概率论与数理统计浙江大学非数学专业.ppt

概率与统计概率与统计 开课系：非数学专业开课系：非数学专业教师教师: : 叶梅燕叶梅燕e-mail: yemeiyan @ 概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论——研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象的统计规律性的科学的统计规律性的科学 目目 录录•第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率•第二章第二章 随机变量随机变量•第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征•第四章第四章 样本及抽样分布样本及抽样分布•第五章第五章 参数估计参数估计•第六章第六章 假设检验假设检验第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率•随机事件及其运算随机事件及其运算•概率的定义及其运算概率的定义及其运算•条件概率条件概率•事件的独立性事件的独立性 1.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、随机试验一、随机试验(简称简称“试验试验”)随机试验的特点(p1)1.可在相同条件下重复进行； 2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。

随机试验常用E表示 E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:某城市某年某月内发生交通事故的次数；E4:掷一颗骰子，可能出现的点数；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重 随机实验的例子二、样本空间二、样本空间(p2) 1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 ={e}； 2、样本点: 试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集由样本点组成的单点集称为基本事件,也记为e. 随机事件随机事件 1.定义定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件事件A发生生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 2.两个特殊事件两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3) 例如例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B = “两次出现同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时”＝{x:1000

三、事件之间的关系三、事件之间的关系　　 1.包含关系包含关系(p3)“ 事件事件 A发生必有事件发生必有事件B发发生生”记为记为A B A＝＝B  A B且且B A.2.2.和事件：和事件：和事件：和事件： (p3)“ “事件事件事件事件A A与与与与事件事件事件事件B B至少有一个发至少有一个发至少有一个发至少有一个发生生生生” ”，记作，记作，记作，记作A A  B B2’n个事件个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作3.积事件积事件(p4) :事件事件A与事件与事件B同时发生，同时发生，记作记作 A B＝＝AB3’n个事件个事件A1, A2,…, An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2…An4.差事件差事件(p5) ：：A－－B称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件A发发 生而事件生而事件B不发生不发生 5.互互斥的事件（也称互不相容事件）斥的事件（也称互不相容事件）(p4) 即事件与事件不可能同时发生即事件与事件不可能同时发生AB＝＝   6. 互逆的互逆的事件事件(p5)  A B＝＝  , 且且AB＝＝   五、事件的运算五、事件的运算(p5)1、交换律：、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、、结合律结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC)3、、分配律分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC)4、、对偶对偶(De Morgan)律律：  1.2 概率的定义及其运算概率的定义及其运算从直观上来看，事件从直观上来看，事件A A的概率是描绘事件的概率是描绘事件A A发生的可能性大小的量发生的可能性大小的量P（（A A））应具有何种性质？应具有何种性质？* * 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？* * 掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？* * 向目标射击，命中目标的概率有多大？向目标射击，命中目标的概率有多大？(p10)若某实验若某实验E满足：满足：1.有限性：样本空间有限性：样本空间S＝＝{e1, e 2 , … , e n };2.等可能性：（公认）等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=…=P(en). 则称则称E为古典概型也叫为古典概型也叫等可能等可能概型。

概型1.2.1.古典概型与概率古典概型与概率设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N()记样本空间 中样本点总数，则有P(A)具有如下性质(P7)(1) 0 P(A) 1；(2) P()＝1； P( )=0(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)二、古典概型的几类基本问题二、古典概型的几类基本问题1、抽球问题、抽球问题 例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率解:设A-----取到一红一白3.分组问题分组问题例例3：：30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均名学生平均分成分成3组，求：组，求：（（1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（（2））3名运动员集中在一个组的概率名运动员集中在一个组的概率解解:设设A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组名运动员集中在一组1.3 频率与概率频率与概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等 实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005 频率的性质频率的性质(1) 0  fn(A)  1；；(2) fn(S)＝＝1；； fn(  )=0(3) 可加性：若可加性：若AB＝＝  ，，则则 fn(A B)＝＝ fn(A) ＋＋fn(B).1.3.2. 概率的公理化定义概率的公理化定义 注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义1.定义定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1) P(A) ≥0；(2) P()＝1； (3) 可列可加性可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1  A2  … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. (1.1)则称P(A)为事件A的概率概率。

2.概率的性质概率的性质 P(10-13) (1) 有限有限可加性可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝  ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1  A2  …  An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (4) 加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；(3) 互补性互补性：P(A)＝1－ P(A);(5) 可分性可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) . 某某市市有有甲甲,乙乙,丙丙三三种种报报纸纸,订订每每种种报报纸纸的的人人数数分分别别占占全全体体市市民民人人数数的的30%,其其中中有有10%的的人人同同时时定定甲甲,乙乙两两种种报报纸纸.没没有有人人同同时时订订甲甲乙乙或或乙乙丙丙报报纸纸.求求从从该该市市任任选选一一人人,他他至至少少订订有有一一种报纸的概率种报纸的概率.例例1.3.2.1.3.2.在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（（2 2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。

整除的概率 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问第一个人取得红球的概率是多少？第一个人取得红球的概率是多少？第第二二 个人取得红球的概率是多少？个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率条件概率若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率一、条件概率例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率S=AB概率定义概率定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A) ≥0≥0； (2) P(S)＝1;(3) 可列可加性可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1  A2  … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率概率。

例例2.2.(p14)一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率红白新4030旧2010设A--从盒中随机取到一只红球. B--从盒中随机取到一只新球. 二、二、乘法公式乘法公式(p15)设A、B  ，P（A）>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A). (1.4.2)式(1.4.2)就称为事件A、B的概率乘法公式乘法公式 式(1.4.2)还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.4.3) 一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1). (1.4.4)例例3 3 合中有合中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，，每次从袋中任个白球，，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、、2 2次取得白球、次取得白球、第第3 3、、4 4次取得红球的概率。

次取得红球的概率三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率定义定义 (p17)事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：A1A2……………AnB定理定理1、、(p17) 设设A1，，…, An是是的一个的一个划分，且划分，且P(Ai)>0，，(i＝＝1，，…，，n)，，则对任何事件则对任何事件B  有有 式式(1.4.5)就称为就称为全概率公式全概率公式例例5 (P17)有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，，甲甲袋袋中中有有两两个个白白球球，，1个个红红球球，，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，，一一个个白白球球．．这这六六个个球球手手感感上上不不可可区区别别．．今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，，搅搅匀匀后后再再从从乙乙袋袋中中任任取取一球，问此球是红球的概率？一球，问此球是红球的概率？甲乙定理定理2 2 (p18) 设A1，…, An是S的一个划分，且P(Ai) > 0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS，有 例6　(p18)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。

由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”现接收端接收到一个“1”的信号问发端发的是0的概率是多少?)BA (P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝ 0.067条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式1.5 事件的独立性事件的独立性一、两事件独立一、两事件独立(P19) 定义定义1 设A、B是两事件，P(A) ≠0,若 P(B)＝P(B|A) (1.5.1)则称事件A与B相互独立式(1.5.1)等价于： P(AB)＝P(A)P(B) (1.5.2)定理、定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2、、(p20) 若三个事件A、B、C满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；一般地，设A1，A2，…，An是n个事件个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 …  ik n，具有等式 P(A i1 A i2 … A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(A ik) (1.5.4)则称n个事件个事件A1，A2，…，An相互独立相互独立。

三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立, 则 (1.5.5)第二章随机变量第二章随机变量•￿ ￿离散型随机变量离散型随机变量•随机变量的分布函数随机变量的分布函数•连续型随机变量连续型随机变量•￿ ￿一维一维随机变量函数的分布随机变量函数的分布•二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布•多维随机变量的边缘分布与独立性多维随机变量的边缘分布与独立性•条件分布条件分布•多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布 关于随机变量关于随机变量(及向量及向量)的研究，是概率论的的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是个更高的理论体系，其基础概念是随机变量随机变量2.12.1随机变量的概念随机变量的概念(p24)定义定义. . 设设S={e}S={e}是试验的样本是试验的样本空间，如果量空间，如果量X X是定义在是定义在S S上的一个上的一个单值实值函数即对于每一个单值实值函数即对于每一个e e S S，，有一实数有一实数X=X(e)X=X(e)与之对应，则称与之对应，则称X X为为随机变量随机变量。

随机变量随机变量常用常用X X、、Y Y、、Z Z 或或  、、 、、 等表示随机变量的特点随机变量的特点: 1 X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2 X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类随机变量的分类：：随机变量随机变量2.22.2离散型随机变量离散型随机变量(P25)(P25)定义定义 若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称则称X为离散型随机变量，而称为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为为X的的分布律分布律或概率分布可表为或概率分布可表为 X～～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，，或或… (1) pk  0, k＝1, 2, … ;(2) ··几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1. (0-1)分布分布(p26) 若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(0－－1)分布分布(两点分布两点分布) X～～P{X＝＝k}＝＝pk(1－－p)1－－k, (0

的二项分布记作记作X~BX~B（（n,p)n,p), ,其分布律为：其分布律为：2.(p27)定义定义 设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n n次，每次次，每次试验中，事件试验中，事件A A发生的概率均为发生的概率均为p p，，则称这则称这n n次试次试验为验为n n重贝努里试验重贝努里试验. .例例3.从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗, ,假设在各个假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立交通岗是否遇到红灯相互独立, ,并且遇到红灯的概率并且遇到红灯的概率都是都是1/3.1/3.(1)(1)设设X X为汽车行驶途中遇到的红灯数为汽车行驶途中遇到的红灯数, ,求求X X的分布律的分布律. .(2)(2)求汽车行驶途中至少遇到求汽车行驶途中至少遇到5 5次红灯的概率次红灯的概率.解解: :(1)(1)由题意由题意,X~B(6,1/3),,X~B(6,1/3),于是于是,X,X的分布的分布律为律为: :例例4. 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击，他独立射击400次，试求其命中次数不少于次，试求其命中次数不少于2的概率泊松泊松定理定理(p28)(p28) 设随机变量设随机变量Xn~B(n, p), (n＝＝0, 1, 2,…), 且且n很大，很大，p很小，记很小，记 =np，，则则 解解 设设X X表示表示400400次独立射击中命中的次数，次独立射击中命中的次数，则则X X～～B(400, 0.02)B(400, 0.02)，，故故P{XP{X 2}2}＝＝1 1－－ P{XP{X＝＝0}0}－－P {XP {X＝＝1}1}＝＝1 1－－0.980.98400400－－(400)(0.02)(0.98(400)(0.02)(0.98399399)=…)=…上题用泊松定理上题用泊松定理 取取  =np＝(400)(0.02)＝8, 故近似地有近似地有 （二（二. ）） 泊松泊松(Poisson)分布分布P( )(p28) X～～P{X＝＝k}＝＝ , k＝＝0, 1, 2, … (0)泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，泊松分布是二项分布的极限分布，当当n很大，很大，p很小时，很小时，二项分布就可近似地二项分布就可近似地看成是参数看成是参数 =np的的泊松分布泊松分布解解:由题意由题意,例例6. 6. 进行独立重复试验，每次成功的概率为进行独立重复试验，每次成功的概率为p p，，令令X X表表示示直直到到出出现现第第m m次次成成功功为为止止所所进进行行的的试试验验次次数数，，求求X X的分布律。

的分布律解解:m=1时时,m>1时时,X的的全部取值为全部取值为:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第第m+1次试验时成功并且次试验时成功并且 在前在前m次试验中成功了次试验中成功了m-1次次}2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念. 定义定义(P29)(P29) 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，，事事件件{X x}的概率的概率P{X x}称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数记为记为F(x)，，即即 F(x)＝＝P {X x}. 易知，对任意实数易知，对任意实数a, b (a

故该三个性质是随机变量的分布函数故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质一般地一般地，，对离散型随机变量对离散型随机变量 X～～P{X= xk}＝＝pk, k＝＝1, 2, … 其分布函数为其分布函数为 解解X012P0.1 0.60.3试求出试求出X的分布函数的分布函数例例2 向向[0,1]区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐表示质点坐标标.假定假定质点落在质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概区间内任一子区间内的概率与区间长成正比率与区间长成正比，求，求X的分布函数的分布函数解：解： F(x)=P{X≤x} 当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=12.4 连续型随机变量一、概率密度一、概率密度 1. 定义定义(p33) 对于随机变量对于随机变量X，，若存在非负若存在非负函数函数f(x)，，(- 

于是于是二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1. 均匀分布均匀分布(p36) 若X～f(x)＝ 则称则称X在在(a, b)内服从内服从均匀分布记作均匀分布记作 X~U(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (a0的的指数分布指数分布其分布函数为其分布函数为解解解当t ≤0时，当t >0时，=1- {在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥}于是3. 正态分布正态分布ABA，，B间真实距离为间真实距离为 ，测量值为，测量值为XX的概率密度应该是什么形态？其中其中  为实数，为实数，  >0 ，则称，则称X服从参数为服从参数为  , 2的的正态正态分布分布,记为记为N( ,  2)，，可表为可表为X～～N( ,  2).若随机变量随机变量 (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称；(p38)f()＝maxf(x)＝ .正态分布有两个特性正态分布有两个特性：4.标准正态分布标准正态分布(p38) 参数参数 ＝＝0，， 2＝＝1的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作X~N(0, 1)。

分布函数表示为分布函数表示为其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅供读者查阅 (x)的值P226附表附表1)如如，，若若Z~N（（0，，1））, （（0.5)=0.6915,P{1.323}{|X|>3}的值的值. . 如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值±3 3 作作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报外时发出警报. .表明生产出现异常表明生产出现异常. .正态分布表(p67)14 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ态分布Ｎ(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的个元件损坏与否是相互独立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小小时内无一元件损坏的概率时内无一元件损坏的概率. .解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,故则Y~B(3,p)其中正态分布表 2.5 2.5 一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布 (p55) 设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 X～～P{X＝＝xk}＝＝pk, k＝＝1, 2, …若若y＝＝g(x)是一元单值实函数，则是一元单值实函数，则Y＝＝g(X)也是一个随也是一个随机变量。

求机变量求Y的的分布律分布律.例例:已知已知XPk-1 0 1求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 或或 Y＝＝g(X)～～P{Y＝＝g(xk)}＝＝pk ，， k＝＝1, 2, … （（其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并有相同的，其对应概率合并一般地一般地XPkY=g(X)二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数 1 1、一般方法、一般方法(p56)(p56) 若若X~f(x), -X~f(x), - < x< +< x< + , Y=g(X), Y=g(X)为随为随机变量机变量X X 的函数，则可先求的函数，则可先求Y Y的分布函数的分布函数 FY (y) ＝＝P{Y y}＝＝P {g(X)  y}＝＝ 然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“ 分布函数法分布函数法”当y<0时当0≤y<1时当y≥1时2、公式法：一般地 若X～fX(x), y=g(x)是单调可导函数，则 注注：：1 1 只有当只有当g(x)g(x)是是x x的单调可导函数时，才可用以的单调可导函数时，才可用以上公式推求上公式推求Y Y的密度函数。

的密度函数2 2 注意定义域的选择注意定义域的选择其中h(y)为y＝g(x)的反函数.的概率密度关于x严单,反函数为故例例4 4 设设X~U(0,1),X~U(0,1),求求Y=ax+bY=ax+b的概率密度的概率密度.(a≠0).(a≠0)解解: Y=ax+bY=ax+b关于关于x严单严单,反函数为反函数为故而故小结.习题课习题课一、填空：一、填空：1.设随机变量设随机变量X服从参数为（服从参数为（2,p））的二项分布，的二项分布，随机变量随机变量Y服从参数（服从参数（3,p））的二项分布，若的二项分布，若 ，， 则则P{Y≥≥1}=2.设随机变量设随机变量X服从（服从（0，，2）上的均匀分布，则随）上的均匀分布，则随机变量机变量Y=X2在（在（0，，4）内的密度函数为）内的密度函数为fY(y)= 3.设随机变量设随机变量X~N（（2，，σσ2 2），且），且P（（2

几发，求他恰好命中两发的概率求：求：Y=1-XY=1-X2 2的概率密度的概率密度2.6 二维随机变量的联合分布一、 多维随机变量 (p41)设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=P{Xx, Yy}为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数 二. 联合分布函数联合分布函数几何意义：几何意义：分布函数分布函数F( )表示随机点表示随机点(X,Y)落在区域落在区域 中的概率如图阴影部分：中的概率如图阴影部分：(x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)且(1)归一性归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y)  1, (2)单调不减单调不减 对任意y R, 当x1

1)求常数A，B，C 2)求P{0

XY 1 01 0四四.二维连续型随机变量及其密度函数二维连续型随机变量及其密度函数1、定义定义 p44 对于二维随机变量对于二维随机变量(X, Y)，，若存在一个非负若存在一个非负可积函数可积函数f (x, y)，，使对使对 (x, y) R2，，其分布函数其分布函数 则称则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量，f(x,y)为为(X, Y)的密度函数的密度函数(概率密度概率密度)，或，或X与与Y的的联合密联合密度函数度函数，可记为，可记为 (X, Y)～～ f (x, y)，， (x, y) R22、联合密度联合密度f(x, y)的性质的性质(p44) (1)非负性非负性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2)归一性归一性： 反之，具有以上两个性质的二元函数反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)f (x, y)，，必是必是某个二维连续型随机变量的密度函数某个二维连续型随机变量的密度函数。

此外，此外，f (x, y)还有下述性质还有下述性质 (3)若f (x, y)在(x, y)R2处连续，则有(4)对于任意平面区域G R2, 设求:P{X>Y}求：求：(1)(1)常数常数A A；；(2) F(1,1)(2) F(1,1)；；(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：：x x 0, y0, y 0, 0, 2X+3y2X+3y 6 6 内的概率内的概率 例例4. 设解(1)由归一性(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：：x x 0, y0, y 0, 0, 2X+3y2X+3y 6 6 内的概率内的概率解 3. 两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布(p45) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X, Y)在区域在区域D上上(内内) 服从均匀分布。

服从均匀分布 易见，若（易见，若（X，，Y））在区域在区域D上上(内内) 服从均匀分布，服从均匀分布，对对D内任意区域内任意区域G，，有有其中，其中， 1、、 2为实数，为实数， 1>0、、 2>0、、|   |<1，则称，则称(X, Y) 服从参数为服从参数为 1,  2,  1,  2,  的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布二维正态分布N( 1,  2,  1,  2,  ) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为(P101)定义定义2.4.6. n2.4.6. n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,...,...X Xn n) )，，如果存在非负的如果存在非负的n n元函数元函数f(xf(x1 1,x,x2 2,...,...x xn n) )使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体定义定义2.4.7. 2.4.7. 若若(X(X1,1,X X2 2,...,...X Xn n) )的全部可能取值为的全部可能取值为R Rn n上的有限或可列无穷多个点，称上的有限或可列无穷多个点，称(X(X1,1,X X2 2,...,...X Xn n) )为为n n维离散型的，称维离散型的，称P{XP{X1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,...,...X Xn n= =x xn n} } ，，(x(x1 1,x,x2 2,...,...x xn n) )为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,...,...X Xn n) )的联合分布律。

的联合分布律则称则称(X(X1,1,X X2 2,...,...X Xn n) )为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,...,...x xn n) )为为(X(X1,1,X X2 2,...,...X Xn n) )的概率密度的概率密度EX:EX:随机变量（随机变量（X X，，Y Y））的概率密度为的概率密度为xyD答答: P{XP{X 0}=00}=0FY(y)＝F (+, y)＝ ＝P{Yy} 称为称为二维随机变量二维随机变量(X, Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数. 2.7.边缘分布与独立性边缘分布与独立性一、边缘分布函数一、边缘分布函数(p46)(p46)FX(x)＝F (x, +)＝ ＝P{Xx}称为二维随机变量称为二维随机变量(X, Y)关于关于X的边缘分布函数；的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低维分量的分布低维分量的分布例例1.已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求FX(x)与与FY(y)。

二、边缘分布律二、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布的联合分布律为律为 (p47) (X, Y)～～ P{X＝＝xi, Y＝＝ yj,}＝＝ pij ，，i, j＝＝1, 2, … 则称则称 P{X＝＝xi}＝＝pi.＝＝ ，，i＝＝1, 2, …为为(X, Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律； P{Y＝＝ yj}＝＝p.j＝＝ ，，j＝＝1, 2, … 为为(X, Y)关于关于Y的边缘分布律的边缘分布律 边缘分布律自然也满足分布律的性质边缘分布律自然也满足分布律的性质例例2.已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为x\y10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、、Y的边缘分布律的边缘分布律解：解：x\y10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5三、边缘密度函数三、边缘密度函数为为(X, Y)关于关于Y的边缘密度函数。

的边缘密度函数 设设(X, Y)～～f (x, y), (x, y) R2, 则称则称 (p48)(p48) 为为(X, Y)关于关于X的边缘密度函数；的边缘密度函数； 同理，称同理，称易知易知N( 1,  2,  12,  22,  )的边缘密度函数的边缘密度函数fX(x)是是N( 1,  12)的密度函数，而的密度函数，而fX(x)是是N( 2,  22)的密度函的密度函数，故数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布二维正态分布的边缘分布也是正态分布例例3.3.设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为（（1 1））求常数求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一由归一性性x=yx=-y四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的边缘的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可能取的每一对可能取值点值点, ,边缘分布的乘积都等于联合分布即边缘分布的乘积都等于联合分布即可可EXEX：：判断例判断例1 1、例、例2 2、例、例3 3中的中的X X与与Y Y是否相互独立是否相互独立例例(p50).已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为且知且知X与与Y独立，求独立，求a、、b的值。

的值例例4.(p51)4.(p51)甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地会面设两人都随机地在某地会面设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待到者最多等待1515分钟过时不候分钟过时不候求两人能见面的概率求两人能见面的概率定义定义. 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为的分布函数为F(x1,x2,...xn), (X1,X2,...Xn)的的k（（1 k

的则称离散型随机变量则称离散型随机变量X1, X2, …, Xn相互独立相互独立 设设X1，，X2，，…，，Xn为为n 个连续型随机变量，若个连续型随机变量，若对任意的对任意的(x1, x2, …, xn) Rn，， f (x1, x2, …, xn)＝＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X1，，X2，，…，，Xn相互独立相互独立 定义定义2.4.6. 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为的分布函数为FX(x1,x2,...xn)；；m维随机变量维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的的分布函数为分布函数为FY(y1,y2,…ym), X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym组成的组成的n+m维随机变量（维随机变量（X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym)的分布函数为的分布函数为F（（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym).如果如果F（（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym).= FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym)则称则称n维随机变量维随机变量(X1,X2,...Xn)与与m维随机维随机变量变量(Y1,Y2,…Ym)独立。

独立设随机变量X与Y的联合分布联合分布律律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，X和Y的边缘分布律分别为2.8 条件分布条件分布一一.离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律条件分布律;若对固定的j, p.j>0, 则称同理，同理，对固定的i, pi. >0, 称为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律条件分布律;EXEX.设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.二 连续型随机变量的条件概率密度定义. 给定y，设对任意固定的正数>0，极限存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作可证当 时 若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时， . 类似定义，当 时例2.已知(X,Y)的概率密度为(1)求条件概率密度(2)求条件概率xy1解:=…p552.8 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布一、一、二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yj)＝pij ，，i, j＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zk}＝ ＝pk , k＝1, 2, … (X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或 EXEX 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1) 求W＝X＋Y的分布律;(2) 求V＝max(X, Y)的分布律；(3) 求U＝min(X, Y)的分布律。

4)求w与V的联合分布律(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijW＝X＋YV＝max(X, Y)U＝min(X, Y)011201110001VW0 10 1 2000二、多个随机变量函数的密度函数二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：、一般的方法：分布函数法分布函数法(p60) 若(X1, X2, …, Xn)~f (x1, x2, …, xn), (x1, x2, …, xn)Rn, Y=g(X1, X2, …, Xn), 则可先求Y的分布函数: 然后再求出Y的密度函数:2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)R2, 求Z＝X＋Y的密度 z x+y=z x+y  z 若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数 例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。

一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,...,n, 则p62例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则由题意,令查表得 (2)商的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)R2, 求Z＝ 的密度 y G1 0 x G2特别，当X，Y相互独立时，上式可化为 其中fX(x), fY(y)分别为X和Y的密度函数  3、极大、极大(小小)值的分布值的分布 设X1, X2, …, Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2), …, Fn(xn)，记M＝max{X1, X2, …, Xn }, N＝min{X1, X2, …, Xn }则，M和N的分布函数分别为： FM(z)＝F1(z) … Fn(z) 特别，当X1, X2, …, Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)＝[F(z)]n; FN(z)＝1－[1－F(z)]n. 进一步地，若X1, X2, …, Xn独立且具相同的密度函数f (x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)＝n[F(z)]n－－1f (z)； fN(z)＝n[1－F(z)]n－－1f (z). 例3. 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为其中>0，>0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度．小结小结第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征•￿随机变量的数学期望随机变量的数学期望•随机变量的方差随机变量的方差•随机变量的协方差和相关系数随机变量的协方差和相关系数•大数定律大数定律•中心极限定理中心极限定理3.13.1数学期望数学期望一一. .数学期望的定义数学期望的定义例例1 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：人数如下表所示： 分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分÷总人数总人数(分分)。

即即 定义定义 1. 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…n, 则称 定义定义 2. (p73)若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…,且 例例2 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求表示掷得的点数，求X的数学期望的数学期望定义定义 3 若若X~f(x), - 

E(cX)=cE(X), c为常数为常数;四四.数学期望的性质数学期望的性质(P78)证明证明:设设X~f(x),则则3. E(X+Y)=E(X)+E(Y);证明证明:设设(X,Y)~f(x,y)4. 若若X与与Y独立，则独立，则E(XY)=E(X)E(Y).证明证明:设设(X,Y)~f(x,y)解解:设设Xj为第为第j组的化验次数，组的化验次数，XjPj1 101X为为1000人的化验次数，则人的化验次数，则例例3 若若X~B(n,p),求求E(X)解解:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则答答:答答:3.2 方差方差一一. 定义与性质定义与性质1.(p82)定义定义 若E(X),E(X2)存在，则称E[X-E(X)]2 为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X).  2.推论推论 D(X)=E(X2)-[E(X)]2. 证明证明: D(X)=E[X-E(X)]2 (2) D(aX)=a2D(X), a为常数；证明证明:(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);证明证明:X与与Y独立独立1. 二项分布二项分布B(n, p)：：二二.几个重要几个重要r.v.的方差的方差(P86)解法二解法二:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则2. 泊松分布泊松分布p( )：：由于由于两边对两边对 求导得求导得或或或或3. 均匀均匀分布分布U(a, b)：：5. 正态正态分布分布N( ,  2)：：三三.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 (P107) 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式。

不等式 它有以下等价的形式：大数定律大数定律解解:由切比由切比雪夫不等式雪夫不等式令令3.3 协方差，相关系数协方差，相关系数一一.协方差定义与性质协方差定义与性质 1.协方差定义协方差定义 (P88)若r.v. X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称COV(X, Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.为X与Y的协方差协方差, 易见 COV(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y). 例例2 设(X, Y)在D={(X, Y)：x2+y21}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的二.相关系数相关系数 1. 定义定义 若r.v. X，Y的方差和协方差均存在, 且DX>0,DY>0，则称为X与Y的相关系数相关系数. 注：注：若记若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且2.相关系数的性质相关系数的性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使P{Y= aX+b}=1； (3) X与Y不相关 XY=0;1.设设(X,Y)服从区域服从区域D:0

即P101 n维维正态分布正态分布小结小结3.6 3.6 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理3.6.1 3.6.1 大数定律大数定律一一. .依概率收敛依概率收敛设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给>0, 使得则称{Xn}依概率收敛依概率收敛于于X. 可记为可记为切切比比雪雪夫夫不不等等式式如如意思是意思是:当当a而而意思是意思是:时时,Xn落在落在内的内的概率越来越大概率越来越大.,当当二二.几个常用的大数定律几个常用的大数定律1.切比雪夫切比雪夫大数定律大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差2>0，则证明证明:由切由切比雪夫不等式比雪夫不等式这里这里故故2.伯努里伯努里大数定律大数定律 设进行设进行n次独立重复试验，每次试验中事件次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，记，记fn为为n次试验中事件次试验中事件A发生的频发生的频率，则率，则证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则由切由切比雪夫大数定理比雪夫大数定理3. 辛钦大数定律辛钦大数定律 若若{Xk,k=1.2,...}为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列, EXk=  < , k=1, 2, … 则则推论推论:若若{Xi,i=1.2,...}为独立为独立同分布同分布随机变量序随机变量序列列, E(X1k)= < , 则则3.6.3. 中心极限定理中心极限定理一一.依分布收敛依分布收敛 设设{Xn}为随机变量序列，为随机变量序列，X为随机变量，其为随机变量，其对应的分布函数分别为对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在若在F(x)的连续点，有的连续点，有则称则称{Xn}依分布收敛依分布收敛于于X. 可记为可记为二二.几个常用的中心极限定理几个常用的中心极限定理1.独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设设{Xn}为独立为独立同分布同分布随机变量序列，若随机变量序列，若EXk= < ，，DXk=  2 < ，，k=1, 2, …, 则则{Xn}满满足中心极限足中心极限定理。

定理根据上述定理，当根据上述定理，当n充分大时充分大时解解:设设 Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,…,100,则则X1,…,X100独立同分布独立同分布.由由中心极限定理中心极限定理设随机变量设随机变量 n(n=1, 2, ...)服从参数为服从参数为n, p(0

通常指研究对象的某项数量指标组成总体的元素称为个体从从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布随机变量的分布2. 样本：样本：来自总体的部分个体X X1 1，， … ，，X Xn n 如果满足：如果满足：（1）同分布性：同分布性： Xi，i=1,…,n与总体同分布.（2）独立性：独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本样本而称X1，… ，Xn 的一次实现为样本观察值，记为x1，… ，xn 来自总体X的随机样本X X1 1，， … ，，X Xn n可记为显然，样本联合分布函数或密度函数为或或3.总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的情况总体的情况——总体分布样本是联系两者的桥梁总体分布样本是联系两者的桥梁总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体推断总体二、统计量二、统计量定义：称样本X1，， … ，，Xn 的函数g(X1，， … ，，Xn )是总体X的一个统计量统计量,如果如果g(X1，， … ，，Xn )不含不含 未知未知 参数参数几个常用的统计量 ： 3.样本样本k阶矩阶矩4.2 抽样分布抽样分布一、一、 2—分布分布 统计量的分布称为抽样分布。

数理统计中常用到如下三个分布：  2 2—分布、 t t —分布和F F—分布 2.2—分布的分布的密度函数密度函数f(y)曲线曲线3. 分位点分位点 设X ~  2(n)，若对于 ：：0< <1，， 存在满足满足则称则称为为分布的上分布的上 分位点P228附表附表34.性质：性质：((p124)a.分布可加性分布可加性 若X ~  2(n1)，，Y~  2(n2 )，， X，， Y独立，则 X + Y ~  2(n1+n2 )b.期望与方差期望与方差 若X~  2(n)，，则E(X)= n，，D(X)=2n1.构造构造 若 ~N(0, 1),  ~ 2(n),  与 独立，则t(n)称为自由度为n的t—分布二、二、t—分布分布t(n)(n) 的概率密度为(p125)2.2.基本性质基本性质: (1) f(t)(1) f(t)关于t=0t=0(纵轴)对称 (2) f(t)(2) f(t)的极限为N(0N(0，，1)1)的密度函数，即 3.3.分位点分位点设T T～～t(n)t(n)，若对 :0<:0< <1,<1,存在t t (n)>0(n)>0， 满足P{TP{T t t (n)}=(n)}= ，，则称t t (n)(n)为t(n)t(n)的上侧分位点注注:三、三、F—分布分布　　1.构造构造 若 1 ~ 2(n1)，，  2~ 2(n2)，， 1，，  2独立，则 称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F—分布,其概率密度为2. 2. F—F—分布的分位点分布的分位点对于对于 ：：0<0< <1<1，，若存在若存在F F (n(n1 1, , n n2 2)>0)>0，，满足满足P{FP{F F F (n(n1 1, , n n2 2)}=)}= ，， 则称则称F F (n(n1 1, , n n2 2) )为为F(nF(n1 1, , n n2 2) )的的上侧上侧 分位点；分位点；证明证明:设设F~F(n1,n2),则则注：注：得证得证!4.3 正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理证明证明:是是n 个独立的正态随个独立的正态随机变量的线性组合机变量的线性组合,故服从正态分布故服从正态分布(3)证明证明:且且U与与V独立独立,根据根据t分布的构造分布的构造得证得证!(P127)例1：设总体X~N(10,32), X1，， … ，，Xn是它的一个样本(1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z>11).例2：设X1， … ，X10是取自N（0，0.32)的样本,求例3：设X1， … ，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。

第五章第五章 参数估计参数估计•点估计点估计 •估计量的评选标准估计量的评选标准 •区间估计区间估计•正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计5.2 5.1 点估计点估计一、参数估计的概念一、参数估计的概念 定义定义 设X1，， … ，， Xn是总体X的一个样本，其分布函数为F(x;  ), 其中为未知参数,  为参数空间, 若统计量g(X1，， … ，， Xn)可作为 的一个估计,则称其为的一个估计量，记为注：注：F(x; )也可用分布律或密度函数代替.若x1，， … ，， xn是样本的一个观测值 由于g(x1，， … ，， xn) 是实数域上的一个点，现用它来估计 ， 故称这种估计为点估计点估计 点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估极大似然估计法计法二、矩估计法（简称二、矩估计法（简称“矩法矩法”）） 关键点：1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即2.约定：若 是未知参数的矩估计，则g()的矩估计为g( ), 例例1：：设X1，， … ，， Xn为取自总体B(m,p),的样本，其中m已知，0

EX：设X1， … ， Xn为取自参数为的指数分布总体的样本，求的矩估计例例2设总体X的概率密度为X1，， … ，， Xn为样本，求参数的矩估计例例3：：设X1，， … ，， Xn为取自 总体的样本，求参数 的矩估计三、极大似然估计法三、极大似然估计法1、极大似然思想、极大似然思想 有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的命中率为0.1,现在他们中的一个向目标射击了一发，结果命中了，估计是谁射击的？ 一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同因而应记事件A发生的概率为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A|) 达到最大的那一个这就是极大似然极大似然思想思想1.设总体设总体X为离散型随机变量，它的分布律为为离散型随机变量，它的分布律为现有样本观察值现有样本观察值x1,x2,…xn,,其中其中xk取值于取值于{ak,k=1,2…}问：问：根据极大似然思想，如何用根据极大似然思想，如何用x1,x2,…xn估计估计??例例5.设设X1，， … ，， Xn为取自参数为为取自参数为 的泊松分的泊松分布布总体的样本，求总体的样本，求 的极大似然估计的极大似然估计2.设总体设总体X为连续型随机变量，概率密度为连续型随机变量，概率密度f(x;))现有样本观察值现有样本观察值x1,x2,…xn,问：问：根据极大似然思想，如何用根据极大似然思想，如何用x1,x2,…xn估计估计??2、似然函数与极大似然估计、似然函数与极大似然估计为该总体的为该总体的为该总体的为该总体的似然函数似然函数。

定义：若有定义：若有使得使得则则称称 为为 的极大似然估计的极大似然估计. .记为记为3、求极大似然估计的步骤、求极大似然估计的步骤(1) 做似然函数做似然函数(2) 做对数似然函数做对数似然函数(3) 列似然方程列似然方程若该方程有解，则其解就是注注1：：若概率函数中含有多个未知参数，则可若概率函数中含有多个未知参数，则可解方程组解方程组例例6：：设X1，， … ，， Xn为取自 总体的样本，求参数 的极大似然估计注注2：：极大似然估计具有下述性质：若 是未知参数的极大似然估计， g()是的严格单调函数，则g()的矩极大似然估计为g( ),例7：设X1， … ， Xn为取自参数为的指数分布总体的样本，a>0为一给定实数求p=P{X0未知，求参数 的极大似然估计5.2 估计量的评选标准估计量的评选标准一、一致性一、一致性例例1.设设 已知已知0

极大似然估计，并讨论所求估计量的一致性二、无偏性二、无偏性 易见 考察考察 的矩估计和极大似然估计的无偏性的矩估计和极大似然估计的无偏性三、有效性三、有效性EX:EX:设设 分别为取自总体分别为取自总体X X的容量为的容量为n n1 1,n,n2 2的的两个样本的样本均值，求证：对任意实数两个样本的样本均值，求证：对任意实数a>0,b>0,a+b=1a>0,b>0,a+b=1统计量统计量 都是都是E E（（X X））的无偏估的无偏估计，并求计，并求a,ba,b使所得统计量最有效使所得统计量最有效5.3 区间估计区间估计一、概念一、概念 定义：定义： 设总体X的分布函数F(x；)含有未知参数，对于给定值（0< <1),若由样本X1, …, Xn确定的两个统计量 使则称随机区间 为的置信度为1的的置信区间注：F(x;)也可换成概率密度或分布律5.4 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计1、、 2已知/2/21-可取(1-)1-的置信度为1的置信区间为注：注：的1置性区间不唯一。

都是的1置性区间.但=1/2时区间长最短.求正态总体参数置信区间的解题步骤：求正态总体参数置信区间的解题步骤： (1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅要求仅含待估参数且分布已知含待估参数且分布已知；； (2)令该函数落在由分位点确定的区间里的概率为给定的置信度1 ，，要求区间按几何对称或概率对称； (3)解不等式得随机的置信区间； (4)由观测值及 值查表计算得所求置信区间P152,27 (1)解解:已知时,的置信度为1的置信区间为这里这里 2、、 2未知的1置信区间为1-即得即得P152,27 (2)解解:未知时,的置信度为1的置信区间为这里这里二、单正态总体方差的置信区间二、单正态总体方差的置信区间假定假定 未知，2的置信度为1的置信区间为三、双正态总体均值差的置信区间三、双正态总体均值差的置信区间其中其中可解得 1-  2 的置信区间四、四、双正态总体方差比的置信区间双正态总体方差比的置信区间假定假定 1，， 2未知小结小结第六章第六章 假设检验假设检验•6.1假设检验的基本概念和思想 •6.2 单正态总体的假设检验•6.3 双正态总体均值差与方差比的 假设检验6.1假设检验的基本概念和思想假设检验的基本概念和思想一、基本概念一、基本概念(一一) 两类问题两类问题1、、参数假设检验 总体分布已知, 参数未知, 由观测值x1, …, xn检验假设H0：： = 0；；H1：： ≠ 02、、非参数假设检验 　总体分布未知, 由观测值x1, …, xn检验假设H0：：F(x)=F0(x; ); H1：： F(x)≠F0(x; )  以样本(X1, …, Xn)出发制定一个法则, 一旦观测值(x1, …, xn)确定后, 我们由这个法则就可作出判断是拒绝H0还是接受H1, 这种法则称为H0对H1的一个检验法则, 简称检验法。

样本观测值的全体组成样本空间S, 把S分成两个互不相交的子集W和W*, 即S=W∪∪W*, W∩W*=  假设当(x1, …, xn) ∈∈W时, 我们就拒绝H0；当(x1, …, xn) ∈∈W*时, 我们就接受H0子集W  S就称为检验的拒绝域(或临界域 )二二) 检验法则与拒绝域检验法则与拒绝域(三三) 检验的两类错误检验的两类错误 称 H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称 H0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误记 p(I)=p{拒绝H0| H0真};  =p {接受H0| H0假}对于给定的一对H0和H1, 总可找出许多临界域, 人们自然希望找到这种临界域W, 使得犯两类错误的概率都很小奈曼—皮尔逊 (Neyman—Pearson)提出了一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值 的条件下, 尽量使犯第二类错误  小”按这种法则做出的检验称为“显著性检验”,  称为显著性水平或检验水平怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？如:对总体X~N(  , 1), 要检验H0：： =0；；H1：： =1显著性检验的思想和步骤：显著性检验的思想和步骤：(1)根据实际问题作出假设H0与H1；(2)构造统计量, 在H0真时其分布已知；(3)给定显著性水平 的值, 参考H1, 令 P{拒绝H0| H0真}=  , 求出拒绝域W；(4) 计算统计量的值, 若统计量W, 则拒绝H0, 否则接受H06.2 单正态总体的假设检验单正态总体的假设检验一、单总体均值的假设检验一、单总体均值的假设检验1、、 2已知的情形---U检验 对于假设H0：： = 0；；H1：：0, 构造查表, 计算, 比较大小, 得出结论说明：说明：(1) H0：： = 0；；H1：： 0称为双边HT问题；而 H0：： = 0；；H1：：  > 0(或 <  0), 则称为单边问题； (2) H0：：0；；H1：： > 0 或H0：：0；；H1：：u

(3)可证:完备的HT问题与不完备的HT问题有相同的拒绝 域, 从而检验法一致·先考虑不完备的右边HT问题的解H0：： = 0；；H1：： > 0,现考虑完备的右边HT问题H0：：0；；H1：： > 0,若取拒绝域为则犯第一类错误的概率为于是故是H0：：0；；H1：： > 0,的水平为的拒绝域 例例1 1：：设某厂生产一种灯管, 其寿命X~ N(X~ N( , 200, 2002 2), ), 由以往经验知平均寿命  =1500=1500小时, 现采用新工艺后, 在所生产的灯管中抽取2525只, 测得平均寿命16751675小时, 问采用新工艺后, 灯管寿命是否有显著提高=0.05)解:这里拒绝H0·左边HT问题H0：： = 0；；H1：： < 0,或或H0：：0；；H1：： < 0,可得显著性水平为的拒绝域为(P173,5) (P173,5) 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布下服从正态分布N(4.55,0.11N(4.55,0.112 2).).某日测得某日测得5 5炉铁水炉铁水含碳量如下含碳量如下: 4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. : 4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 如如果标准差不变果标准差不变, ,该日铁水的平均含碳量是否显著偏该日铁水的平均含碳量是否显著偏低低?(?(取取 =0.05) )解:得水平为的拒绝域为这里拒绝H0注注: :上题中上题中, ,用双边检验或右边检验都是错误的用双边检验或右边检验都是错误的. .若用双边检验若用双边检验, , H H0 0：： = =4.554.55；；H H1 1：：4.554.55, ,则拒绝则拒绝域为域为由由|U|=3.78>1.96,|U|=3.78>1.96,故拒绝故拒绝H H0 0, ,说明可以认为说明可以认为该日铁水的平均含碳量显著异于该日铁水的平均含碳量显著异于4.55.4.55.但无但无法说明是显著高于还是低于法说明是显著高于还是低于4.55.4.55.不合题意不合题意若用右边检验若用右边检验, , H H0 0：：4.554.55；；H H1 1：： >4.55>4.55, ,则拒绝域为则拒绝域为由由U=-3.78<-1.96,U=-3.78<-1.96,故故接受接受H H0 0, ,说明不能认为说明不能认为该日该日铁水的平均含碳量显著高于铁水的平均含碳量显著高于4.55.4.55.但无法区分但无法区分是等于还是低于是等于还是低于4.55.4.55.不合题意不合题意. .2、、 2未知的情形·双边检验:对于假设H0：： = 0；；H1：：0由p{|T| t /2(n  1)} = , 得水平为的拒绝域为|T| t /2(n 1),(P173,4) (P173,4) 用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度温度, ,重复测量重复测量7 7次，测得温度次，测得温度(℃): 112.0 113.4 (℃): 112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 而用某种精而用某种精确办法测得温度为确办法测得温度为112.6(112.6(可看作真值可看作真值),),试问用热敏电试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度测量值设温度测量值X X服从正服从正态分布态分布,取取 =0.05 )?解解:H0：： =112.6；；H1：：112.6由p{|T| t0.025(n  1)} =0.05, 得水平为=0.05的拒绝域为 |T| t0.025(6)=2.4469这里接受H0·右边HT问题 H0：：  = 0 ；；H1：：  > 0, 或或H0：： 0 ；；H1：：  > 0,由p{T t (n  1)} = , 得水平为的拒绝域为T t (n 1),(P173,7) (P173,7) 某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05 ,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?解解:H0：： =10620；；H1：： >10620由p{T t0.05(9)} =0.05, 得拒绝域为T t0.05(9)=1.8331这里接受H0·左边HT问题 H0：：  = 0 ；；H1：：  < 0, 或或H0：： 0 ；；H1：：  < 0,由p{T  - t (n  1)} = , 得水平为的拒绝域为T  - t (n  1)EX EX 设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620 10620 (kg/mm(kg/mm2 2) )的正态分布的正态分布, , 今从某厂生产的镍合金线中抽取今从某厂生产的镍合金线中抽取1010根根, ,测得平均抗拉强度测得平均抗拉强度10600 (kg/mm10600 (kg/mm2 2) ,) ,样本标准差为样本标准差为80.,80.,问该厂问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格的镍合金线的抗拉强度是否不合格? (? ( =0.1)=0.1) 解解:H0：：10620；；H1：： <10620由p{T   - t0.1(9)} =0.1, 得拒绝域为T   - t0.1(9) =1.383这里接受H0二、单总体方差的假设检验二、单总体方差的假设检验假定假定 未知, ·双边检验:对于假设得水平为的拒绝域为(P173,11.)电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05) , 熔化时间为正态变量.)得水平为=0.05的拒绝域为这里接受H0设设保保险险丝丝的的融融化化时时间间服服从从正正态态分分布布，，取取9 9根根测测得得其其熔熔化化时时间间（（minmin））的的样样本本均均值值为为62,62,标标准准差差为为 10.10.(1)(1)是是否否可可以以认认为为整整批批保保险险丝丝的的熔熔化化时时间间服服从从N(60, 9N(60, 92 2 ) ? () ? ( =0.05)=0.05)(2)(2)是是否否可可以以认认为为整整批批保保险险丝丝的的熔熔化化时时间间的的方方差显著大于差显著大于70?(70?( =0.05)=0.05)答:(1) |t|=0.6<2.306,接受60;2.18

将乙两种安眠药的疗效将2020名患者分名患者分成两组成两组, ,每组每组1010人人. .其中其中1010人服用甲药后延长睡眠的时人服用甲药后延长睡眠的时数分别为数分别为1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4;1.6, 4.6, 3.4;另另1010人服用乙药后延长睡眠的时数分人服用乙药后延长睡眠的时数分别为别为0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0.0.8, 0.0, 2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时数若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布服从方差相同的正态分布. .试问两种安眠药的疗效有试问两种安眠药的疗效有无显著性差异无显著性差异?(?( =0.10)=0.10)解:这里:拒绝拒绝H H0 0认为两种安眠药的疗效有显著性差异认为两种安眠药的疗效有显著性差异上题中,试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效显著?这里这里:t=1.86>1.3304,故拒绝故拒绝H H0,0,认为认为甲安眠药比乙安眠药疗甲安眠药比乙安眠药疗效显著效显著上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?二、方差比的假设检验二、方差比的假设检验两样本独立, 给定检验水平  , 由观测值假定假定 1,  2未知由p{F F1/2(n1 1, n2 1)或F F /2(n1 1, n2 1)} =  F1/2F /2得拒绝域F F1/2(n1 1, n2 1) 或F F /2(n1 1, n2 1)而对应的单边问题拒绝域为F F (n1 1, n2 1)F F1(n1 1, n2 1)拒绝域为P174,21.P174,21.有甲乙两种机床有甲乙两种机床, ,加工同样产品加工同样产品, ,从这两台机床加工从这两台机床加工的产品中的产品中 随随 机机 地地 抽抽 取取 若若 干干 产品产品, ,测得产品直径为测得产品直径为( (单单位位:mm)::mm):甲甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.9, 19.6, : 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.9, 19.6, 19.9.19.9.乙乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2. : 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2. 假定甲假定甲, ,乙乙 两台机床的产品直径都服从正态分布两台机床的产品直径都服从正态分布, ,试比较甲试比较甲, ,乙两台机床加工的精度有无显著差异乙两台机床加工的精度有无显著差异?(?( =0.05=0.05 )解:拒绝域为F F1 0.025(7, 6)=1/5.12=0.1953或F F0.025(7, 6)=5.7这里: 接受H0。