一元二次方程根的分布练习和答案解析.doc
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一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧设一元二次方程〔的两个实根为,,且[定理1],<两个正根>,推论：,或上述推论结合二次函数图象不难得到例1】 若一元二次方程有两个正根,求的取值范围分析：依题意有0<<1[定理2],,推论：,或由二次函数图象易知它的正确性例2】 若一元二次方程的两根都是负数,求的取值范围〔或k>3[定理3]【例3】 在何范围内取值,一元二次方程有一个正根和一个负根？分析：依题意有<0=>0<<3[定理4],且；,且例4】 若一元二次方程有一根为零,则另一根是正根还是负根？分析：由已知－3=0,∴=3,代入原方程得3+5=0,另一根为负二．一元二次方程的非零分布——分布设一元二次方程〔的两实根为,,且则一元二次方程根的分布〔即,相对于的位置有以下若干定理[定理1][定理2][定理3][定理4]有且仅有〔或[定理5]或此定理可直接由定理4推出,请读者自证[定理6]或三、例题与练习【例5】 已知方程的两实根都大于1,求的取值范围。
〔〔2若一元二次方程的两个实根都大于-1,求的取值范围 〔〔3若一元二次方程的两实根都小于2,求的取值范围 〔【例6】 已知方程有一根大于2,另一根比2小,求的取值范围 〔〔2已知方程有一实根在0和1之间,求的取值范围 〔〔3已知方程的较大实根在0和1之间,求实数的取值范围 变式：改为较小实根 〔不可能；〔4若方程的两实根均在区间〔、1内,求的取值范围 〔〔5若方程的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求的取值范围 〔〔6已知关于的方程的两根为且满足,求的取值范围 〔或【例7】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.<1>若方程有两根,其中一根在区间<－1,0>内,另一根在区间<1,2>内,求m的范围.<2>若方程两根均在区间<0,1>内,求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题,解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限制.解：<1>条件说明抛物线f
提示：令=转化为关于的一元二次方程有两个不同的正实根答案：0<<12． 若关于的方程有唯一的实根,求实数的取值范围提示：原方程等价于即令=+12+6+3(1) 若抛物线=与轴相切,有△=144－4<6+3>=0即=O－20－6将=代入式②有=－6不满足式①,∴≠2) 若抛物线=与轴相交,注意到其对称轴为=－6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是解得∴当时原方程有唯一解另法：原方程等价于+20=8－6－3<<－20或>0>……③O－20－61633问题转化为：求实数的取值范围,使直线=8－6－3与抛物线=+20<<－20或>0>有且只有一个公共点虽然两个函数图像都明确,但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显,可将③变形为+12+3=－6<<－20或>0>,再在同一坐标系中分别也作出抛物线=+12+3和直线=－6,如图,显然当3<－6≤163即时直线=－6与抛物线有且只有一个公共点3． 已知=<－><－>－2<<>,并且,是方程=0的两根<<>,则实数,,、的大小关系是< >A、<<< B、<<< C、<<< D、<<<4． 方程==0<>0>的两个根都大于1的充要条件是< >A、 △≥0且<1>>0B、 <1>>0且－>2C、 △≥0且－>2,>1D、 △≥0且<1>>0,－>2。
