概率论与数理统计浙江大学第四版课后习题答案.doc

概率论与数理统计浙江大学第四版课后习题答案概率论与数理统计浙江大学第四版课后习题答案概率论与数理统计第一章习题参考解答 1、写出下列随机试验的样本空间1）枚硬币连掷三次，记录正面出现的次数2）记录某班一次考试的平均分数（百分制记分）（3）对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标解：（1）S ={0,1,2,3}，（2） S ={k/n: k=0,1,2,··· ,100n}，其中 n 为班级人数，（3） S ={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}，其中 0表示次品，1 表示正品22（4）S =( ), +{xyx y <1} 2、设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件（1）A、B、C 中至少有一个发生（2）A、B、C 中恰好有一个发生（3）A、B、C 都不发生（4）A、B、C 中不多于一个发生（5）A、B、C 中不多于两个发生解：（1）A ∪B ∪C （2）ABC ∪ABC ∪ABC （3）ABC 错解 ABC =A UB U C （4）即至少有两个不发生 AB ∪AC ∪BC（5）即至少有一个不发生 ABC =A U B U C 2、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立。

1）成立， （ 2）不成立， （3）不成立， （4）成立（5）成立， （6）成立（7）成立（8）成立 4、把 A ∪B ∪C 表示为互不相容事件的和解：(A .AB)∪(B .BC ∪C .CA)∪ABC)( 答案不唯一 5、设 A、B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7问（ 1）在什么条件下 P（AB）取到最大值？最大值是多少？（2）在什么条件下 P（AB）取到最小值？最小值是多少？（1）A .B 时，P(AB) = 0.6 为最大值，因为 A、B 一定相容，相交所以 A 和 B 重合越大时 P（AB）越大（2）A ∪B = S 时，P（AB）=0.3 为最小值 6、若事件 A 的概率为 0.7，是否能说在 10 次实验中 A 将发生 7次？为什么？答：不能因为事件 A 发生的频率具有波动性，在一次试验中得出的频率并不一定正好等于事件 A 发生的概率 7、从一批由 1100 件正品，400 件次品组成的产品中任取 200 件1） 求恰有 90 件次品的概率（2） 求至少有两件次品的概率90 110 200 1 199CC C + CC （1） 4002001100 ， （2）1. 1100 200400 1100 C C1500 1500 8、在房间里有 10 个人，分别佩带从 1 号到 10 号的纪念章，任选 3 人记录其纪念章的号码。

1） 求最小号码为 5 的概率2） 求号码全为偶数的概率1）最小号码为 5，即从 6、7、8、9、10 里选两个，所求概率为 C532 =1C10 12 （2）号码全为偶数，即从 2，4，6，8，10 里选三个，所求概率为 CC 353 = 121 10 9、在 0，1，2，3，…..，9 共 10 个数字中，任取 4 个不同数字排成一列，求这 4 个数字能组成一个偶数四位数的概率解：设设设事事事件件件“““组组组成成成一一一个个个偶偶偶数数数四四四位位位数数数”” ”为 为为 AAA任任任取 取取 444 个个个不不不同同同数数数字字字排排排成成成一一一列列列共共共有有有： ：： A104 种种种解解解法法法一一一组组组成成成一一一个个个偶偶偶数数数四四四位位位数数数有 有有 首位奇: A 51 A51 A82 A51 A51 A82 + A41 A41 A82 41.8.7 41 112 4首位偶: A4 A4 A8 ∴ P(A) = A10 = 10.9.8.7 = 90 解解解法法法二二二分分分末末末位 位位 000 和和和末末末位位位不不不为 为为 000 两两两种种种，， ，组组组成成成一一一个个个偶偶偶数数数四四四位位位数数数有 有有 C41C81 A82 +A93 种 112 3CC A + A 41428 9∴ P(A) == A4 9010 错误:认为样本空间也为四位数,实际只要求是一列. 10、求 10 人中至少有两人出生于同一月份的概率。

解：10 人中至少有两人出生于同一月份的概率为: 10C1210!1. 10 =0.996 12 11、从 5 双不同的鞋中任取 4 只，求这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率解：从 5 双鞋中取 4 只，至少配成一双的概率为： 1222 44 122C5C4 24 +C5 或 1.C5 42 或 C5C84 . C5 C10 C10 C10 12、将 3 个球随机的放入 4 个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率解：杯中最多有一个球时，概率为 A 4343 = 166 ; 211 杯中最多有两个球时，概率为 C3 C 434C3 = 9;16 杯中最多有三个球时，概率为 C 433C 3 41 = 161 ; 13、某货运码头近能容一船卸货，而甲乙两船在码头卸货时间分别为 1 小时和小时设甲乙两船在 24 小时内随时间可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率解：设 X、Y 分别为甲乙两船到达的时刻而甲到乙未到应满足 Y. X ≥ 1 而乙到甲未到应满足 X. Y ≥ 2 所以它们中任何一船都不需等待码头空出的概率为 1124 × 24 .× 22 × 22 .× 23× 23 22P = =0.8793 24 × 24 14、从区间（ 0，1）内任取两数，求这两个数的积小于 1/4 的概率。

解：设从区间（0，1）所取两数为 X、Y 13 π 31.×× × 要使 XY〈14 ，P= 2 412 4 = 0.56 或者 P = 1× 14 +∫141 41 xdx = 14 + 12 ln 2 15、随机地想半圆 0

求密码被破译534 的概率解：设 AI =“第 i 个人能破译“，则所求为 P(A1 ∪A2 ∪A3) 423P(A1 ∪A2 ∪A3) =1.P(A1)P(A2)P(A3) =1.×× =0.6 534 19：设有 4 张卡片分别标以数字 1，2，3，4，今从中任取一张设 A 表示事件“取到标有 1 或 2 的卡片” ，B 表示事件“取到标有 1 或 3 的卡片” ，C 表示事件“取到标有 1 或 4 的卡片” 验证 P(AB) =P(A)P(B)，P(AC) =P(A)P(C)，P(BC) =P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) ≠P(ABC) 解：显然 P(A) =P(B) =P(C) = 1 ， P(AB) = 1, P(BC) = 1 ， P(ABC) = 1,2 444 111∴P(AB) =P(A)P(B) = , P(AC) =P(A)P(C) = , P(BC) =P(B)P(C) = 444 而 P(A)P(B)P(C) = 1 ≠P(ABC)8 20、某人忘记了号码的最后一个数字，因而他随意地拨号求他拨号不超过三次而接通所需的概率解：设 A=“在三次内能拨通” ， Ai=“第 i 次能拨通“ i=1，2，3，则 A =A1 ∪A1 A2 ∪A1 A2 A3 P(A) =P(A1) +P(A1 A2) +P(A1 A2 A3) =P(A1) +P(A1)P(A2 A1) +P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1 A2) 1 91981 3 = + ×+ ××= 101091098 10 21、一批零件共 100 个,其中次品 10 个.每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回, (1)求第三次才取到正品的概率; (2)求第三次取到正品的概率. 解：设 Ai=“第 i 次取到正品” i=1，2，3， A=“第三次才取到正品” ， B=“第三次取到正品”（1）所求为 P(A) =P(A1 A2 A3) 10 90解法一 P(A1 A2 A3) = A2 × 3 A1 = 81 = 0.0083 A100 99 .98 1 11 解法二 P(A1 A2 A3) =CC 110 CC91 CC 901 100 99 98 解法三用乘法公式 P(A1 A2 A3) = P(A3| A1 A2)P(A1 A2) = P(A | AA )P(A | A )P(A )312 211 909 10 =×× = 0.00834 98 99 100 解法一直接计算法样本空间的取法: 1 11CCC B = AAA U AAA U AAA U AAA1009998 123 123 123 123 ∴P(B) = P(AAA U AAA U AAA U AAA )123 123 123 123 然后利用加法公式和乘法公式 111 111 111 111CCC CCC CCC CCC908988 901089 109089 10990P(B) = + + + =0.892111 111 111 111CCC CCC CCC CCC1009998 1009998 1009998 1009998 解法二用全概率公式：一、二两次取球情况有 A1 A2, A1 A2, A1 A2, A1 A2 ，构成了样本空间的一个划分令 B1 = A1 A2, B2 = A1 A2, B3 = A1 A2, B4 = A1 A2 ∴ P(B) = P(B1)P(AB1) + P(B2)P(AB2) + P(B3)P(AB3) + P(B4)P(AB4) 111 111 111 111CCC CCC CCC CCC908988 109089 901089 10990= + + + =0.892111 111 111 111CCC CCC CCC CCC1009998 1009998 1009998 1009998 22、设有甲、乙两袋，甲袋中装有 n 只白球、m 只红球；乙袋中装有 N 只白球、M 只红球。

今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球求从乙袋中取到白球的概率解：设 A=“从甲袋中取出白球一只” ， B=“从乙袋中取到白球”用全概率公式： P(B）=P(AB) + P(AB) = P(A)P(BA) + P(A)P(BA) 11 11CCCC n(N +1) + mNnN +1 mN=.+. = 11 11CC CC (m + n)(N + M +1)n+mN +M +1 n+mN +M +1 23、如图,1,2,3,4,5 表示继电器接点 .假设每一继电器接点闭合的概率为 p,且设各继电器接点闭合与否相互独立,求 L 至 R 是通路的概率 . 解法一: 设事件 “L 至 R 是通路”为 A Bi 为事件 “i 接点闭合”。