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整式中的数形结合思想——乘法公式的几何意义专题讲解16摩整式巾的数形结合思想——乘法公式的几何意义鼋大家知道,数学研究的对象是形和数两个方面.虽然形和数分别被纳入了几何和代数两门不同的学科叶1.但是形和数之间从来不是相互割裂的,要相互比较与转换.牢固树立数形结合的思想将对学习大有裨益.我们从以下乘法公式的几何意义中来逐步领会这句话.一平方差公式的几何意义公式:(n+6)(Ⅱ一b)=一6.它的含义是:两数和乘以这两个数的差.等于这两个数的平方差.一bbSSSSbb鬻SS至中,(n+)(0一)=】+.2,是两个长为(nl豳lcI一),宽为的长方形的面积,所以,=.于匠二完全平方公式的几伺意义公式:(Ⅱ+b)=+2+6.公式的含义是:两数和的平方等于这两数的平方和加上它们积的二倍.题如图3所示矩形ABCD被分戚六个大小不一一的正方形.已知中问一个小正方形面积为4.求矩形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差.解若rz,b表示正数,如图2所示.以(.+b)为边长的正方形面积为(.+b),由图可知,它由四部分组成,即(0+b)=+b++=+2+b.网2点拨基:和平方差公式同样的原因,完全平方公式中由于涉及了数j:的平方.所以仍然用网形的面积来直观地表示它的几何意义.对另外…个公式:(“一b)=一2n6+b.,如何表示它的几何意义呢?请大家自己考虑.解因为小正方形的面积为4.所以它的边长为2.显然它是最小的正方形.其余正方形的边长是b=Ⅱ+2.c=b+2=+4.d=c+2=0+6.可见.边长为d的正方形是矩形ABCD中最大的正方形.于是.最大与最小正方形的面积之差为图3(n+6)一2=(n+6+2)(rz+6—2)=(n+8)(口+4)=a2+12a+32.能不能求出a呢?因为长方形中AD:BC,而4D=c+d=a+4+a+6=2a+10,BC=b+2a=a+2+2a=30+2.所以有2口+10=3a+2,解得a=8.所以.面积之差n2+120+32=8+12×8+32=192.点拔巧妙地利用图形的特殊构成.求出各正方形边长.从而求得面积之‘Cynicismisanunpleasantwayofsayingthetruth.冷嘲热讽是一种令人不愉快的讲实话的方式.——海尔曼。