subgroup and Quotient Group) 前面我们已经看到，一个群前面我们已经看到，一个群G G的子群的子群HH的左陪集的左陪集aHaH与与右陪集右陪集HaHa不一定相等，当不一定相等，当aHaH＝＝HaHa时，具有此种特性时，具有此种特性的子群的子群HH叫正规子群或不变子群正规子群对刻画群叫正规子群或不变子群正规子群对刻画群的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群2.2.1 (不变子群不变子群)(Normal Subgroup)定义定义:设设HH≤G G，， a a∈∈G G，若，若aHaH＝＝HaHa，则称，则称HH为为G G的的(不不变子群变子群)，记做，记做H H G G 例例例例1. 1. 对称群对称群对称群对称群S S3 3的子群的子群的子群的子群HH={(1)(1 2 3)(1 3 2)}={(1)(1 2 3)(1 3 2)}是它的正规是它的正规是它的正规是它的正规子群，而子群子群，而子群子群，而子群子群，而子群{(1)(1 2)}{(1)(1 2)}及及及及{(1)(13)}{(1)(13)}，，，， {(1)(2 3)} {(1)(2 3)}都不是都不是都不是都不是它的正规子群。
它的正规子群它的正规子群它的正规子群例例2. 任意群任意群G G的两个的两个平凡子群平凡子群G G和和{e}都是都是G G的正的正规子群 G G的不等于的不等于G G的正规子群称为的正规子群称为G G的的真正规子群真正规子群 若若G G≠ {e}，但，但G G中除中除G G 和和{e}外无其它正规子群，则外无其它正规子群，则称称G G为为单群单群 例例3. 交换群交换群G G的任意子群的任意子群HH显然都是正规子群显然都是正规子群例例4. 群群G G中所有与中所有与G G的任意元能够交换的元构成的任意元能够交换的元构成G G的的一个正规子群这是一个正规子群这是G G的一个重要的正规子群，的一个重要的正规子群，叫做叫做G G的的中心中心，记做，记做C C(G G) C C(G G)={x x| x x∈∈G G，，xaxa=axax，， a a∈∈G G }例例5. 群群G G中指数为中指数为2的群必为正规子群的群必为正规子群事实上，设事实上，设HH≤G G，，[G G:HH]=2，取，取a a∈∈G G \ HH，则，则HH∩aHaH=φ φ，， HH∩HaHa=φ φ，， 又又G G=HH∪∪aHaH，且，且G G=HH∪∪HaHa，由陪集性质得，由陪集性质得aHaH= G G \ HH=HaHa。
∴∴HH G G 2.2.2 正规子群的性质正规子群的性质(Properties of Normal Subgroup)定理定理:设设HH是是G G的子群，则以下几个命题是相互等价的子群，则以下几个命题是相互等价的1) a a ∈∈G G，有，有aHaH= HaHa（即（即HH G G））(2) a a ∈∈G G，， h h ∈∈HH，有，有ahaaha-1 ∈∈HH(3) a a ∈∈G G，有，有aHaaHa-1 HH(4) a a ∈∈G G，有，有aHaaHa-1= H H 证明证明:(1)(2)：： a∈∈G，， h∈∈H，有，有ah ∈∈Ha，推出，推出ah=h1a，，所以所以aha-1=h1 ∈∈H(2) (3)：： aha-1∈∈H，得到，得到 aHa-1 H(3) (4)：： a∈∈G，有，有aHa-1 H，也有，也有a-1Ha H;又又 h ∈∈H，有，有aha-1=h1 ，， ∴∴h=ah1a-1 ∈∈ aHa-1，，∴∴ H aHa-1，， ∴∴ aHa-1=H(4) (1)：： aHa-1=H，得，得(aHa-1)a=Ha，， aH=Ha 例例. 考虑考虑4次对称群次对称群S S4，令，令K K4={(1)，，(1 2)(3 4)，，(1 3)(2 4)，，(1 4)(2 3)}，， 则易证则易证K K4是是S S4的一个子群，而且是正规子群。
的一个子群，而且是正规子群 但但HH={(1)，，(1 2 4)，，(1 4 2)}是是S S4的子群，不是正规的子群，不是正规子群正规子群还有以下性质正规子群还有以下性质:(1)设设A A G G，，B B G G，则，则A A∩B B G G，，AB AB G G(2)设设A A G G，，B B≤G G，则，则A A∩B B B B，，ABAB≤G G(3)设设A A G G，，B B G G，且，且A A∩B B={e}，则，则 a a∈∈A A，， b b∈∈B B，有，有abab=baba 2.2.3 商群商群(Quotient Group)设设H H G G，则，则G G关于关于HH的左陪集的集合与右陪集的集的左陪集的集合与右陪集的集合相等，记做合相等，记做G G/HHG G/HH={aHaH|a a∈∈G G}={HaHa|a a∈∈G G} 定义定义 由由HH确定的确定的G G中的元素间的等价关系～为同余中的元素间的等价关系～为同余关系：关系：a a～～b b a a-1b b ∈∈HH a a≡b b(modHH)则每一个陪集记做则每一个陪集记做 =aHaH，称为模，称为模HH的一个的一个同余类同余类，，故故G G/HH={ | a a∈∈G G }。
定理定理: 设设H G，则，则G/H对子集乘法对子集乘法构成群构成群，称为，称为G关关于于H的的商群商群证明证明: 不难证明子集乘法不难证明子集乘法: aH，，bH∈∈G/H，， aH·bH ={ah1bh2|h1，，h2∈∈H} 是是G/H中的一个中的一个二元运算二元运算(封闭性，唯一性，结合律封闭性，唯一性，结合律)且且G/H中有中有单位元单位元H: aH ∈∈G/H，，aH·H=H · aH=aH 又任意又任意aH∈∈G/H，有，有逆元逆元a-1H 故故G/H关于子集乘法构成群关于子集乘法构成群 例例例例: : 在在在在( (Z Z，，，，+)+)中，中，中，中， HHmm=<=
根据正规子群和商群的定义及性质不难得到：根据正规子群和商群的定义及性质不难得到：推论推论1 设设H G，则，则⑴⑴ 商群商群G/H的单位元是的单位元是eHeH(=H=H )；；⑵⑵ aH在在G/H中的逆元是中的逆元是a-1H.推论推论2 设设G为交换群，为交换群，H是是G的子群，则商群的子群，则商群G/H也是也是交换群推论推论3 有限群有限群G的商群的商群G/H的阶是的阶是G的阶的因子的阶的因子 End 。
